R = - 47TE2A

et si r est la valeur du courant électrique dû au déplacement

dh ^ '^ dt' "

Les mêmes idées se retrouvent, sous une forme encore plus nette, dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field.

" Si un corps se meut au travers des lignes de force magnétique, il subit, écrit Maxwell (**), ce que Ton nomme une force électromotrice ; les deux extrémités du corps tendent à prendre un état électrique opposé et un courant électrique tend à circuler au travers du corps. Si la force électromotrice est suffisamment puissante, et si elle s'exerce sur certains corps composés, elle les décompose, transporte Tun des composants à Tune des extrémités du corps et l'autre composant à Tautre extrémité. „

** Ces faits mettent en évidence une force ; cette force produit un courant, en dépit de la résistance; cette force communique des électrisations opposées aux deux extrémités du corps, créant un état que Faction de la force électromotrice est seule capable de maintenir; au moment où cette force cesse d'agir, cet état tend, par une force égale et de sens contraire, à produire un contre-courant au travers du corps et à ramener celui-ci à son état électrique initial; enfin, lorsque cette force est assez puissante, elle arrache les unes aux autres les parties d'un composé chimique et les charrie en des sens opposés, bien que ces parties aient une tendance naturelle à se combiner, et à se combiner précisément avec une énergie capable d'engendrer une force électromotrice de sens contraire. ,

(*) Au sujet du signe du second membre, voir I* Partie, égalité (42). (**) J. Glerk Maxwell, Scikrtific Papers, vol. I, p. 530.

* Telle est donc la force à laquelle un corps se trouve soumis lorsqu'on le déplace dans un champ magnétique ou lorsque quelque changement se produit dans ce champ; cette force a pour eflfet ou bien de produire dans le corps un courant et un dégagement de chaleur; ou bien de décomposer le corps; ou bien enfin, si l'un et l'autre effet lui sont également impossibles, de mettre le corps dans un état de polarisation électrique ; cet état de polarisation est un état de contrainte où les extrémités opposées du corps sont électrisées en sens contraire ; aussitôt que la force perturbatrice est écartée, le corps réagit et, de lui-même, perd cet état. „

** ... Lorsqu'une force électromotrice agit en un circuit conducteur, elle produit un courant... iVIais lorsqu'une force électromotrice agit en un diélectrique, elle produit un état de polarisation de ses parties... „ et Maxwell, citant d'ailleurs Faraday et Mossotti dont il s'inspire visiblement, reproduit, au sujet de cette polarisation diélectrique, le passage du mémoire : On physical Lines of Force que nous avons cité plus haut.

Telles sont, dans leur suite naturelle, les inductions qui ont conduit Maxwell à poser les équations générales de la polarisation diélectrique (*)

Dans un milieu homogène, les composantes E^, Ey, E^ du champ électromoteur sont données par les égalités (82), en sorte que les égalités (121) deviennent

' 47T \hx "^ ht

4Tr U^ "^ ht

(*) J. Clerk Maxwell, A dynamical Theory of the eîectromagnetic Field, (SciENTiFics Papers, vol. I, p. 560.) — Traité d'Électricité et de Magnétisme, vol.ll, p. 287.

D'ailleurs, dans ce cas, les composantes du flux de déplacement ont pour valeurs

On a donc

^ 47T b^ \hx '^ ht

(123) {' --ï^btibji + 'bt

- ^ b^ /bV bH'

^ ~ 471 b^ [bz '^ bt

Ces équations sont le fondement de la théorie électromagnétique de la lumière.

§ 4. Première ébauche de la théorie électromagnétique de la lumière

de Maxwell

Toutefois, avant de développer une théorie électromagnétique de la lumière fondée sur ces équations, Maxwell avait obtenu les deux lois essentielles de cette théorie par une méthode toute différente. Cette méthode, intimement liée aux hypothèses mécaniques que renferme le mémoire : On physical Lines of Force, est exposée dans ce mémoire.

