AA
-ni
dS dS',
ce qui peut s'écrire
U = ,, ,^, „^^ f r ^' ds dS'.
2 (1 + 4Tr€F)'
On voit que l'on passera des formules de Maxwell à celles-ci si l'on remplace
E par I,
1 4- 4TreF ' ( l + 4T:eF)«
e L'analogie des deux théories est alors complète.
L'analogie entre la théorie de Maxwell et la théorie classique n'est plus aussi complète dans le cas où le système renferme un diélectrique hétérogène ou plusieurs diélectriques distincts.
Supposons que des conducteurs 1 soient plongés dans un milieu diélectrique homogène et indéfini 0, et que, dans ce milieu, se trouve un autre corps diélectrique, également homogène, 2 ; aux diélectriques et 2 correspondent des valeurs Ko, K^ du coefficient K.
La fonction V, qui est continue dans tout l'espace et constante à l'intérieur de chacun des conducteurs, vérifie l'équation AV ^= aussi bien à l'intérieur du diélectrique que du diélec-* trique 2.
A la surface de séparation du diélectrique et du diélectrique 2, elle vérifie la relation .
(a) Ko gjj- + K, ^ = 0.
 la surface de contact du corps 1 et du diélectrique se trouve une densité superficielle E^o donnée par l'égalité
(!>) E., = - fe *'*'
4Tr 6No
Enfin, l'énergie électrostatique a pour valeur
Comparons ces relations avec celles que donne la théorie classique.
La fonction V, continue dans tout l'espace, constante à l'intérieur des conducteurs, est harmonique au sein des diélectriques.
 la surface de contact des diélectriques et 2, on a
(a) (1 + 4ueFo) ^ + (1 + 4n6F,) |I = 0.
— iSO —
 la surface de contact du conducteur 1 et du diélectrique se trouve une densité superficielle réelle
(p) Zjo = îs 5^ •
 la surface de contact des deux diélectriques se trouve une densité superficielle, purement fictive,
6 (F, - F.) ftV
l + 47T€F, feNo'
et cette densité n'est pas nulle, en général, si Fj^ n'est pas égal à Fq. Enfin, l'énergie électrostatique a pour valeur
U = I I VA,o rfS.o + I |VA,0 dS,o
ou
Peut-on passer du premier groupe de formules au second en remplaçant E^q par Zjo et Y par XV, \ étant une constante ccmvenablement choisie ?
La comparaison des égalités (6) et (P) donnerait
(1 + 4Tr€Fo) = KoX.
Celle des égalités (a) et (a) donnerait
1 4- 4TreF, K l + 47r£Fo Ko'
On aurait donc, d'une manière générale,
KX = (1 +• 4neF)
L'égalité (c) deviendrait
u == ^ I vz,o dS,o.
Si nous posions
. ~ 1 + 4Tr€Fo '
nous retrouverions le premier terme de l'expression (t), mais point le second.
Nous arrivons donc à la conclusion suivante :
Si désigne le milieu polarisable éthéré où tous les corps sont censés plongés ; si Fo est le coefficient de polarisation diélectrique de ce milieu; si F, est le coefficient de polarisation diélectrique du corps plongé dans ce milieu; si, enfin, dans les équations de la troisième électrostatique de Maxwell on remplace :
La densité électrique E à par la densité électrique réelle
la surface des conducteurs Z,
eV La fonction Y par la fonction . . — ^ , où
V est la fonction potentielle électrostatique.
Le coefBcient Ko par ^^ — ■ ^^ ,
Le coefBcient K, par ^^ — ' ^^ — ! ^ ,
Partant, le rapport ^ par ^ I ^^^^ y
on retrouve les formules par lesquelles l'électrostatique classique détermine la valeur de la fonction potentielle en tout le système et la distribution réelle de l'électricité sur les conducteurs, en sorte que, pour ces problèmes, les deux électrostatiques fournissent des solutions équivalentes.
L'équivalence se poursuit si Ton veut étudier les forces pondéromotrices produites entre conducteurs électrisés daas un système qui ne renferme pas d'autre diélectrique que le milieu Ô. ,
Mais s'il existe un autre diélectrique 2, la transformation précédente, appliquée à Ténergie électrostatique de Maxwell, ne donne pas l'énergie électrostatique classique; il y manque le terme
e (F, - Fq) f V ftV
qui s'écrirait aussi, en vertu des équivalences que nous venons d'indiquer,
Ko — K/
"g:|^ \ ^ VM" *^!0
'im'^(Mh(M)>'-
Stt
On voit que ce terme ne peut être nul, si le champ électrique n'est pas nul et si le diélectrique 2 diffère du milieu 0.
