le système

oii u, r, . . . désignent des indéterminées en nombre quelconque, admet quelque solution numérique,

à partir de laquelle ses premiers membres soient tous dé^eloppables, on peut, sous le bénéfice d' une certaine restriction qui sera formulée plus loin, lui substituer un système jouissant de la double propriété : i" d^être, à V intérieur d'un domaine suffisamment petit de centre (uq, Tq, . . .), numériquement équivalent à (i); 2" d'être résoluble à partir des valeurs Uq, Tq, . . . , conformément au principe général du n^ 120, par rapport à un groupe d'indéterminées convenablement choisi.

Soil n le nombre des variables «, v^ .... En supposant, comme de raison, que les équations (i) ne se réduisent pas toutes à o = o, c'est-à-dire (n" 94) que les dérivées premières de /, , /o, • • -7 /m par rapport à ?/, v^ ... ne soient pas toutes identiquement nulles, il arrive nécessairement de deux choses l'une :

Ou bien il existe n des fonctions

dont le déterminant différentiel n'est pas identiquement nul;

Ou bien, |jl désignant un certain entier moindre que /?, il existe |a des fonctions (2) dont les déterminants différentiels ne sont pas tous identiquement nuls, tandis qu'au contraire l'adjonction aux jjl fonc-

lions dont il s'agit de l'une quelconque des fonctions restantes (s'il y en a) fournit un système dont les déterminants différentiels sont tous identiquement nuls.

En désignant donc par a un entier, soit inférieur, soit égal à n^ on peut répartir les équations du système (i) en deux groupes,

\f^ (u, V, ...) = o et

jouissant respectivement des propriétés suivantes :

i'^ Dans le système (3), les déterminants différentiels (d'ordre [x) ne sont pas tous identiquement nuls; nous supposerons en outre, ce qui n'arrive pas nécessairement, que V un au moins de ces déterminants différentiels a une valeur initiale différente de zéro.

2"* Dans le système (4), les premiers membres satisfont, en vertu de 124 ou de 125, à des identités de la forme

[ fv.-hl= ^li.-hl(fl, fil •••î/îx):

d'où l'on déduit, par la simple attribution aux variables u^ ^, ... de leurs valeurs initiales Uq, Vq, . . ., les relations numériques

' Fm (o, o, . ... o) = o.

Cela étant, le groupe (3), composé d'équations en nombre au plus égal à celui des variables ([jl</i), est résoluble, conformément au principe général du n° 120, par rapport à [jl variables convenablement choisies. Quant au groupe (4), il est évidemment vérifié, en vertu des identités (5) et des relations (6), par toute solution de (3). En conséquence, à l'intérieur d'un domaine suffisamment petit de centre («oj ^oj •••)) 1^ système proposé (i) admet une solution générale dans

->.8o CHAPITRK VlII.

laquelle n — ul variables convenablement choisies sont arbitraires, tandis que les a autres sont exprimées en fonctions olotropes des précédentes. (En particulier, si [Ji = /^, il n'admet qu'une seule solution numérique à l'intérieur du domaine.) C'est ce qu'il s'agissait de faire voir.

Dans ce qui précède, comme dans le tliéorème du n*^ 120, on commence par admettre l'existence d'une solution numérique à partir de laquelle les premiers membres du système étudié soient développables, et les conclusions de l'énoncé ne se trouvent établies que pour un voisinage suffisamment rapproché de la solution numérique initiale. Une pareille observation sera, dans ce qui suit, constamment applicable : toutes les fois, par exemple, qu'il s'agira d'équivalence numérique entre deux systèmes, il faudra entendre que cette propriété (supposée ou démontrée) a lieu dans le voisinage d'une solution numérique commune, à partir de laquelle les premiers membres des équations considérées sont tous développables.

128. Etant donné un système d'équations, aux indéterminées w, v^ ..., et dont les premiers membres sont supposés développables à partir de Mq, ^05 •••7 nous dirons que ce système (considéré dans le voisinage des valeurs en question) est réduit, si l'on peut, conformément au principe général du n° 120, le résoudre à partir de u^^ Vq^ ... par rapport à un groupe d'indéterminées en nombre égal à celui des équations du système. [Cette définition implique d'ellemême : I** que (wq? ^05 • • •) est une solution numérique du système; 2° que le nombre total des indéterminées est au moins égal à celui des équations du système; 3*^ que l'un au moins des déterminants différentiels du système a une valeur initiale différente de zéro.]

