CHAPITRE II

La première électrostatique de Maxwell

§ 1. Rappel de la théorie de la conductibilité de la chaleur

Avant d'aller plus loin et d'aborder Texposé des idées de Maxwell, il nous faut arrêter un moment à Tétude de la conductibilité de la chaleur.

Considérons une substance, homogène ou hétérogène, mais isotrope.

Soient : {x, y, z) un point pris à Tintérieur de cette substance ;

T, la température en ce point;

fc, le coefficient de conductibilité calorifique en ce point.

Le flux de chaleur en ce point aura pour composantes suivant les axes de coordonnées :

/oo\ 7 ^T , 6T 7 ^T

[66) U = — Kt--. î? = — Ar—» M? = fer— •

ox by bz

Considérons une partie continue d'un conducteur; un élément de volume

du) = dx dy dz^

découpé dans cette région, renferme une source de chaleur qui dégage, dans le temps dt, une quantité de chaleur j dui dt ; nous pouvons nommer j Vintensité de la source. Nous aurons, d'après cette définition,

5a? *" 5y ' Si" '^ '*

ou bien, en vertu des égalités (33),

Soit maintenant S la surface qui sépare deux substances, 1 et 2, de conductibilités différentes. L'élément dS de cette surface renferme une source de chaleur superficielle qui, dans le temps dt^ dégage une quantité de chaleur J dSdt; J est Vintensité superficielle de la source. Nous aurons alors

Wj cos (Ni, x) + v^ cos (Ni, y) + ^i cos (N^, z) + Wg cos (Ng, x) 4" ^« cos (N^, y) + w^ cos (Ng, ^) = J

ou bien, en vertu des égalités (33),

Telles sont les équations fondamentales, données par Fourier, qui régissent la propagation de la chaleur par conductibilité. On sait comment Tœuvre de G. S. Ohm, complétée plus tard par G. Kirchhoflf, a permis de les étendre à la propagation du courant électrique au sein des corps conducteurs. Pour passer du premier problème au second, il suffit de remplacer le flux de chaleur par le , flux électrique, la conductibilité calorifique par la conductibilité électrique, la température T par le produit eV de la constante des lois de Coulomb et de la fonction potentielle électrostatique; enfin

de substituer à y et à J les rapports -r-j , — , cr, Z désignant les

densités électriques solide et superficielle.

Une extension analogue des équations de la conductibilité calorifique peut servir à traiter de la diffusion d'un sel au sein d'une dissolution aqueuse, selon la remarque bien connue de Fick.

Une analogie analytique peut aussi être établie entre certains problèmes relatifs à la conductibilité de la chaleur et certains problèmes d'électrostatique.

Considérons, par exemple, le problème suivant :

Un corps C est plongé dans un espace E. Le corps C et l'espace E sont tous deux homogènes, isotropes et conducteurs, mais ils ont

— sodés conductibilités différentes ; h^ est la conductibilité du corps C ; h^ est la conductibilité de l'espace E. Le corps C est supposé maintenu à une température invariable, la même en tous ses points, que nous désignerons par Â; les divers éléments de l'espace E ne renferment point d'autre cause de dégagement ou d'absorption de chaleur que celle qui provient de leur chaleur spécifique T ; chaque élément d\i}^ de densité p, dégage donc, dans le

temps dt^ une quantité de chaleur — P du* y -ï-t- d^, en sorte que

dT,

enfin, Tétat de ce milieu E est 'supposé stationnaire ; T y a, en chaque point, une valeur indépendante de t^ ce qui transforme l'égalité précédente en

Comment, pour réaliser un semblable état, faut-il distribuer les sources de chaleur à la surface du corps G ? Quelle sera, aux: divers points de l'espace E, la valeur de la température T ?

La température T, continue dans tout l'espace, devra prendre, en tout point du corps G et de la surface qui le termine, la valeur constante A; en tout point de l'espace E, elle devra vérifier l'équation

AT = 0, à laquelle se réduit l'équation (34), lorsqu'on y fait

et qu'on y suppose h indépendant de a:, y, 2? ; T étant ainsi déterminé, l'équation (35), qui se réduira à

fera connaître la valeur de J en chaque point de la surface qui limite le corps G.

Ce problème est analytiquement identique à celui-ci : Un conducteur homogène et électrisé C est plongé dans un milieu isolant E ; quelle est la distribution de l'électricité à la surface de ce conducteur en équilibre?

Pour passer du premier problème au second, il suffit de remplacer, dans la solution, la température T par la fonction potentielle électrique V, le quotient p- par le produit 4TrZ, où Z désigne

la densité superficielle de la couche électrique qui recouvre le conducteur G.

Il serait peut-être difficile de citer le géomètre qui a le premier remarqué cette analogie ; les mathématiciens du commencement du siècle étaient si parfaitement habitués au maniement des équations différentielles auxquelles conduisent les diverses théories de la physique qu'une semblable analogie devait, pour ainsi dire, leur sauter aux yeux. En tous cas, on la trouve explicitement énoncée dans d'anciens travaux de Chasles (*) et de W. Thomson (**).