La présence ou l'absence de ce terme différenciera la loi des forces pondéromotrices qui s'exercent dans le système considéré selon la doctrine classique ou selon la doctrine de Maxwell.
Or, les recherches de M. Gouy (*), qui sont d'ailleurs sur ce point une suite naturelle des nôtres l**)^ ont montré que la doctrine classique rendait parfaitement compte des actions observées entre conducteurs et diélectriques par divers physiciens, notamment par M. Pellat. Il faut en conclure qu'en général, ces actions ne s'accordent pas avec l'électrostatique de Maxwell.
(*) Gouy, Journal de Physique, 3« série, t. V, p. 154, 1896.
(**) P. Duhem, Leçons sur V Électricité et le Magnétisme^ t. II, 1892.
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que Cc{3ÎË plus justement, on
^^(|^i*^]^|^^;$!ê£Q^ii^^e:IËw^urbe fermée c, que ^^I^^^ûFiie^^tâ^4l£^, et qu'elle la perce S* •!£• "♦'«1?» -T" «iï» «îi» •if» •if»
en passant de la face négative à la face positive; la force à laquelle le pôle est soumis effectue un certain travail que représente rintégrale
(ad;r + pdy + fdz)
étendue à la courbe fermée c.
Les lois de Télectromagnétisme, établies par Biot et Savart, par Laplace, par Ampère et par Savary, font connaître les propriétés des grandeurs a, p, y. Ces lois conduisent à la conséquence suivante :
Le travail dont nous venons de donner l'expression ne dépend ni de la forme de la courbe r, ni de la forme de la courbe G ; il ne dépend que de l'intensité du courant qui parcourt la courbe G ; si cette intensité J est mesurée en unités électromagnétiques, il a pour valeur 47tJ :
(27) \ {adx + f^dy + fdz) = 4TrJ.
Cette égalité peut s'interpréter un peu autrement. Supposons que la courbe c soit le contour d'une aire a. Si nous regardons l'aire a de telle sorte que nous voyons le pôle d'aimant tourner en sens inverse des aiguilles d'une montre, nous dirons que nous regardons la face positive de l'aire a.
Il est clair que le courant qui parcourt le fil G perce l'aire a en passant du côté négatif au côté positif; et comme, au travers de chaque section du fil G, il transporte dans le temps dt, une quantité dQ = Jdt d'électricité positive, on peut dire que l'aire a est traversée, pendant le temps dt, du côté négatif au côté positif, par une quantité d'électricité positive dQ = 3dL L'égalité (27) peut donc s'écrire
(28) dt \ {adx + ^dy + y dz) = A^ndQ.
Gette égalité s'étend sans peine au cas où le champ renferme un nombre quelconque de fils parcourus par des courants fermés et uniformes. Si une courbe fermée c, parcourue dans un sens déter-;
miné, est le contour d'une aire a et si dQ est là quaiitité d'électricité positive qui, dans le temps dt, perce Taire a du côté négatif au côté positif, l'égalité (S8) demeure exacte.
La démonstration suppose que la courbe c n'a aucun point commun avec les fils conducteurs qui transportent l'électricité; pour affranchir l'égalité (28) de cette restriction, certaines précautions seraient nécessaires; sans s'y attarder, Maxwell admet que l'égalité (28) s'étend même au cas où la courbe fennée c est tracée au sein d'un corps que des flux électriques parcourent d'une manière continue.
Dans ce dernier cas, la quantité dQ se relie simplement à ces flux.
Soient da un élément de Taire a ; ?/, i?, w les composantes du flux électrique en ce point ; N la normale à cet élément, menée dans un sens tel qu'elle perce Taire a du côté négatif au côté positif; dans le même sens, et pendant le temps dt^ Taire da livre passage à une quantité d'électricité
[u cos (N, x) -\- V cos (N, y) + w cos (N, z)] da dt et Taire a tout entière à une quantité d'électricité
dt
I [« COS (N, x) + V cos (N, y) + w cos (N, z)\ da = dQ.
L'égalité (28) devient donc
(29) \ (adx -\- ^dy -\- -idz) — in \ [u cos (N,x) + v cos (N,y) + w cos (N,»)] dc = 0.
Or, une formule souvent employée par Ampère et dont la forme générale est due à Stokes permet d'écrire
|(ada:+ My + Td«) = - j" [ (eJ " i)<»s(N,a;)
L'égalité (29) peut donc s'écrire
+ (m - § + 4«'^)cos (N, ^)] da = 0.