Les systèmes réduits jouissent de propriétés importantes que nous allonîs exposer.

129. Tout système réduit, S', conséquence numérique d^ un système réduit, S, se compose d'équations en nombre inférieur ou au plus égal.

I. Si Von désigne par S un système réduit, et par S un système quelconque dont les premiers membres soient tous développables à partir de la solution numérique initiale de S, il faut et il suffit,

pouî' que s soit une conséquence numérique de S, qu'il en soit une combinaison multiplicatoire (n" 122).

Cette condition, évidemment suffisante, est, de plus, nécessaire. EfTectivement, soient m le nombre des équations du système réduit S ;

les variables, en nombre au moins égal à m, qui s'y trouvent engagées ;

Ml, W2, .-., W//I

l'un des groupes de m variables par rapport auxquels le système S est résoluble (n° 128); enfin

Ml — Ui (m,„+i, .. .) = g,

les formules de résolution.

Si l'on considère une équation quelconque, K = o, du système S, elle ne peut manquer, puisqu'elle est une conséquence numérique de S, d'être identiquement vérifiée par la substitution à Wi, W2, . . ., Um des fonctions u,, U2, ..., \imi et elle est dès lors (n" 120, III) une combinaison multiplicatoire du système (7). Il résulte d'ailleurs du principe général des fonctions implicites (n° 120) que le système (7) est une combinaison multiplicatoire de S (n" 122). Donc l'équation K = o est elle-même une combinaison multiplicatoire de S.

II. Revenant à notre énoncé général, désignons par ni le nombre des équations du système réduit S, et admettons pour un instant que le système réduit S', conséquence numérique de S, comprenne plus de m équations (il en résulte, à plus forte raison, que le nombre des variables engagées dans les deux systèmes est lui-même supérieur à m). Cela étant, soient

Kt = o, K2 = G, ..., K„i = o, K„jH i = o, ...

les équations des systèmes respectifs S et S'. On a, en vertu de I, les

identités

I+Ll,2

K,„ = L,;j,i Fi-1-L,;i,2 F2 -i- . . . -f- L,

où les L désignent certaines fonctions développables à partir de la solution numérique initiale commune. Je dis que celles d'entre ces fonctions qui figurent dans les m premières identités (8) forment un déterminant dont la valeur initiale est différente de zéro.

Considérons en effet les dérivées premières des m fonctions K,, Ko, ..., K„j, et calculons, à l'aide des m premières identités (8), leurs valeurs initiales. La première identité, différentiée par rapport à une variable quelconque, ;/,, nous donne

dui ^^'^ dui ' ^*'^ diii

Li,

" dur dux

Or, F,, Fo, ..., F,;, ayant des valeurs initiales nulles, on peut, pour calculer la valeur initiale du premier membre, --^ ) de la formule précédente, faire abstraction des m derniers termes du second membre, c'est-à-dire opérer comme si les fonctions L se réduisaient à des constantes. Si donc on se propose de calculer la valeur initiale du déterminant différentiel de

Kl, K2, . . . , K,« par rapport à m variables quelconques,

Ml, W2, • . • , Wm,

il suffira de combiner, par la règle de multiplication, les deux déterminants

Li,i Li,2 • . • Lj.w

dF,

dF^

dF,n

dui

dFi

âF,

àF,n

àll2

àU2

dii2

àF,

dF,

dF,n

ait m

ÔU,n

àu,n

Cela étant, si le déterminant (9) avait une valeur initiale nulle, tous les déterminants différentiels du système

Ko= o,

auraient aussi des valeurs initiales nulles; et, comme tous les déterminants différentiels de S' sont (en vertu d'une propriété connue des déterminants) fonctions linéaires et homogènes des précédents, ils auraient tous eux-mêmes des valeurs initiales nulles, ce qui est contraire à l'hypothèse.