Nous avons vu (1'" Partie, Chapitre III) comment, dans ce mémoire, Maxwell se représente l'action d'un champ électromoteur sur un diélectrique. La force électromotrice est assimilée à une traction qui s'exerce sur les parois parfaitement élastiques des cellules; si R est le champ électromoteur, les parois subissent un déplacement dans la direction de ce champ; la valeur moyenne par unité de volume de ce déplacement, que désigne la lettre h, est liée au champ électromoteur R par la relation [1" Partie, égalité (42^''')]

R = iiiE%

E^ étant une quantité qui dépend de l'élasticité des parois cellulaires.

Sans discuter, au point de vue de la théorie de l'élasticité, la solution du problème traité par Maxwell, nous nous bornerons à indiquer la relation qui existe, selon lui, entre E* et les coefficients d'élasticité de la substance.

Maxwell exprime (*) E'-^ en fonction de deux coefficients quil désigne par jn et m et que, pour éviter certaines confusions, nous désignerons par ^' et m ; cette expression est la suivante :

(124) E2 = TTW : ^^'

Le coefficient yJ est défini (**) comme le rapport de la pression à la contraction cubique dans un corps uniformément pressé ; c'est donc l'inverse de ce qu'on nomme habituellement le coefficient de compressibilité cubique. Si nous désignons par A et M les coefficients que Lamé désigne par X et ji, nous anrons (***)

Quant au coefficient m, en comparant (iv) les équations de Maxwell à celles de Lamé, on trouve de suite

En vertu des égalités (125) et (126), l'égalité (124) devient

(*) J. Glerk Maxwell, Sgientifig Paprrs, vol. I, p. 495, égalité (107).

(*'*') J. Glerk Maxwell, lac. ciï., p. 493, égalité (80).— Pour mettre cette égalité d'accord avec le reste de Texposé de Maxwell, il faut changer le signe du second membre.

(***) Lamé, Leçons sur l'élasticUé, 2« édition, p. 74, égalité (a).

(iv) J. Glerk Maxwell, loc. cit,^ p. 493, égalité (83) et Lamé, loc. cit, p. 65, égalités (1).

Si Ton admet la théorie de Télasticité moléculaire telle que Ta développée Poisson, on a comme Ton sait, l'égalité

(128) A = M et Tégalité (127) devient

(129) E» = 7TIW

que Maxwell accepte (*) pour le développement ultérieur de sa théorie.

Selon cette théorie, deux charges électriques dont les valeurs en unités électromagnétiques sont q^, q^, se repoussent à une distance r avec ime force [1« Partie, égalité (78)]

W ayant la valeur qui convient au diélectrique interposé.

Si ce diélectrique est le vide, la valeur de E^ peut être demandée à la célèbre expérience de Weber et Kohirausch; nous trouvons alors (**) que E est une grandeur de même espèce qu'une vitesse dont la valeur numérique est

(131) E = 310 740 X 10« 5!îl!!lïïî^ .

^ ' seconde

Parvenu à ce point, Maxwell continue (**''') en ces termes : " Trouver la vitesse de propagation des vibrations transversales dans le milieu élastique qui forme les cellules, en supposant que l'élasticité est due entièrement à des forcés agissant entre les molécules prises deux à deux (iv). „

(*) J. Clerk Maywell, loc, cit., p. 495, égalité (108).

(**) J. Clerk Maxwell, loc, cit., p. 499, égalité (131).

(***) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 499.

(ivj Par ces mots, Maxwell désigne la théorie moléculaire de Poisson.