Cette égalité doit être vraie pour toute aire a tracée à Tintérieur du corps que parcourent les flux électriques. Pour cela, on le voit sans peine, il faut et il suffit que Ton ait, en tout point de ce corps, les trois égalités
bT bp .
by bz
y«^x y ba by M
bf^ ba .
bx by
Ces trois équations, auxquelles Maxwell attribue un rôle essentiel, se trouvent établies, dans son plus ancien mémoire {*) sur l'électricité, par une démonstration que de simples nuances distinguent de la précédente; cette démonstration il la reproduit (**) ou l'esquisse (***) dans tous ses écrits ultérieurs.
Dans son mémoire : On Faraday' s Lines of Force, Maxwell fait suivre les équations (30) de la remarque que voici: * Nous pouvons observer que les équations précédentes donnent par diflférentiation
bu .bv bw ç.
bi + by + bi" ~ '
(*) J. Glerk Maxwell, On Faraday*» Lines of Force (Scientific Papers, vol. I, p. Id4), En réalité, dans ce mémoire, Maxwell omet le facteur 4iT ; en outre les signes des seconds membres sont changés par suite d*une orientation différente des axes des coordonnées.
(**) J. Glerk Maxwell, On physical Lines of Force (Scientific Papers, vol. I, p. 462). — Traité éf Électricité et de Magnétisme, trad. française, t. II, p. 285.
(***) J. Glerk Maxwell, A dynamical Theory of the eleetromagnetic Field (Sciehtific Papers, vol. I, p. 557).
ce qui est réquation de continuité pour les courants fermés. Toutes nos investigations se borneront donc, à partir de ce moment, aux courants fermés; et nous connaissons peu de chose des efifets magnétiques des courants qui ne seraient pas fermés. „
La condition d'uniformité, imposée aux courants dans les prémisses du raisonnement, se retrouve dans les conséquences; Maxwell qui, à Tépoque où il écrivait les lignes précédentes, professait sur les courants électriques les mêmes idées que tous les physiciens, se garde bien d'en conclure que tous les courants soient nécessairement uniformes, mais seulement que l'application des équations (30) se doit limiter aux courants uniformes.
La même observation se retrouve dans le Traité d'Électricité et de Magnétisme; mais, selon la doctrine exposée dans ce Traité, si le flux de conduction et le flux de déplacement peuvent être séparément non uniformes, le flux total, obtenu par la composition des deux précédents, est toujours uniforme; les équations (30) seront donc exemptes de toute exception * si nous considérons u, f, w comme les composantes du flux électrique total comprenant la variation de déplacement électrique, aussi bien que la conduction proprement dite ,. En d'autres termes, on pourra, en tout état de cause, écrire les relations
bi/ bz
•r^ — r- = — 4in (w + w), bx by ^ ^
§ 2. Uétat électrotonique et le potentiel magnétique dans le mémoire :
On Farâdat's Lines of Forge.
Le groupe de trois équations que nous venons d'étudier ne constitue pas, à lui seul, tout l'électromagnétisme de Maxwell. Il est complété par une série de propositions essentielles. La formé de ces propositions, la suite de déductions et d'inductions qui les
fournit, varient d'un écrit à l'autre; nous devrons donc analyser successivement chacun des mémoires composés sur l'électricité par le physicien écossais; selon Tordre chronologique, nous commencerons par le mémoire intitulé : On Faraday* s Lines of Force.
Dans ce mémoire, comme dans ses autres écrits antérieurs au Traité d'Électricité et de Magnétisme, Maxwell ne tient jamais compte des surfaces de discontinuité que peut présenter le système; il faut donc, pour suivre sa pensée, supposer que deux milieux distincts sont toujours reliés par une couche de passage très mince, mais continue; il suffit que la remarque en ait été faite pour que toute difficulté soit écartée de ce côté.
Il n'en est pas de même des difficultés causées par les erreurs matérielles de calcul et, particulièrement, par les fautes de signe ; elles sont incessantes dans le passage que nous nous proposons d'analyser et jettent quelque incertitude sur la pensée de l'auteur.
Aux composantes a, p, y du champ magnétique qu'il nomme tantôt force magnétique, tantôt intensité magnétique et tantôt force magnétisante effective, Maxwell adjoint une autre grandeur, de composantes -4,5, C(*), qu'il nomme induction magnétique ; ce mot qui, dans des écrits plus récents, prendra un autre sens, désigne assurément ici la grandeur que l'on considère habituellement, dans la théorie du magnétisme, sous le nom d'intensité d'aimantation; conformément aux idées de Poisson, on doit avoir [^« Partie, égalité (2)]
rog^ bA hB , bC
p étant la densité du fluide magnétique fictif, que Maxwell nomme la matière magnétique réelle (**).
(*) Nous De conservons pas ici les notations de Maxwell.