Le déterminant (9) ayant une valeur initiale différente de zéro, les m premières identités (8) sont résolubles par rapport à F<, Fo, . . ., F,;i, et, en portant dans les identités suivantes les expressions ainsi obtenues, il vient

K/«-(-l = Y* „i-lr-\,\ Kj + l* „i-\-\^1 K2

r //j i-i,/« r^mi

où les fonctions P sont développables à partir des valeurs initiales des variables. Si l'on calcule maintenant, en tenant compte des identités (10), les valeurs initiales des déterminants différentiels du système S', ce calcul peut, à cause de la nullité des valeurs initiales de Kj, K2, . . ., K,7i, s'opérer en assimilant à des constantes les diverses fonctions P : donc, dans chacun des déterminants considérés, toute ligne de rang supérieur à m a ses divers éléments exprimables par une même fonction linéaire et homogène des éléments correspondants des m premières lignes; ilen résulte, contrairement à l'hypothèse, que les déterminants différentiels de S' ont tous des valeurs initiales nulles.

180. Deux systèmes réduils iiuméiicjuement équivalents comprennent le même nombre d'équations.

Soient m et m' les nombres respectifs d'équations des deux systèmes. En vertu de l'équivalence supposée, chaque système est une conséquence numérique de l'autre; on ne peut donc avoir (n*' 129) ni m > /?i', ni ni! >> m : il en résulte nécessairement m = m'.

131. Si deux systèmes réduits comprennent le même nombre d^ équations, et que le second soit conséquence numérique du premier, imersement le premier est conséquence numérique du second, et les deux systèmes sont numériquement équivalents.

Soient en effet

Fi = o, F2=o, ..., F,„=o et

les équations de ces deux systèmes respectifs. Le premier étant réduit,

et le second conséquence numérique du premier, on a (n° 129, I) les

identités

Kl =Li,, F,-f-Li,2 Fa-h. . .-h Li,,„ F„,,

/ X I Ka = Ls,! FiH-L2,2 F2-I-. . .-h L2,^ F,„,

•m, m ^ rtf

Le second système étant, de plus, réduit, le déterminant formé par les fonctions L a, en vertu d'un raisonnement antérieur (n" 129, II), une valeur initiale différente de zéro : les identités (11) peuvent donc être résolues par rapport à F<, Fo, . . ., ¥m^ d'où résulte que le premier système est une conséquence numérique du second.

132. Etant donné un système réduit, S, composé des m équations

V expression générale des systèmes réduits équivalents est

Li,i FiH-L,,2 F2-t-...H-Li,,„ F,„=o, La.i Fi-hL2,2 F24-. . .-h L2,,„ F,/, = o,

L/«,i FjH- L,„^2F2 4-. . .-+- ï^m,rn F/n = O,

où les fonctions L, développables à partir des valeurs initiales des

variables, sont arbitrairement choisies sous la seule condition de former un déterminant à valeur initiale non nulle.

Effectivement, tout système réduit équivalent à S se compose, comme lui, de m équations (n" 130), et en est une combinaison multiplicatoire (n° 129, 1); on voit d'ailleurs, en raisonnant comme on l'a déjà fait (n° 129, II), que le déterminant des multiplicateurs a une valeur initiale différente de zéro.

Réciproquement, si un système S', composé des m équations

Kl = o, Ka = o, . . . , K,„ = o,

est une combinaison multiplicatoire du système réduit S, et que le déterminant des multiplicateurs ait une valeur initiale différente de zéro, les identités (i i), sur lesquelles on raisonnera comme plus haut (n*' 129, II), montrent que le système S' est forcément réduit : comme il est évidemment une conséquence numérique de S, il lui est, en vertu du n° 131, numériquement équivalent.

133. Si deux systèmes sont réduits et numériquement équivalents, d^oii résulte (n° 130) quUls sont composés d^ un même nombre m d' équations, ils sont, en outre, nécessairement résolubles par rapport aux mêmes groupes de m variables .

Si l'on désigne en effet par

Fi = o, F2=o, ..., F,„=o et par

Ki = o, K2=o, ..., K,„=o

les équations de ces deux systèmes respectifs, on a, entre leurs premiers membres, les identités (i i), où le déterminant des fonctions L a une valeur initiale différente de zéro (n^ 132) : cela étant, si l'on considère, par rapport à un même groupe quelconque de m variables, leurs déterminants différentiels respectifs, la valeur initiale du second s'obtient en multipliant celle du premier par la valeur initiale du déterminant des fonctions L.