• Par la méthode ordinaire, on sait que

v-Vf'

m désignant le coefficient d'élasticité transversale et p la densité. „ La densité qui doit figurer dans cette formule, c'est la densité du milieu élastique qui forme les parois des cellules; sans avertir de cette transposition, Maxwell suppose que p désigne la densité du fluide qui remplit les cellules et il admet alors la relation

(133) M = îTp

qu'il a été amené à établir (*) entre cette densité et la perméabilité magnétique jii. Il trouve alors

jLiV^ = Trm ou, en vertu de l'égalité (129),

(134) E = V Viî •

Il commente (**) en ces termes ce résultat :

" Dans l'air ou le vide, |li = 1 et, par conséquent,

= 310 740 X 10* millimètres par seconde == 193 088 milles par seconde.

* La vitesse de la lumière dans Tair, déterminée par M. Fizeau , est de 70 843 lieues par seconde (25 lieues au degré) ce qui donne

V = 314858 X 10* millimètres par seconde = 195 647 milles par seconde.

** La vitesse de propagation des ondulations transversales dans notre milieu hypothétique, calculée d'après les expériences électromagnétiques de MM. Kohlrausch et Weber, concorde si exactement avec la vitesse de la lumière calculée au moyen des expériences optiques de M. Fizeau, qu'il nous serait difficile de ne

(♦) J. Glerk Maxwell, loc. cit., pp. 456 et 457. (*♦) J. Clerk Maxwell, loc. cit., pp. 499 et 500.

point faire cette supposition : La lumière consiste en ondulations transversales de ce même milieu qui est la cause des phénomènes électriques et magnétiques, „

La capacité d'un condensateur plan de surface S, dont les armatures sont séparées par une épaisseur 9 d'un diélectrique donné 1, a pour valeur [I* Partie, égalité (87)]

' ~ 4ttEî '

Si l'espace compris entre les deux armatures du condensateur est vide, ce condensateur a, de même, pour capacité

n 1 S ^ ~ 4TrE2 •

Le rapport

est, par définition,le pouvoir inducteur spécifique du diélectrique 1 . On a donc

D = — ^' Eî

ou bien, en vertu de l'égalité (134),

V2 1 (135) ^^^ = Vf^'

* En sorte (*) que le pouvoir inducîteur d'un diélectrique est directement proportionnel au carré de l'indice de réfraction et en raison inverse du pouvoir inducteur magnétique. „

Ainsi, dès 1862, avant que la note de^Bernhard Riemann ait été publiée, alors que les théories de L. Lorenz et de M. C. Neumann n'étaient point encore conçues, Maxwell était déjà en possession des lois essentielles de la théorie électromagnétique de la lumière. Malheureusement, la méthode par laquelle il y était parvenu, très

(*) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 501.

différente de celle qu'il a proposée depuis, était viciée par une grave erreur matérielle. En vertu de l'égalité (126), l'égalité (132) deviendrait

formule inexacte à laquelle on doit substituer l'égalité (*)-'

-Vf-

§ 5. Forme définitive de la théorie électromagnétique

de la lumière de Maxwell

Deux fois Maxwell a exposé, avec des variantes de détail, la théorie électromagnétique de la lumière sous une forme précise et exempte d'hypothèses mécaniques : une première fois (**), dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Fidd; une seconde fois (***), dans le Traité d^ Électricité et de Magnétisme.

Prenons le système des six équations de Maxwell

« = .4n(t^ + i.), ___ = 4Tr («. + «;),

— v~" = — MOI

(SO-'O <^ SI - hT = - f^P-

bH

bG

hy

hz

bF

bH

hz

hx

bG

bF

bx

by

— vt: = — MT

(*) Lamé, loc. cit., p. 142, égalité (9).

(**) J. Clerk Maxwell, Scikntific Papbrs, vol. I, pp. 577 à 588. {***) J. Clerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, trad. française, t. II, pp. 485 à 504.

Posons

(Slbi^ ^ + ^ + ^ = j

' bx ^ by ^ bz

et supposons le milieu homogène. Nous obtiendrons sans peine les trois égalités

AF = ^ — 47T^ (m + w),

(136) ^ AG = ^ - inix(v + v),

AH = T- 47T)Ll (w? + w).

