I. Désignons par

Fj = o, F2=o, ..., F,„=o

les m équations du système réduit S' : il résulte alors du n° "tSi que le système réduit S est de la forme (12), où les déterminants d'ordre m — p extraits du Tableau des fonctions L n'ont pas tous des valeurs initiales nulles. Cela étant, si le système S est résoluble par rapport aux m — p variables

(20) Mi, M2, ... 5 U,,n-p,

il existe, dans le système S', quelque groupe de m — p équations résoluble par rapport à ces mêmes variables (20) ; en d'autres termes, si l'on désigne par 0, ... les C"J„ déterminants d'ordre m — p extraits du Tableau différentiel de S' relatif aux seules variables (20), les déterminants 0, ... n'ont pas tous des valeurs initiales nulles : car, en calculant, conformément aux indications du n° 134, la valeur initiale, différente de zéro, du déterminant différentiel de S relatif aux variables (20), l'expression résultante est linéaire et homogène par rapport aux déterminants 0, . . . .

II. On peut d'ailleurs, par l'adjonction aux m — p variables (20) de yo autres convenablement choisies, former un groupe par rapport auquel le système S' soit résoluble ; en d'autres termes, si l'on adjoint au groupe (20) p variables qui lui soient étrangères, et qu'on répète l'opération de toutes les manières possibles, les déterminants différentiels de S' par rapport aux divers groupes résultants n'ont pas tous des valeurs initiales nulles.

Effectivement, supposons pour un instant que les valeurs initiales dont il s'agit soient toutes nulles. Si l'on considère, comme tout à l'heure (I), le Tableau différentiel des m équations de S' par rapport aux m — p variables (20) ; si, de plus, désignant par

un groupe arbiliairement choisi âe m variables, on forme successivement les C"'^ Tableaux différentiels de ces mêmes équations par rapport aux divers groupes de p variables extraits de (21), ces Tableaux, en nombre total i + G;;;^, comprennent, le premier m — p lignes, les suivants/? lignes, et tous comprennent d'ailleurs ni

colonnes, de telle façon qu'en écrivant au-dessous du premier l'un quelconque des suivants, on forme un déterminant d'ordre m. On peut dès lors former ainsi G"J^ déterminants d'ordre m, et tous ont des valeurs initiales nulles, les uns en vertu de ce que nous supposons, les autres comme ayant plusieurs lignes identiques. En leur appliquant un développement connu, on obtient pour eux CJJJ expressions possédant la double propriété : i" d'être linéaires et homogènes par rapport aux GJ" déterminants d'ordre m — p que nous avons nommés plus haut ô, . . . (I); 2" d'avoir pour coefficients les divers déterminants d'ordre p extraits du déterminant différentiel des m équations S' relatif aux în variables (21). Comme les déterminants 8, . . ., en vertu de I, n'ont pas tous des valeurs initiales nulles, il résulte de la théorie des équations linéaires et homogènes que le déterminant des coefficients a une valeur initiale nulle, par suite aussi le déterminant différentiel des m équations S' relatif aux m variables (21). Le déterminant différentiel de S' relatif à un groupe quelconque de m variables a donc une valeur initiale nulle, ce qui est contraire à l'hypothèse.

138. Dans un système réduit de m équations, {'11) Fi = o, F2=o, ..., F,„ = o,

aux m-\- q variables

la solution générale peut s^ obtenir à V aide d^ un système de m -\- q formules exprimant les variables dont il s'agit en fonctions olotropes de q arbitraires, et telles que q de ces formules [convenablement choisies) soient résolubles par rapport aux arbitraires.

De plus, si, le système réduit (22) étant donné, on en suppose la solution générale exprimée à V aide d'un système de m-\- q formules satisfaisant à cette condition,

"1 =fx (iu -"^tq).

Uni ^^ J m \i\t - ' ' 1 t^qjt (23) ^

1 U„i^i — f„i^i(ti^ ...,tq),

// faut et il suffit, pour que le système (22) soit résoluble par rapport à m variables déterminées, les m premières par exemple, que les q dernières formules (28) soient résolubles par rapport aux q arbitraires.