134. Etant donné un système réduit^ S, composé des m équations

Fi = o, F2=o, ..,, F^=o,

les systèmes réduits de m — p équations qui jouissent de la propriété d^être conséquences numériques de S ont pour expression générale

Ls,t FiH-L2,2 F2-4-. . .+ Lj,,^ F,„=o,

Lm-p,l Fi -f- L;„/^,jF2-f-. . .-I- h,n-p^rn^ m = O,

oii les fonctions L, développables à partir des valeurs initiales des variables, sont arbitrairement choisies sous la seule condition que les déterminants d'ordre m — p extraits de leur Tableau n'aient pas tous des valeurs initiales nulles.

I. Pour qu'un système de m — p équations (dont les seconds membres sont nuls, et les premiers développables à partir des valeurs initiales des variables) soit une conséquence numérique du système réduit S, il faut et il suffît (n° 129, I) qu'il en soit une combinaison multiplicatoire, et qu'il ait, par suite, la forme (12).

II. Pour que le système (12) soit réduit, il faut et il suffit, comme on va le voir, que les déterminants d'ordre m — p extraits du Tableau des fonctions L n'aient pas tous des valeurs initiales nulles.

Désignons en effet par

Kl, Ko, ..., K

les premiers membres du système (12). En calculant, par la règle des fonctions composées, un élément quelconque du Tableau différentiel de (12), et observant que Fi, F2, ..., F/„ ont des valeurs initiales nulles, on verra, comme à l'alinéa II du n° 129, que, pour obtenir la valeur initiale du déterminant différentiel de (12) par rapport à m — p variables quelconques, par exemple «,, Wo, ..., u,n-p^ il suffît de combiner par la règle de multiplication des déterminants généralisée le Tableau (rectangulaire)

La,! 5 L2,9 . . . , ^2,/;»?

*-'ni—pT\i ^m—p,ii •••} ^/n—p,ni

avec celui des dérivées premières de F<, F^, ..., F,„ par rapport

Ut, u-

m -pi

dUy

dF,

dF,n

ÔU2

dF,

dU2

àF,n

ÔF,

dF,n

àUn-

dU,n-i

Le résultat de cette opération est égal, comme on sait, à la somme des produits obtenus en multipliant les déterminants d'ordre m — /; du premier Tableau par les déterminants homologues du second (^).

Cela posé, il est nécessaire, pour que le système (12) soit réduit, que les déterminants d'ordre m — /? du Tableau (i3) n'aient pas tous des valeurs initiales nulles : car autrement, d'après ce qui vient d'être dit, les déterminants différentiels de (12) auraient tous des valeurs initiales nulles.

Réciproquement, supposons que l'un au moins des déterminants

(^) Considérons les deux Tableaux rectangulaires

Cl,.

Pp ••

qui contiennent chacun q lignes et q -\- r colonnes (q '> o, 1^=0). Si l'on pose R. •=! <2,a.+ 6,p- + ...+ li'Ki (i = 1, 2, ..., 7 et y = I, 2, ..., ^),

le déterminant d'ordre q

est égal à la somme des produits qu'on obtient en multipliant les déterminants d'ordre q extraits du premier Tableau par les déterminants homologues extraits du second.

d'ordre jn — p du Tableau (i3) ait une valeur initiale différente de zéro, et soit

(l4) Ml, Mj, ..., U,n

l'un des groupes de m variables par rapport auxquels le système S est résoluble : je dis que le système (12) l'est nécessairement par rapport à quelque groupe de m — p variables extrait de (14)7 ou 5 en d'autres termes, que les CJJJ déterminants différentiels de (12) relatifs aux divers groupes de m — p variables extraits de (i4) n'ont pas tous des valeurs initiales nulles. Admettons en effet pour un instant que les valeurs initiales dont il s'agit soient toutes nulles. Si on les calcule conformément aux indications ci-dessus, on obtient C^J„ expressions possédant la double propriété : i " d'être linéaires et homogènes par rapport aux G^ ^ déterminants d'ordre m — p extraits du Tableau (i3); 2" d'avoir pour coefficients les divers déterminants d'ordre m — p extraits du déterminant différentiel de F,, Fo, ..., F^ relatif à m,, U21 . . . , Um- Gomme les déterminants d'ordre m — p extraits du Tableau (i3) n'ont pas tous des valeurs initiales nulles, il résulte de la théorie des équations linéaires et homogènes que le déterminant des coefficients a une valeur initiale nulle, et par suite aussi le déterminant différentiel de Fi, F2, . . . , F;;^ par rapport à w,, ^^25 • • • 5 Um{^)-, ce qui est contraire à l'hypothèse.