Ces équations sont générales. Supposons maintenant le milieu non conducteur, mais diélectrique; nous aurons

tandis que u, t?, w seront donnés par les égalités (123). Dès lors, les égalités (136) deviendront

.„ ^ b^F bJ , ^ b^V ^F - 1^^ TT^ = 55 + ^^ b^t'

(137) ^ AG-Km^ = ^ + Km^^,

.„ ^ bm bi , ^ b«Y

Jointes aux égalités (80^^'), ces relations nous donnent, en premier lieu, les égalités

(138) \ Ap — Kn ^ = 0,

Ces trois équations, dont la forme est bien connue, nous enseignent que dans un diélectrique homogène, les trois composantes a, p, y du champ magnétique, lesquelles, selon les égalités (SO*»'^), vérifient la relation

es») ë + ^ + S = »

qui caractérise les composantes d'une vibration transversale, se propagent avec une vitesse

\fh-

La suite des déductions de Maxwell est différente dans le mémoire ; A dynamical Theory of the electromagnetic Field et dans le Traité d'Électricité et de Magnétisme; attachons-nous d'abord aux raisonnements exposés dans ce dernier, qui sont plus corrects.

Différentions la première égalité (137) par rapport à a?, la seconde par rapport à y, la troisième par rapport à 2; et ajoutons membre à membre les résultats obtenus^ en tenant compte de Tégalité (81^") ; nous trouvons

(141) Km (^ AV + p) = 0.

D'autre part, l'égalité (103) de la I^* Partie nous enseigne que, dans un milieu homogène, la densité électrique e est donnée par l'égalité

(142) KAV + 4Tre =- 0.

Enfin, l'égalité

nous montre que l'on a, dans un milieu non conducteur où

l'égalité

Les égalités (141), (142) et (143) donnent

" Donc(*) J doit être une fonction linéaire de t^ ou une constante, ou zéro, et nous pouvons ne tenir compte ni de J, ni de V, si nous considérons des perturbations périodiques ». Et les équations (137) deviennent, selon Maxwell (**),

^f" - Km 1^ = 0,

(145) ^ AG — Km -^ = 0,

AH — Kn -^ = 0,

La phrase de Maxwell que nous avons citée, exacte en ce qui concerne la fonction J, ne Test pas pour la fonction Y; mais, sans s'écarter beaucoup de la pensée essentielle de Maxwell, on pourrait raisonner de la manière suivante :

Différentions deux fois les égalités (137) par rapport à f et tenons compte de Tégalité (144) et de Tégalité

qui découle des égalités (142) et (143) et qui donne

hxht ' . hy ht hz ht

(*) J. Clerk Maxwell, Traité d'Électricité et de Magnétisme, t. II, p. 488. (**) J . Clerk Maxwell, loe. cit., p. 488, équations (9).

Nous pourrons écrire les résultats obtenus

. b /bV , bF\ ^ b» /bV . bF\ - ^ b< CbJ + bFJ - ^^^ biS (bF + wj = ^'

. b /bV , bG\ „ b» AY , bG\ „ ^ W Cbp- + bT J - ^^^ b?^ (b^ + W-J = 0'

. b AY , bir\ „ b" /bY , bH\

^ M (bJ + TT J - ^►^ bT» CbF + -bTJ = ^

OU bien, en vertu des égalités (123),

Au — Kjii -^ == 0,

(146) ( Ai-K^^=0,

Atti — K^ -^ = 0.

D'ailleurs, en vertu de Tégalité (25), dans un milieu non conducteur où

les composantes m, t?, w, du flux de déplacement vérifient l'égalité

Donc, dans un milieu non conducteur, les flux de déplacement sont des flux transversaux qui se propagent avec la vitesse

L'analyse précédente repose essentiellement sur l'emploi des égalités (19) et (25), conséquences naturelles de la troisième électro-

statique de Maxwell; on ne pouvait donc s'attendre à la rencontrer dans le mémoire : A dynamical Theory of the eledromagnetic Field; elle y est remplacée par une autre analyse qu'il serait moins aisée de rendre exacte.