I. Considérant le système réduit (22), supposons, pour fixer les idées, qu'il soit résoluble par rapport aux m premières variables, w,, U21 ' ' 1 f^hn ' la solution générale en sera alors fournie par m formules,

exprimant les m variables dont il s'agit à l'aide des q variables restantes dont les valeurs sont arbitraires. Si donc on égale les q dernières variables à des arbitraires ;,, .. ., tg^ la solution générale sera tout aussi bien fournie par les m -\- q formules

Um = '^m(tu • . .,tg),

dont les seconds membres ne contiennent que les arbitraires, et dont les q dernières sont évidemment résolubles par rapport à ces arbitraires.

Plus généralement, posons

/ Um+\ =/m-hl(ti', ' ' ' , tq),

l Um-hq'=Jm + q{ti, ...,tq)y

les seconds membres de ces q formules étant arbitrairement choisis sous les seules conditions d'être développables à partir de certaines valeurs initiales des arbitraires ^< . . . . , Z^, d'avoir pour valeurs initiales celles que possèdent, dans le système (22), les variables Ufn^i, . .., Unut-q^ et enfin d'avoir un déterminant difierentiel dont la valeur initiale ne soit pas nulle, de telle façon que le système (26) soit résoluble par rapport à /(,..., t,^. En remplaçant, dans (24), Um^\^

rn + q

par leurs valeurs tirées de (aS), il vient

Or, il est facile de voir que l'ensemble des formules (ao) et (26) fournit la solution générale du système (a^). Effectivement, si l'on résout le système (aS) par rapport à ^, , . . ., ^y, ce qui donne

t(f = 1if( U,„-^x , . . . , ll„ij^q ),

l'équivalence numérique des systèmes (aS) el['i-j) montre qu'en faisant varier les arbitraires ^,, . . ., ^^ du système (20) dans le voisinage de leurs valeurs initiales, les premiers membres u,u^\. .. ., Um^q prennent, dans un voisinage suffisamment rapproché de leurs propres valeurs initiales, tous les systèmes possibles de valeurs : il est clair, dès lors, qu'en faisant varier arbitrairement ^,, ..., t^ autour de leurs valeurs initiales dans le système [(2Ô), (26)], on obtiendra, pour les m -{- q variables w, les mêmes systèmes de valeurs numériques qu'en faisant varier arbitrairement iim + Ki ••., Um^q autour de leurs valeurs initiales dans le système (24).

Ainsi se trouve établie la première partie de notre énoncé.

II. Supposons maintenant, pour établir la seconde, que la solution générale du système (22) soit fournie parles m -f- ^ formules (28), dont q convenablement choisies sont résolubles par rapport aux arbitraires ^,, . . ., tq.

Cela étant, si les q dernières formules (23) sont résolubles comme il vient d'être dit, il est clair qu'en effectuant la résolution dont il s'agit, et remplaçant dans les m premières formules ( 28 ) les arbitraires /,, .... tq par les valeurs ainsi obtenues, le groupe résultant,

^1 = ~1 ( ^</«-+-Ii • • ••) W/« f 7), iq = '^qi^Jll-^li ' • ■ 1 l^i/n + q )^

^m — Jm ( '^ 1 5 ' ' ' ■) ~q)t

FONCTIONS IMPLICITES. Q.g5

est numériquement équivalent à (28) : le groupe réduit formé parles m dernières équations (28), où ne figurent que les m -\- q variables w, est, dès lors, une conséquence numérique du système réduit formé par les m équations (22), et, par suite, lui équivaut numériquement (n° 131) ; le système (22) est donc, comme le groupe réduit en question, résoluble par rapport aux m premières variables u (n*^ 133).