ITI. Le simple rapprochement des alinéas 1 et II suffit à établir l'exactitude de notre énoncé.

135. Etant donnés deux systèmes réduits, S et S'^ composés respectivement de m et de m — p équations, et dont le second soit conséquence numérique du premier, si le système S est résoluble par rapport à un groupe déterminé de m variables, le système S' l'est nécessairement par rapport à quelque groupe de m — p variables extrait du précédent.

Si l'on désigne en effet par

Fi = o, F2=o, ,.., F,„ = o

(*) On sait, en effet, que la nullité du déterminant formé avec les mineurs d'un même ordre d'un déterminant donné entraine la nullité de ce dernier.

les m équations du système S, le système S' peut se mettre sous la forme (12), où les multiplicateurs L satisfont à la condition que les déterminants d'ordre m — p extraits de leur Tableau n'aient pas tous des valeurs initiales nulles (n'' 134-) : cela étant, la possibilité, pour le système S, d'être résolu par rapport à un groupe déterminé de m variables, entraîne, pour le système (12), ainsi que nous l'avons prouvé (n" 134, II), la possibilité d'être résolu par rapport à quelque groupe de m — p variables extrait du précédent.

136. Etant donné un système réduit, S, composé de m—-p équations, et où se trouvent engagées m variables au moins, considérons, d une part, les systèmes réduits de m équations qui ont pour conséquence numérique le proposé, d'autre part, les systèmes obtenus en adjoignant aux équations^

(i5) Fi = o, F2 = o, ..., ¥,n-p=o,

du système S, p équations,

Fm— p+l = O1 • • • 1 F;,i = O,

arbitrairement choisies sous les seules conditions : i** que leurs premiers membres, F,„^^,, ..., F„i, développables à partir des valeurs initiales des variables, aient des valeurs initiales nulles ; 1" que les divers déterminants différentiels des m fonctions

Fj, Fj, ..., ¥ „i-pt F,;j^-,i, .... F„j

n'aient pas tous des valeurs initiales nulles.

Cela étant, tout système du second groupe figure aussi dans le premier; inversement, tout système du premier groupe possède dans le second quelque équivalent numérique.

La première partie de notre conclusion est évidente : reste à établir la seconde.

Supposons donc que le système réduit

(lO) G, = G, 0-2= 0, ..., G,„ = G

ait pour conséquence numérique le proposé S, formé des m — p R. ,9

équations (i5). En vertu du n" 134, on a alors des identités de forme

L'l,m— p G„i- p-i- Ln^„i—p-^-i ^m—p-hi

m vj ,„

>,iGi-

^■'rn—p,m—p^/>i—p~^ ^ni—p.ni—p-hl ^//j— />+!"+■ •••-+- ^-'m~p,m^mi

les déterminants d'ordre m — p du Tableau formé par les L n'ayant pas tous des valeurs initiales nulles. Si, pour fixer les idées, on suppose que le déterminant

Li,

... Li,

•fn — p,m—p

ait une valeur initiale différente de zéro et qu'on adjoigne alors aux m — p identités (17) les /? identités

'm- p-hl

m—p-hli

la seule inspection du groupe résultant,

[(17), (18)], montre que le passage du système (16) au système

peut s'effectuer à l'aide de multiplicateurs formant un déterminant à valeur initiale non nulle : le système (19) est donc réduit, comme (16), lui équivaut numériquement (n° 132), et peut d'ailleurs se déduire de S par le mécanisme décrit dans notre énoncé.

137. Etant donnés deux systèmes réduits^ S et S' , composés respectivement de m — p et de m équations, et dont le second ait pour conséquence numérique le premier, si le premier , S, est résoluble par rapport à un groupe déterminé de m — p variables, il existe dans le second, S', quelcjue groupe de m — p équations résoluble par rapport à ces m — p variables, et l'on peut, par U adjonction à ces m — p variables de p autres convenablement choisies, former un groupe par rapport auquel le système S' soit résoluble.