(**) J. Clerk Maxwell, On Faraday* 8 Lines of Force (Scikmtific Papers, vol I, p. 192). En réalité, au lieu de p, Maxwell écrit irrp; en outrp, dans le passage indiqué, le signe du second membre de Tégalité (32) est changé; mais il se trouvé rétabli à la p. 201.
Entre les grandeurs A^ B^ C et les composantes a, p, t du champ existent les relations
(33) ^~Z' ^ = gi ^^K'
où E désigne la résistance à Vinduction magnétique (*); si Ton continue à rapprocher la théorie de Maxwell de la théorie de Poisson, on reconnaît que cette résistance est Tinverse du coefficient d'aimantation.
Soit Fia fonction continue, nulle à Tinfini, que définit l'équation
(34) AF+4iTp = 0.
Cette fonction ne sera autre chose que la fonction potentielle magnétique introduite en physique par Poisson. Considérons les différences
in bx '
in bz
Selon les égalités (33) et (34), ces différences vérifieront la relation
i'^fVi ba bb . bc
^^®> bi + 6^ + bi = ^-
Or un théorème d'analyse, souvent employé par Stokes, par Helmholtz, par W. Thomson, enseigne qu'à trois fonctions a, 6, c,
(*) J. Glerk Maxwell, loc, cit., p. 192.
liées par la relation (36), on peut toujoars associer trois autres fonctions F, G, H, telles que l'on ait
^ 1 /bH bG\
4n \by bz J
4ir \bx by
et
Dès lors, les égalités (35) peuvent s'écrire
inA =^ — — f— — — ^ bx \bj/ bz ) '
Empruntant une dénomination par laquelle Faraday désignait une conception assez vague, Maxwell (*) donne aux quantités F, G, H le nom de composantes de l'état électrotonique au point {x, y, z).
Quel sera le rôle physique attribué à ces grandeurs ? L'étude du potentiel électromagnétique d'un système va nous l'apprendre.
Revenons aux équations (30).
Dans un système qui ne renferme pas de courant, où, par conséquent, Uy t7, w sont partout égaux à 0, ces équations nous enseignent que les composantes a, p, t du champ magnétique sont les trois dérivées partielles d'une même fonction ; quelle est cette
(*) J. Glerk Maxwell, loc. eit, p. 203 ; les quantités F, 6, H sont désignées par ao, Po, To-
fonction P Guidé par la théorie classique, Maxwell admet (*) que c'est la fonction — V, en sorte que, dans un système qui renferme des aimants et point de courant, on a
Lorsqu'on système d'aimants se meut, les forces qui s'exercent dans ce système, conformément aux lois classiques que Maxwell admet et que traduisent les égalités précédentes, effectuent un certain travail ; selon un théorème bien connu, ce travail est la diminution subie par l'expression
duj,
où l'intégrale s^étend à tous les éléments de volume do) du système. Pourquoi Maxwell (**) omet-il le facteur Va et écrit-il ces lignes : *" Le travail total produit durant un déplacement quelconque d'un système magnétique est égal au décroissement de l'intégrale
Fprfuu
étendue à tout le système, intégrale que nous nommerons le potentiel total du système sur lui-même „ ? On n'y voit point de raison. Toujours est-il qu'il serait impossible de corriger cette erreur et de restituer à E sa véritable valeur sans ruiner, par le fait même, toute la déduction que nous voulons analyser. Passons donc condamnation sur cette erreur et poursuivons. L'égalité (41) peut encore s'écrire, en vertu de l'égalité (32),
ou
^=K-^ë^+^^'+^fc>
(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit, p. 202. En réalité, en ce passage, Maxwell dit F; mais à la page suivante, il rétablit un signe exact. (**) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 203.
ou enfin (*), en vertu des égalités (40),
(42) E = — r (4o + Bp + Ot) dm.
Ifaxwell admet (**) que cette expression du potentiel s'étend au cas où le système renferme non seulement des aimants, mais encore des courants. Faisant alors usage des égalités (39), l'égalité (42) peut s'écrire
(43) E = - j;^ J (^«^ + P^ + T^Jrfu.
On trouve sans peine» en vertu des égalités (40) et (34),
= r FAFdui = — 4ir (vp du).
D'autre part, en tenant compte des égalités (30), on trouve
= — 4Tr i (Fw 4- Gr + Hu?) rfui.
(*) J. Glerk Maxwell, lœ. cit., p. 203, change le si|pie du second membre. (**) J. Glerk Maxwell, loe. cit., p. 203. . .
L'égalité (43) devient donc {♦)
(44) E = r Fp dui — r (Fu + Gv + Ew) du).
