AF

et, en tout autre point, l'égalité A Fjj = 0. Dès lors, l'égalité (69) peut s'écrire

(70) E = 47tG r ( \\ + F,) p, rfu), + 4ttG r {V + V^) p, diu,. D'ailleurs le théorème de Green donne l'égalité

r F.AF.duu = r r,AF,rfu),

où les intégrales s'étendent à l'espace entier; cette égalité se transforme sans peine en la suivante,

J Fj p, du)j =1 Fg p, diup

qui transforme Tégalité (70) en

(71) E = 47rCr Fj Pi diuj + 4TrC r F,p,rfiu, + SttC (* F,p,rfuj,.

Supposons que le volume w^ demeure invariable ainsi que la valeur de p^ qui correspond à chacun de ses points; supposons que le volume ujj se déplace comme un solide rigide, chacun de ses points entraînant la valeur de Pg qui lui correspond; nous

reconnaîtrons sans peine que ( F^ p^ duj^, ( V^ p^ dujg garde-

ront des valeurs invariables, tandis que si nous désignons par î>^r ^y«' ^^2» '®s composantes du déplacement d'un point de l'élément duj^, nous aurons

b ^^V, p, rfu,, = l^^p, (^ bx, + ^ by, + gi b.,) rfu,,

(72) bE = 8.C l^^p, Q-Ii bx, + ^ by, + 11^ b.,) du..

Cette variation de l'énergie doit être égale et de signe contraire au travail des forces apparentes que l'aimant uji exerce sur l'aimant w^.

Tenant compte du premier terme de l'expression (60) de X et de l'interprétation qu'il en a donnée, mais oubliant entièrement le second terme, Maxwell admet que ce travail a pour valeur

dT = \ p, (tti bar, + p^ by, + Ti î>2^«) dw,

ou bien, en vertu des égalités (64),

En identifiant l'expression de — dT à l'expression de ÔE donnée par Tégalité (72), on trouve

SttC = 1,

en sorte que Tégalité (68) devient

(73) E = ^|M(a2 + P^ + T2)duj.

Ainsi est obtenue l'expression de la force vive ou énergie cinétique électromagnétique ; cette expression va jouer dans les travaux de Maxwell un rôle considérable.

En voici une importante application (*).

Imaginons un système immobile où a, p, y varient d'un instant à l'autre. Le système va être traversé par des flux électriques engendrés par induction. La production de ces flux correspond à un certain accroissement d'énergie du système ; et Maxw^ell admet que si E^^^Ey, E^ sont les composantes du champ électromoteur, l'accroissement d'énergie, au sein du système, dans le temps dt^ correspondant à la création des courants électriques, a pour valeur

l {E^u -{- EyV -\- E^w) duj.

L'énergie totale du système, que l'on suppose soustrait à toute action extérieure, devant rester invariable, l'accroissement dont nous venons de donner l'expression devra être compensé par une égale diminution de la force vive électromagnétique. Cette diminution a, d'ailleurs, pour valeur

rK"

^° + fsf + ^^i^-

(*) J. Clerk Maxwell, Scikntific Papkrs, vol. I, p. 475.

On aura donc l'égalité

(74) (E^u -\- Eyv + E,w) d^u + ^| ^(^agi + p|^ + T ^) duj = O.

Mais, en vertu des égalités (30), (E^u -it EyV -\- E,w) d\u

1 CVfbE, bE,\ YbE, bE,\ fbE, bE^s'

= -îsj \\:b^-^r+\-b^--b^p+\M-^r

duj

d\xi

L'égalité (74) devient alors

■bE, bE, ba\ fbE, bE, bp-

^ l^bx by '^bt ''

du) =0.

Elle sera évidemment vérifiée si l'on a, en chaque point,

bE,

bEy 5a

bz - ^bt '

bE^

bE, bp

bx ^bt'

bEy

bE„ br

bv ~ ^bt'

Les trois équations que nous venons d'écrire ont une grande importance; jointes aux trois équations (30), elles forment ce que Ton est convenu de nommer avec Heaviside, Hertz et Ciohn, les six équations de Maxwell.