§ 2. Théorie des milieux diélectriques, construite par analogie avec la théorie de la conduction de la chaleur

On a cherché, dans les propriétés des milieux diélectriques, une analogie plus profonde avec les lois de la conductibilité de la chaleur.

Ayant traité un problème quelconque de conductibilité, on passerait au problème analogue de l'électrostaiique en conservant les mêmes équations et en changeant le sens des lettres qui y figurent selon les règles que voici :

On remplacerait la température T par une certaine fonction y ;

(*) M. Chasles, Énoncé de deux théorèmes généraux sur V attraction des corps et la théorie de la chaleur (Comptes rendus, t. VIII, p. 2K)9 ; 1839).

{**) W. Thomson, On the uniform Motion of Heat in homogeneous solid Bodies, and its Connexion with the mathemcUical Theory of Electricity (Cambridge AND Dublin mathematical Journal, février 1842. — Réimprimé dans le Philosophigal Magazine en 1854 et dans les Papers on Elegtrostatics and Magnetism, Art. I).

cette fonction V déterminerait les composantes P, Q, R du champ électrostatique au point (a;, y, z) par les formules

Le coefficient de conductibilité k serait remplacé par un coefficient K, caractérisant les propriétés diélectriques du milieu et que Ton nommerait son pouvoir inducteur spécifique.

Les composantes du flux de chaleur u, v, w seraient remplacées par les composantes /", g^ h d*un vecteur qu'on nommerait la polarité au point {x^ y, 0), en sorte que Ton aurait

(37) / <; = KQ = -K^.

A = KR = — K^.

bz

L'intensité j de la source calorifique serait remplacée par inKcy e étant la densité électrique solide, en sorte que l'équation (34) deviendrait

Dans le mémoire où il traite de la théorie que nous exposons en ce moment, Maxwell ne considère jamais les surfaces de discontinuité qui séparent les divers corps les uns des autres ; on peut en effet, si Ton veut, supposer que le passage des divers corps les uns dans les autres se fait d'une manière continue au travers d'une couche très mince ; les physiciens ont souvent usé de ce procédé.

Ces diverses règles, si elles existaient seules, pourraient être regardées comme un simple jeu de formules, comme des conventions purement arbitraires ; elles perdent ce caractère, pour prendre celui d'une électrostatique, d'une théorie physique susceptible d'être confirmée ou contredite par l'expérience, lorsqu'on y joint l'hypothèse suivante :

Le système est le siège d'actions qui admettent pour potentiel la quantité

Vôdw,

l'intégrale s'étendant au système tout entier.

Quelques linéaments de cette électrostatique nouvelle se trouvent dans les recherches de Faraday; c'est, il est vrai, non point au sujet des corps diélectriques, mais au sujet des corps magnétiques qu'il les trace; mais on connaît les liens intimes qui unissent le développement de la théorie des aimants au développement de la théorie des corps diélectriques. Divers phénomènes, dit Faraday (*), • m'ont conduit à l'idée que des corps possèdent à des degrés différents un pouvoir conducteur pour le magnétisme »... * J'use des mots pouvoir conducteur comme expression générale pour désigner la capacité que les corps possèdent d'effectuer la transmission des forces magnétiques, sans rien supposer sur la façon dont s'effectue cette transmission. „ Certains corps auraient un pouvoir conducteur plus grand que le milieu ambiant ; ce seraient les corps magnétiques proprement dits; d*autres conduiraient moins bien que le milieu ; ce seraient les corps diamagnétiques. Faraday semble d'ailleurs avoir entrevu (**) que cette théorie ne s'accordait pas en tout point avec la théorie classique de la polarisation des aimants.

Déjà, quelques années auparavant, les idées mêmes de Faraday sur l'induction électrique avaient suggéré à W. Thomson (***) quelques aperçus analogues : * Il est possible, je n'en doute pas, écrivait-il, de découvrir que de telles forces à distance peuvent être produites entièrement par l'action des parties contiguês de tout le milieu interposé, et nous en trouvons une analogie dans le

(*) Faraday, Expérimental Researches in ElectricitytXKWl* série, lue à la Société royale de Londres le 28 nov. 1850 (Expérimental Researghbs, vol. III, p. 100).

(**) Faraday, loe. cit., p. 208.

(***) W. Thomson, On the elementary Laws of atatieal Electricity (Gambridok AND Dublin icathemàtical Journal. 1845. — Papers on electrostatigs, Art. II, n«50).

cas de la chaleur, dont certains effets, qui suivent les mêmes lois, sont propagés sans doute de particule à particule. ,

Mais si quelques vestiges de l'idée que nous venons d'exposer se peuvent soupçonner dans les écrits de certains auteurs, il n'est point douteux que Maxwell l'ait développée le premier en une vériritable théorie; à cette théorie, il a consacré la première partie de son plus ancien mémoire sur l'électricité (*).