Parvenu à cette formule, Maxvsrell se propose de tirer du principe de la conservation de l'énergie les lois de l'induction électromagnétique, imitant, comme il le reconnaît (**), le raisonnement bien connu de Helmholtz dans son Mémoire : Ueber die Erhaltung der Kraft
Imaginons, dit-il, que des causes extérieures lancent des courants dans le système. Ces causes fournissent du travail sous deux formes.
En premier lieu, elles surmontent la résistance que les conducteurs opposent au passage de l'électricité; si l'on désigne par E^^ E^y Eg, les composantes du champ électromoteur en un point, le travail fourni dans ce but, pendant le temps dt^ est
— dt ( (E^u + Ej^v + E,w)d^.
En second lieu, elles fournissent du travail mécanique qui met le système en mouvement ; le travail ainsi fourni pendant le temps dt est, par hypothèse, égal à l'accroissement de la quantité Q pendant le même temps; sans justifier l'omission du terme y Fp du), Maxwell réduit (***) cet accroissement à
— dt^^ f (Fm + Gp + Hu;) diju
ou bien encore, en supposant m, v, w invariables, à
,, r/rfF , dG , dH \,
(♦) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 203.
(•♦) J. Clerk MaxweU, loe. cit., p. 204.
(**♦) J. Qerk Maxwell, loc. cit., p. 204.
Si l'on suppose que les causes extérieures disparaissent, et que les courants soient exclusivement engendrés par l'induction que le système exerce sur lui-même, le travail fourni par ces causes extérieures doit être égal à 0, d'où l'égalité
dt f r^w + ^^ + ^^ dM} + dt Ue^u + E^v + E,iJo)dM} =
qui peut encore s'écrire
On vérifie cette égalité (45) si Ton pose
Ces égalités, dont Maxwell (*) admet l'exactitude, relient les composantes du champ électromoteur d'induction aux composantes de l'état électrotonique.
§ 3. Examen de la théorie précédente.
Ces égalités s'accordent-elles avec les lois connues de l'induction?
Maxwell n'a point donné l'expression analytique des fonctions F, G, H, non plus que de la fonction F et, partant, n'a pas développé les égalités (46) ; mais il est aisé de suppléer à son silence.
La fonction V étant, selon son sentiment maintes fois répété, la fonction potentielle magnétique, est donnée par l'égalité
(47) rix,!,,z) = I (^.^ + £,^ + C,^) du.,.
(*) J. Qerk Maxwell, loc. cit., p. 90i.
Dès lors, les conditions imposées aux fonctions F, G, H les déterminent sans ambiguïté et donnent :
(48) I G(..,y,.) = j'(^.^-C.^)rfu,„
Si, dans les équations (46), on reporte ces expressions des fonctions F, G, H, on trouve, pour les composantes du champ électromoteur d'induction, des expressions qui s'accordent fort exactement avec les lois connues, dans le cas où l'induction est produite par un changement d'aimantation sans que le système éprouve aucun mouvement. L'accord est moins parfait lorsque les aimants et les conducteurs se déplacent ; un terme manque, que d'ailleurs on rétablirait sans peine en cessant de traiter M, î?, w comme invariables et en laissant constant seulement le flux électrique dont ces trois quantités sont les composantes.
Mais une objection plus grave se dresse contre la théorie de Maxwell.
Si cette théorie, appliquée à un système en mouvement, y dénote l'existence de forces électromotrices d'induction, ces forces électromotrices présentent toutes ce caractère de s'annuler lorsque le système ne contient pas d'aimant; le mouvement de conducteurs traversés par des courants serait donc incapable d'engendrer aucun phénomène d'induction.
Cette seule conséquence suffit à condamner la théorie exposée par Maxwell dans son écrit : On Faraday' s Lines of Force.
Ajoutons une remarque faute de laquelle le lecteur éprouverait quelque embarras en comparant les formules précédentes à celles de Maxwell.
En premier lieu, Maxwell, en écrivant les égalités (30), omet, au second membre le facteur 4Tr; ce facteur 4tt, il l'introduit au contraire au second membre de l'égalité (32) et il nous faut indiquer brièvement combien est illogique cette introduction.
Elle a pour point de dépaii ce que, dans le mémoire en question, Maxwell dit des flux électriques (*).
Si u, V, w sont les composantes du flux en un point d'une surface fermée S, la quantité d'électricité qui pénètre dans cette surface pendant le temps dt est
[ [u cos (Ni, x) -\- V cos (Nj, y) + w cos (\„ z)] dS.