Soit Y (a?, y, z, t) la fonction, définie à une fonction près de t, qui vérifie dans tout l'espace la relation

^ ' ^ bx ^ by ^ bz

Posons

Les égalités (75) et (76) deviendront

hE, ^ ha.

by bz ^ ^bt '

(^^> ^ bz bx ~ ^bt '

bx by bt

^'^^ "bF + "67 + "Si" - "•

Ces équations, vérifiées dans tout l'espace, sont traitées par Maxwell de la manière suivante (*) :

Soient F, 6, H, trois fonctions qui vérifient dans tout l'espace les relations

bH 66

6G 6F ' 6x by ~ ^'^'

(*) En réalité, dans le passage analysé, Maxwell désigne par - F, - 6, - H, les quantités que nous désignons ici par F, 6, H ; le changement de signe que nous avons introduit rétablit la concordance entre les divers écrits de Maxwell.

Nous aurons

et les égalités (77) deviendront

^ bV bF

^^ = ~ bF "" bF '

(82) {^^ = -b^ --bF'

., bV bH

^' -" bF '^ Tt'

Les fonctions F, 6, H, qui figurent dans ces formules, sont les composantes de Vétat électrotonique, déjà considéré par Maxwell dans son mémoire : On Faraday^ s Lines of Force. Quant à V (*), * c'est une fonction A'x, y, z^ t qui est indéterminée en ce qui concerne la solution des équations primitives, mais qui d'ailleurs est déterminée, dans chaque cas particulier, par les circonstances du problème. La fonction V doit être interprétée physiquement comme la tension électrique en chaque point de Tespace. „

Dans un système où le régime permanent est établi, F, G, H ne dépendent plus du temps ; les égalités (82) se réduisent à

bV bY bY

Les composantes du champ électromoteur sont respectivement égales aux trois dérivées partielles d'une fonction dont la forme analytique demeure absolument inconnue. C'est l'un des fondements de la deuxième électrostatique de Maxwell (**). En exposant ce calcul, Maxwell remarque fort justement (***)

(*) Dans l'étude de l'induction en un système immobile, Maxwell a oublié les

b¥ bV b¥

termes en — r— , — r—y — r— ; mais il les a rétablis dans les formules

ox oy oz

relatives à l'induction au sein d'un système en mouvement. (**) Voir 1" Partie, Chapitre III.

(***) J. Clerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 476, égalité (57).

que les équations (80) ne peuvent être écrites que si l*on a en tout point

Rapprochée de l'égalité (61), cette dernière égalité devient

Les équations (80) ne peuvent donc être écrites que si la matière fictive magnétique a partout une densité nulle. La théorie de Pétat électrotonique développée ici par Maxwell est incompatible avec l'existence du magnétisme ; c'est une restriction que Maxwell va oublier dans son mémoire : A dynamical iheory ofthe electromagnetic field.

§ 5. L'état électrotonique et Vénergie électromagnétique dans le 7némoire : A dtnamigal theort of the elegtrouagnbtig field.

Dans l'écrit intitulé : On physical Lines of Force, Maxwell s'est efforcé de créer un assemblage mécanique dont les propriétés pussent être regardées comme l'explication des phénomènes élec^ triques. Dans ses écrits ultérieurs, tout en continuant à admettre que les actions électriques et magnétiques sont d'essence mécanique, il ne cherche plus à construire le mécanisme qui les produit; selon le conseil de Pascal, il continue à * dire en gros : cela se fait par figure et mouvement „ ; mais il ne s'efforce plus * de dire quels et de composer la machine. , Former l'expression de l'énergie électrostatique et de l'énergie électromagnétique ; montrer qu'à ces expressions on peut rattacher les lois des phénomènes électriques, en imitant la méthode de Lagrange, qui tire les équations du mouvement d'un système des expressions de l'énergie potentielle et de Fénergie cinétique du système; tels sont les objets du mémoire : A dynamical theory ofthe electromagnetic field et du Traité d'Électricité et de Magnétisme.

La troisième partie du mémoire : A dynamical theory of the electromagnetic field, qui nous intéresse particulièrement ici, offre,

sous une forme extrêmement concise, la réunion des principales formules qui régissent les phénomènes électriques.