Maxwell détermine une fonction x» analogue à la fonction Xi donnée par Tégalité (108), qu'il a considérée plus tard dans son Traité, telle que

(148) Ax - J.

Il pose

Les égalités (81>>"), (148) et (109) donnent visiblement

en sorte que F, 6', H' peuvent être regardés comme la partie transversale de l'état électrotonique dont F, G, H sont les composantes.

Moyennant les égalités (109), les égalités (137) deviennent

(150) [ AG'-Kn -^= Km ^ (^^ + ^J

AH' Ku ^'^' - Ku ^ f^"^ -4- ^"A

Diflférentions respectivement ces égalités par rapport kx,y etz et ajoutons membre à membre les résultats obtenus en tenant compte de Tégalité (149); nous trouvons

Maxwell fait ce calcul (*) ; mais au lieu d'en conclure l'égalité (t51), il en conclut, ce qui n'est point légitime, l'égalité

Faisant usage de cette égalité (152), il transforme les égalités (150) en

b^F' AF' - K^ i^ - 0,

(153) ^AG'-Km^'=0,

AH'-Kn^ = 0.

La partie transversale de l'étal électrotonique se propage avec une vitesse

-\fl-

D'ailleurs, les égalités (148) et (152) donnent

et comme AV est, dans un milieu homogène, proportionnel [V* Partie, égalités (57) et (57^^01 à la densité e de l'électricité libre.

(*) J. Glerk Slaxwell, Sgientific Papbrs, vol. I, p. 581, égalité (77).

r-Tg se trouve être proportionnel à r-r. ** Gomme le milieu est

un isolant parfait, dit Maxwell (*), la densité e de Télectricité libre est invariable „ ; cette affirmation ne découle point logiquement de l'électrostatique admise dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field; Maxwell s'y tient cependant, admet

que 7-75- est forcément nul et en conclut qu'une perturbation

électrique périodique ne peut correspondre à une valeur de J différente de 0.

La seconde électrostatique de Maxwell se prête donc moins bien au développement de la théorie électromagnélique de la lumière que la troisième électrostatique du même auteur.

Il est deux points sur lesquels s'accordent (**) toutes les électrostatiques de Maxwell.

En premier lieu, deux charges électriques q^, j^, placées à une distance r l'une de l'autre au sein d'un certain diélectrique 1, se repoussent avec une force [U® Partie, égalités (78) et (83)]

En second lieu, un condensateur plan dont les plateaux d'aire S sont séparés par une épaisseur du même diélectrique a une capacité [1^^ Partie, égalité (87)]

Ces deux égalités, jointes à l'égalité (140), redonnent immédiatement ces deux lois, déjà obtenues par Maxwell, en son mémoire : On physical Lines of Force :

(*) J. Cleik Maxwell, Scientific Papkrs, vol. I, p. 582.

(**) Pour reconnaître cet accord, il faut se souvenir que la même quantité se

nomme K dans le Traité d^ Électricité et de Magnétisme et ici même, ^ dans

le mémoire : On physical Lines of Force et -^ dans le mémoire : A dynamiccU Theory of the electromagnetic Field,

1'® Loi. Dans le vide, les courants de déplacement transversaux se propagent avec la même vitesse que la lumière.

2"*« Loi. Le pouvoir inducteur spécifique par rappoH au vide est lié aux vitesses de propagation V^ et V des flux de déplacement transversaux dans ce diélectrique et dans le vide, et à la perméabilité magnétique ^^ du diélectrique par la relation

» 1 Ml

Ce sont les deux lois essentielles de la théorie électromagnétique de la lumière.