Une intégration par parties transforme cette expression en
<*») -*|Cr: + 5? + ^)^"'
l'intégrale s'étendant au volume que limite la surface close; par une faute de signe évidente, Maxwell écrit
(49"-) +rf,(,+ +jdu,.
ht/ bz J
Si e désigne la densité électrique en un point intérieur à la surface S, l'intégrale (49) doit être égale à
rf< 1 ^ rfu,, ce qui donne de suite l'équation de continuité
Maxwell n'écrit pas cette égalité; mais il écrit l'égalité (**)
,^.. bu , bi^ , bw .
(^1) 6Ï + S^ + SJ = *^P'
sans y joindre aucune explication, sinon que p s'annule dans le cas des courants uniformes.
{*) J. Clerk Maxwell, loc, oit , pp. 191-192.
(**) J. aerk Maxwell, loc. eit, p. 192, égalité (G).
Il est évidemment loisible de considérer une quantité p définie
1 be par cette égalité ; cette quantité p se trouvera être égale à — tj: t-t;
malheureusement, Maxwell semble supposer que la quantité p est
be précisément égale à 7-^ et raisonner en conséquence ; il est
probable que cette supposition le guide au cours de Tassimilation qu'il établit (*) entre la conductibilité électrique et l'aimantation et le conduit à relier les composantes de Tinduction magnétique à la densité magnétique par Tégalité
f^9^ bA ,bB ,bC ,
qu'il remplace d'ailleurs, quelques pages plus loin (**), par
,.„, bA ,bB . bC .
<^^) bJ + b^ + 5F = - *"P-
Nous aurons occasion plus loin de revenir sur cette égalité (52). Pour le moment, contentons-nous de remarquer que l'emploi des égalités (30) et (32) sous la forme que nous avons donnée fournit des formules qui, parfois, différent de celles de Maxwell par l'introduction ou par la suppression d'un facteur 4it; mais cette modification n'altère pas, croyons-nous, l'esprit même de la théorie.
Il est, cependant, une dernière objection que l'on pourrait adresser à l'interprétation que nous avons donnée de cette théorie. Nous avons admis sans discussion que Yinduction magnétique dont parle Maxwell devait être identifiée ici avec Yintensité d^aimantalion telle qu'elle a été définie au début de cet écrit; que, par conséquent, la résistance magnétique K était l'inverse du coefficient d'aimantation k considéré par Poisson. Cette assimilation demande à être discutée.
 la surface qui sépare un aimant d'un milieu non magnétique,
(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 180.
(**) J. Glerk Maxwell, loe, eit, p. 901.
la fonction potentielle magnétique F vérifie la relation [!• Partie, Chapitre I, égalité (5)]
^ + 5^ =- 47T [^ cos (N„ x) + B cos (N„ y) + C cos (N„ z)],
Ni et Ne étant les directions de la normale vers l'intérieur et vers l'extérieur de Taimant. Si les lois de Taimantation sont celles que Poisson a données [Ibid., égalités (6)1, le second membre de
Tégalité précédente devient — iixk ™- , en sorte que Tégalité
précédente devient
(54) |^+(l+4nA:)||- = 0.
Or, Maxwell indique nettement (*) que la résistance magnétique K est égale au rapport
bF
bN,
bV bN,
On doit donc poser
1 + 4TrA; *
La quantité
(56) |Li = 1 + 4TrA:
est ce que W. Thomson (**) a nommé la perméabilité magnétique.
La résistance électrique considérée par Maxwell doit donc être prise égale à Tinverse non du coefficient d'aimantation de Poisson, mais de la perméabilité magnétique de W. Thomson.
Les composantes de Vinduction magnétique s'obtiennent en divi-
(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 179.
(**) W. Thomson, Papkrs on electrostatigs and iiaqneti9m, art^ 629; 1872.
sant les composantes a, P,t du champ par la résistance magnétique ou, ce qui revient au même, en les multipliant par la perméabilité magnétique; ces grandeurs ont donc pour expressions
(57) A = (l+4TrA:)a, B = {l + ink) fi, G = (1 + 4ttA;)t,
tandis que les composantes A, B, C de Vaimantation ont pour valeurs
(58) A ^ ko., B = k^, C = kj.
L'induction magnétique et Taimantation ne sont pas identiques; leurs composantes sont liées par les égalités
(59) A = i+^A, B==^-±^B, C = ii^a
Lors donc que nous avons identifié Yinduction magnétique de Maxwell avec Vintensité d'aimantation nous avons commis une grave confusion.
Si nous Tavons commise, c'est qu'elle nous a semblé conforme à la pensée de Maxwell, et que la théorie développée nous a paru intimement liée à cette confusion.