L'une des grandeurs que Maxwell introduit tout d'abord est le moment électromagnétique (♦); ce vecteur dont il désigne par F, 6, H les composantes, joue exactement le rôle qu'il attribuait, dans ses précédents mémoires, à Yétat électrotonique; il admet d'emblée, en effet, que les composantes jE^, J^y, £^ du champ électromoteur d'induction en un système immobile sont données par les égalités

jpf bF jp, bG jp, bH

^*="~bF' ^^="~5r' ^'=•""5^-

De ces grandeurs F, 6, H, Maxwell ne donne aucune expression analytique; mais il les relie aux composantes a, p, t du champ magnétique. Désignant par ^a, ^p, ^T les composantes de Yinduction magnétique^ il écrit les trois relations (**)

fia,

(SObis) - - = ^ ^p,

Ces égalités, vérifiées dans tout l'espace, sont exactement les mêmes que les égalités (80); mais aux égalités (80) se joignait la relation

en sorte que les fonctions F, G, H se trouvaient déterminées ; dans le mémoire que nous analysons en ce moment, Maxwell n'admet

(*) J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 555. (**) J. Glerk Maxwell, loc. ciU^ p. 556.

bar

bF by

— 1«5 — plus l'exactitude de l'égalité (81); bien au contraire, il écrit (*)

(SI"") t^ + ^ + W^

et il traite la quantité J comme une grandeur inconnue, généralement différente de 0.

Dès lors, les grandeurs F, 6, H ne sont plus déterminées; on peut leur ajouter respectivement les trois dérivées par rapport à ir, y, X d'une fonction arbitraire des variables a?, y, z, t.

Lors donc que Maxwell écrit (♦*) les composantes du champ électromoteur au sein d'un système immobile

~ bï'

bt'

il peut, en toutes circonstances, substituer à Y n'importe quelle fonction d'or, y^z^t; la fonction Y est absolument indéterminée et l'on ne saurait logiquement souscrire à l'affirmation suivante (***) : * La fonction V est une fonction d'à?, y, 0, t, qui est indéterminée en ce qui concerne la solution des équations précédentes, car les termes qui en dépendent disparaissent dans une intégration étendue à un circuit fermé. Toutefois, la quantité Y peut toujours être déterminée, dans chaque cas particulier, lorsqu'on connaît les conditions actuelles de la question. Y doit être interprété physiquement comme représentant le potentiel électrique en chaque point de l'espace. „

En outre, lorsque Maxwell, dans son mémoire : Onphysical Lines of Force, avait écrit les équations (80), il avait eu soin de remar-

(*) J. Clerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 578. (**) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 558 et p. 578. (***) J. Clerk Maxwell, loc, ciL, p. 558.

quer qu'elles seraient absurdes si Ton n*avait pas, dans tout l'espace, Tégalité

Dans le présent mémoire, il néglige de faire cette remarque et, qui plus est, il raisonne comme si l'égalité (84) était fausse ; nous en verrons tout à l'heure un exemple.

Â la suite de considérations (*) que leur extrême brièveté ne permet guère de regarder comme un raisonnement, Maxwell admet (**) que l'énergie électromagnétique est donnée par la formule

(85) E = I f (Fm + Gv + Hw?)dui,

où M, t?, w représentent les composantes du flux total et où l'intégrale s'étend à tout l'espace.

Cherchons à préciser les considérations qui conduisent Maxwell à cette expression.

Dans le temps dt, le système dégage, selon la loi de Joule, une quantité de chaleur donnée en unités mécaniqvss par l'expression

y r (m» + t?2 + t^2) du,,

où r est la résistance spécifique du milieu ; en vertu de la loi de Ohm, cette quantité de chaleur peut encore s'écrire

r (j&^w + EyV + E,w) du).

Si le système, isolé et immobile, est soumis exclusivement aux actions électromotrices que produisent, par induction, les variations du flux électrique, cette quantité de chaleur dégagée dans le

(*) J. Glerk Maxwell, ScisiiriFic Pàpers, yoI. I, p. 541. (**) J. Clerk Maxwell, locy cit., p. 562.

temps dt est exactement égale à la diminution de Ténergie électromagnétique pendant le même temps ; on a donc l'égalité

dE + d^ r {E:„u + EyV + E^w) du) = 0.