Réciproquement, supposons les /7i équations (22) résolubles par rapport aux m premières variables u. En adjoignant à ces m équations les g dernières formules (28), le système résultant. S, composé de m -^ q équations, est évidemment résoluble par rapport aux m -\- q variables

et, par suite, est réduit ; il est, d'autre part, identiquement vérifié par la substitution à ces variables de leurs valeurs tirées des m -\- q formules (28), et, par suite, est une conséquence numérique de (28) : ces deux systèmes réduits, composés l'un et l'autre àe, m -^ q équations, sont donc numériquement équivalents (n" 131), et, dès lors, résolubles par rapport aux mêmes groupes de ni-\- q variables (n" 133). Or, puisque le système (28) contient, en vertu de notre hypothèse, q équations résolubles par rapport aux q arbitraires, il est lui-même évidemment résoluble par rapport à ces q arbitraires et aux m variables u figurant dans les m équations restantes : le système 2, composé des jn équations ( 22 ) et des q dernières formules (28), est donc résoluble par rapport aux mêmes quantités, et, comme les m équations (22) sont indépendantes des q arbitraires, il faut bien que les q dernières formules (28) soient résolubles par rapport à elles.

139. Dans ce qui précède, on se donne un système réduit de m équations k m -\- q variables m,, u^- .•-, Um+q^ et l'on montre qu'il existe, pour en exprimer la solution générale, quelque système de ni-\- q formules égalant les m-\- q variables dont il s'agit à autant de fonctions olotropes de q arbitraires, de telle façon que q d'entre ces formules soient résolubles par rapport aux arbitraires.

Réciproquement, étant donné un pareil système de m -f- q formules, on en tire, par U élimination des q arbitraires, un système réduit de m équations, aux m -\- q variables w<, Wa, •••5 itm + qy

dont la solution générale se trouve exprimée par les m + q formules données.

Supposons, en effet, que le système ( 28 ) soit donné, et que les q dernières équations de ce système soient résolubles par rapport à ^, , ..., tq. En effectuant cette résolution, ce qui donne les formules

\ tq-=- IqyUjn-^-Xi ' • ' 1 U,„^q)^

et portant les valeurs ainsi obtenues dans les m premières équations (28), il vient

Ce système (3o) est évidemment un système réduit, aux m + cj variables u^^ U2, . . ., Um+q, résoluble par rapport aux 771 premières : si donc on pose

' Urn-\-q'= Jin^q\t\i '••ifqh

et qu'on remplace, dans (3o), z/^ + i, •.., W/zi + y par les seconds membres de (3i ), il résulte du raisonnement fait à l'alinéa I du numéro précédent que le groupe des m-\-q formules résultantes fournit la solution générale du système (3o). Or, en vertu de l'équivalence numérique qui existe entre (29) et (3i), la substitution dont il s'agit, effectuée dans les fonctions t< , . . ., t^, les rend identiquement égales à ^,, . . ., tq^ et, par suite, rend le système (3o) identique au groupe des m premières formules (23). La solution générale du système (3o) se trouve donc exprimée par les m -f- ^ formules (23).

140. Enfin, si les m -\- q formules olotropes (28), do7it q sont supposées résolubles par rapport aux arbitraires ^,, . . ., tq^ vérifient constamment le système réduit des m équations (22), aux m -{- q variables Ui, U2^ • . ., Um + q^ elles 71e peuvent manquer d'en fournir la solution générale.

Effectivement, les m-{-q formules (28) fournissent (n" 139) la

solution générale du système réduit de m équations (aux seules variables u) auquel conduit l'élimination des q arbitraires ; toute solution numérique de ce dernier figure donc dans quelque solution numérique de (aS), et par suite, en vertu de notre hypothèse, est une solution numérique de (22). Le système réduit (22) se trouve ainsi être conséquence numérique d'un système, également réduit, composé d'équations en même nombre ; il lui est, dès lors, numériquement équivalent ( n" 131), et la solution générale en est fournie par les mêmes formules.

Systèmes d'équations olotropes où certaines indéterminées sont assujetties à être fonctions des autres.