Certainement, dans le mémoire que nous analysons, Maxwell n'a nullement aperçu la distinction sur laquelle nous venons d'insister; il proclame (*) la complète identité mathématique des formules auxquelles conduit la théorie classique de la polarité magnétique et des formules fournies par sa théorie de la propagation par conductibilité des lignes de force magnétiques ; maintes fois, au cours de ses raisonnements, il transporte à Yinduction magnétique les propriétés connues de Vaimantation. En particulier, le point que voici semble très clair :
La confusion entre la notion d'induction magnétique et la notion d'intensité d'aimantation que Ton considère dans la théorie classique du magnétisme a seule conduit Maxwell lorsqu'il a établi une relation entre les variations que l'induction magnétique
(*) J. Clerk Maxwell, On Faraday^ s Lines of Force (Scikntific Papers, vol. V p. 179).
éprouve d'un point à l'autre et la densité de la matière magnétique; lorsque, dans son Traité d'Électricité et de Magnétisme, Maxwell parviendra à distinguer les deux notions d'intensité d'aimantation et d'induction magnétique, il n'établira plus aucune relation entre les dérivées des composantes de cette dernière et la densité magnétique.
§ 4. L'état électrotonique et V énergie électromagnétique dans le mémoire : On physical Lines of Forge
Noire intention n'est pas de discuter ici les problèmes de mécanique que soulève la théorie exposée dans le mémoire : On physical Lines of Force; acceptant comme démontrées toutes les lois dynamiques que Maxwell énonce au sujet du milieu qu'il a imaginé, nous examinerons seulement de quelle manière Maxwell transporte ces lois du domaine de la mécanique au domaine de l'électricité.
Le fluide que renferment les cellules est animé d'un mouvement tourbillonnaire; soient, au point (x, y, z) et à l'instant t, a, p, t les projections sur les axes d'un segment égal à la vitesse angulaire de rotation et porté sur l'axe instantané de rotation de l'élément rfuj ; soit, en outre, |ui une grandeur proportionnelle à la densité du fluide qu'animent ces mouvements tourbillonnaires. Selon Maxwell, un élément de volume rfu) du fluide est soumis à une force dont Xduj, Yrfoj, Zrfuj sont les composantes; X a la forme que voici (*) :
47T \hx bzj 4tt \bt/ bxj bx
Y et z ont des expressions analogues.
Laissant de côté le terme — r—, où IT représente une certaine pression, Maxwell s'efforce de donner une interprétation élec-
(*) J. Clerk Maxwell, On physical Lines of Force, Scientifig Papers, vol. I, p. 458.
tromagnétique des autres termes qui forment le second membre de Tégalité (60).
Le point de départ de cette interprétation est le suivant : Les grandeurs a, p, y, composantes de la rotation, figurent, en chaque point, les composantes du champ magnétique.
Dès lors, si l'élément ûfui renferme une masse m de fluide magnétique, il doit être soumis à une force ayant pour composantes am, pm, ym ; parmi les termes qui forment X, on doit en
premier lieu, selon Maxwell, trouver le terme ap, p =-7— étant la
densité du fluide magnétique au point considéré, et ce terme ne peut être que le premier; Maxwell est conduit ainsi à admettre que la densité du fluide magnétique en un point est donnée par l'égalité
Maxwell, qui donne de nouveau le nom de composantes de Vinduction magnétique aux quantités ^a, )x^^ jut, est ainsi amené à reprendre l'égalité (52) qu'il avait proposée, puis abandonnée, dans son précédent mémoire.
Cette relation, Maxwell cherche-t-îl à la justifier autrement que par le besoin de retrouver un certain terme au second membre de l'égalité (60)? Il n'écrit dans ce sens que ces quelques lignes (*) :
** De la sorte,
A ^a + A f.p + ^ ^t) '/<" = 4irp rfuj,
qui représente la quantité totale d'induction traversant la surface de l'élément c/ui de dedans en dehors, représente la quantité contenue en cet élément de la matière magnétique imaginaire australe. ,
Mais ces lignes vont à l'encontre de l'objet poursuivi par Maxwell, car elles conduiraient à écrire au second membre prfuj, et non point 4ttp d^xi.
(*) J. Clerk Maxwell, loc» cit., p. 459.
L'influence exercée sur l'esprit de Maxwell par l'étrange égalité (51), écrite en son précédent mémoire, est ici bien palpable.
Si a, p, Ti représentent les composantes du champ magnétique, les composantes w, v, w du flux électrique doivent vérifier les égalités (30). Au second membre de X, on aura
ce qui représentera la composante parallèle à Ox de l'action électromagnétique.