En même temps, les composantes E^^Ey^ E^ du champ électromoteur sont données par les égalités (82^'^), en sorte que Tégalité précédente devient

Le terme peut s'écrire

/"Gï + ç + sr)^-

Il est donc égal à si Ton considère seulement des flux uniformes pour lesquels

hu hv hw ç.

hx hy hz ~' '

On a donc

Cette égalité est-elle compatible avec l'expression de E que fournit l'égalité (85)? Celle-ci donne l'égalité

Pour que cette égalité soit compatible avec l'égalité (86), il faut et il suffit que l'on ait l'égalité

Cette égalité est-elle vérifiée? Il est impossible de le décider puisque, dans le mémoire que nous analysons, Maxwell n'attribue aucune expression analytique déterminée aux fonctions F, 6, H.

Acceptons Tégalité (85). Les égalités (30) lui donneront la forme

qu'ime intégration par parties changera en

Les égalités (80^'*) donneront alors

(73) E « ^ I ^ (a^ + p2 + T«) du).

L'énergie électromagnétique, déterminée, dans le mémoire : A dynamicdl Theory of the electromagnetic Field, par des considérations électriques reprend ainsi la forme que, dans le mémoire : On physical Lines of Force, lui avaient attribuée des hypothèses mécaniques.

L'accord est plus malaisé à établir entre ces formes de l'énergie électromagnétique et celle à laquelle Maxwell a été conduit, en son mémoire : On Faraday' s Lines of Force, à partir de la théorie du magnétisme.

Cette dernière forme est donnée par l'égalité

(44) ^ = f ^P ^^ •" {^^^ + Gv + Rw) rfuj.

La densité magnétique p est liée aux composantes de l'induction magnétique par l'égalité (61)

5^Ma + ^MP + 5^MT = 4.rp

OU bien, en vertu des égalités (80*'^'*),

L'égalité (44) se réduit donc à

(88) E = — r (Fw + Gt? + Hw) diw.

Cette expression de l'énergie électromagnétique diffère de l'expression (85) de la même quantité à la fois par la présence du signe — et par l'absence du facteur i . A la vérité, comme nous l'avons remarqué au § 2, l'absence du facteur i provient d'une omission, et ce facteur pourrait être aisément rétabli. Mais la contradiction que la nature du signe introduit entre les deux expressions de l'énergie électromagnétique ne peut être évitée.

Elle disparaîtrait, cependant, si, dans la définition de la densité magnétique, donnée par l'égalité (32), on changeait le signe de p; ce changement de signe, Maxwell l'a fait accidentellement dans le mémoire : On Faraday* s Lines of Force, puis normalement dans ses mémoires ultérieurs.

L'expression (73) de l'énergie électromagnétique s'accorde-t-elle avec les lois connues du magnétisme? Que le système renferme ou non des courants, Maxwell admet qu'if existe une fonction (*) qu'il nomme potentiel magnétique, telle que l'on ait

(*) J. Glerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 566. En réalité, Maxwell nomme Potentiel magnétique la fonction — 0.

-L'ea^oeesion .<73) devient alors

^ = - §S J (>'«bJ + ►'PS^ + ►'^ bïj''"' OU, en intégrant par parties,

Sans pousser plus loin le calcul, Maxwell aurait dû remarquer que les égalités (80^") donnent immédiatement

ce qui transforme l'égalité (90) en

L'énergie électromagnétique serait ainsi identiquement nulle en toutes circonstances ; une telle conséquence lui aurait révélé que Ton ne peut accepter en même temps les égalités (80**^^) et les égalités (89). D'une telle contradiction, Maxwell ne s'embarrasse pas. Il introduit dans ses calculs la quantité p définie par l'égalité

il traite cette quantité p comme si elle n'était pas identiquement nulle et remplacé l'égalité (90) par l'égalité

(91) E = 1 I 0p dui.

De cette expression, par un raisonnement dont nous avons déjà vu plusieurs exemples, Maxwell se propose de tirer la loi des actions qui s'exercent entre deux pôles d'aimants.

Pour y parvenir, Maxwell suppose implicitement que |li a la même valeur dans tout l'espace; que la fonction est la somme

de deux fonctions F^, 'F^, qui sont respectivement les fonctions potentielles de deux masses aimantées 1 et 2. La fonction F\ satisfait dans tout l'espace à l'équation

sauf à l'intérieur du corps 1 où elle satisfait à l'équation

La fonction V^ satisfait, en tous les points de l'espace, à l'équation