Reste à interpréter le terme
Il représente la composante parallèle à Ox d'une force qui tend à entraîner l'élément rfui vers la région de l'espace où le champ a la plus grande valeur absolue. Faraday (*) avait déjà montré que l'on pouvait regarder un petit corps diamagnétique, c'est-à-dire un corps pour lequel \x a une moindre valeur que dans le milieu ambiant, comme se dirigeant vers la région de l'espace où le champ a la moindre valeur absolue; et W. Thomson avait montré (**) qu'un petit corps parfaitement doux était, en quelque sorte, attiré par le point de l'espace où (a^ + P^+ï^) a la plus grande valeur. Maxwell n'hésite pas à voir dans le terme (63) la composante parallèle à Ox de cette attraction.
Mais une objection grave peut être faite à cette interprétation.
Lorsqu'un corps parfaitement doux est soumis à l'induction magnétique, l'aimantation qu'il prend peut être figurée par une certaine distribution de fluide magnétique ; les actions qu'il subit peuvent être décomposées en forces qui solliciteraient les diverses masses élémentaires de ce fluide magnétique ; l'attraction apparente exercée sur le corps parfaitement doux par le point où le
(•) Faraday, Expérimental Researches, § 2418 (Philosophical Transactions, 1846, p. 21).
(**) W. Tfaomson, Philosophical Magazine, octobre 1850. — Papers on Elegtrostatigs and MaonetisK n^ 647.
champ atteint sa plus grande valeur absolue n'est pas une action distincte des précédentes et superposée aux précédentes ; elle n*en est que la résultante. L'interprétation de Maxwell lui fait donc trouver deux fois, au second membre de Tégalité (60), une action que les lois reconnues du magnétisme n'admettent qu'une seule fois.
Cette difficulté n'est pas la seule à laquelle se heurte la théorie dont nous poursuivons l'exposé.
Supposons (*) que le système ne renferme aucun courant électrique ; les égalités, alors vérifiées,
tt = 0, V = 0, w =
se transformeront, selon les égalités (30), en
^^ = ^ — ^ = ^ — ^ = 0by bz ^ bz bx ' bx by '
les composantes a, p, y du champ magnétique seront les trois dérivées partielles d'une même fonction :
L'égalité (61) deviendra
et, dans une région où |li ne change pas de valeur lorsque l'on passe d'un point au point voisin,
(66) , AF=-4tt£.
Imaginons que ^ ait, dans tout l'espace la même valeur; supposons qu'une région 1 de cet espace renferme de la " matière
(*) J. Glerk Maxwell, loc, cit, p. 464.
magnétique imaginaire ^ en sorte que p y diffère de 0, tandis que p est nul en tout le reste de l'espace ; nous aurons
(67) V -^ { ^ rfuj,.
Le champ magnétique se calculera donc comme si deux masses m, m\ situées à la distance r, se repoussaient avec une force
1 mm^
Dans le vide où, par définition, m = 1, cette force a l'expression
— â" donnée par Coulomb, dont il semble ainsi que Ton ait
retrouvé la loi; conclusion cependant qu'il ne faut point se hâter d'affirmer, car la déduction précédente est subordonnée à l'hypothèse que )ui a la même valeur au sein des masses aimantées et du milieu interposé, hypothèse inadmissible lorsqu'il s'agit de masses de fer placées dans l'air.
Ajoutons cette remarque, bien capable de jeter quelque discrédit sur la théorie du magnétisme donnée par Maxwell. Selon la théorie classique, un aimant quelconque renferme toujours autant de fluide magnétique boréal que de fluide magnétique austral; en sorte que la charge magnétique totale qu'il renferme est toujours égale à 0. Cette conclusion n'a plus rien de forcé dans la théorie de Maxwell ; en sorte que, selon cette théorie, il semble possible d'isoler un aimant qui renfermerait uniquement du fluide boréal ou uniquement du fluide austral.
Les considérations précédentes jouent un grand rôle dans la détermination de la forme qu'il convient d'attribuer à l'énergie magnétique (*),
Le fluide, animé de mouvements tourbillonnaires qui représentent le champ magnétique, possède une certaine force vive; cette force vive a pour vahur
(68) E = C fin (a' + p2 + T«) du),
(*) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 472.
rintégrale s'étendant au système entier et C étant un coefficient constant dont il s'agit de déterminer la valeur.
Pour y parvenir, Maxwell suppose que le système ne renferme aucun courant, cas auquel les égalités (64) sont applicables. L*égalité (68) devient alors
d[sj.
Il suppose ensuite que jn a la même valeur dans tout Tespace, ce qui permet de transformer l'égalité précédente en
(69) E = — gL
FAFdu).
Il suppose enfin que la fonction F est la somme de deux fonctions. La première, F^, vérifie, en tout point du volume uji, l'égalité
et, en tout autre point, l'égalité AFj = 0. La seconde, F^, vérifie, en tout point d'un volume uu^ n'ayant avec 0)^ aucun point commun, l'égalité