Maxwell commence par proclamer le rôle fécond de Vanalogie physique. • Par analogie physique, dit-il, j'entends cette ressemblance partielle entre les lois d'une science et les lois d'une autre science qui fait que l'une des deux sciences peut servir à illustrer l'autre , et il montre comment l'analogie physique entre l'acoustique et l'optique a contribué au progrès de cette dernière science. ' 11 développe alors non point la théorie de la propagation de la chaleur dans un milieu conducteur, mais une théorie du mouvement d'un fluide dans un milieu résistant; celle-ci ne diffère d*ailleurs de celle-là que par la signification des lettres qu'elle emploie; mais, en toutes deux, ces lettres se groupent selon les mêmes formules.

Ces formules, Maxwell les étend à l'électricité, conformément à ce que nous venons d'indiquer (**) : * L'induction électrique, dit-iU exercée sur un corps à distance, dépend non seulement de la distribution de l'électricité sur le corps inducteur et de la forme et de la position du corps induit, mais encore de la nature du milieu interposé ou diélectrique. Faraday exprime ce fait par la concep-

(*) J. Clerk Maxwell, On Faradays Lines of Force, lu à la Société philosophique de Cambridge, le 10 décembre 1855 et le 11 février 1856 (Transactions OF THE Cambridge PHiLOSOPHiCAL Sogiett, voLX,part. I p. 27; 1864.— Sgientifig Papers of James Clerk Maxwell, vol. I, p. 156 ; Cambridge, 1890).

(**) Pour faire concorder nos notations avec celles qu'emploie Maxwell dans le mémoire cité, il faut remplacer

Y par —V,

ed\i3 par dm,

K par g,

f, g, h par w, v, w,

P, Q, R par X, î, Z.

tion qu'une substance a une plus grande capacité inductive ou conduit mieux les lignes d'action inductive qu'une autre. Si nous supposons que, dans notre analogie du mouvement d'un fluide dans un milieu résistant, la résistance est différente dans différents milieux, lorsque nous donnerons à la résistance une moindre valeur, nous obtiendrons un milieu analogue à un diélectrique qui conduit plus aisément les lignes de Faraday. „

§ 3. Discussion de la première électrostatique de Maxwell

Lorsque Maxwell, dans l'exposé que nous venons d'analyser, parle de polarité, de charge électrique, de fonction potentielle, entend-il destituer ces mots du sens qu'ils avaient reçu jusque-là en électrostatique, entend-il définir des grandeurs nouvelles, essentiellement distinctes de celles qui portaient les mêmes noms avant lui, et destinées à les remplacer dans une théorie irréductible à l'ancienne électrostatique ? Maint passage de son mémoire nous prouve clairement qu'il n'en est rien; qu'en usant des mots charge électrique, fonction potentielle, polarité, il entend les employer dans le sens accepté de tous; qu'il ne prétend pas créer une électrostatique nouvelle, mais, par une comparaison, illustrer l'électrostatique traditionnelle, la théorie de la polarisation des diélectriques telle que Faraday et Mossotti l'ont conçue, à l'imitation de la théorie du magnétisme donnée par Poisson.

Tout d'abord, en parlant de l'état de l'électrostatique au moment où il écrit, Maxwell ne semble pas se proposer de modifier quoi que ce soit aux formules admises ; puis, il indique par quel changement dans le sens des lettres que renferment les formules on passera du problème du mouvement d'un fluide dans un milieu résistant au problème électrique ** ordinaire », épithète dont l'emploi exclut toute intention de révolutionner cette branche de la Physique. A propos des aimants, Maxwell marque nettement que les deux théories en question sont, pour lui, mathématiquement équivalentes : ** Un aimant, dit-il, est conçu comme formé de parties aimantées élémentaires, dont chacune possède un pôle nord et un pôle sud ; l'action de chacun de ces pôles sur un autre pôle nord ou sud est gouvernée par des lois mathématiquement identiques à celles de l'électricité. Par conséquent, la même application de

l'idée de lignes de force peut être faite à ce sujet et la même analogie du mouvement d'un fluide peut être employée à l'illustrer. „ Cette analogie, Maxwell la développe, l'applique aux corps magnétiques regardés comme plus conducteurs que le milieu ambiant, aux corps diamagnétiques, regardés comme moins conducteurs que ce milieu, ot il ajoute : * Il est évident que nous obtiendrons les mêmes résultats mathématiques si nous supposions que la force magnétique a le pouvoir d'exciter la polarité dans les corps, polarité qui a la même direction que les lignes de force dans les corps paramagnétiques et la direction contraire dans les corps diamagnétiques. „

Il est donc palpable que Maxwell, en s'appuyant sur une analogie avec les équations de la chaleur, a simplement prétendu donner une théorie des diélectriques, différente au point de vue des hypothèses physiques, mais identique au point de vue des équations mathématiques, à la théorie que domine l'hypothèse des molécules polarisées.

Aussi Maxwell n'hésite-t-il pas à admettre (*) que la fonction V est analytiquement identique à la fonction potentielle électrostatique :

dik).

Il n'a été question jusqu'ici, dans la théorie de Maxwell, que de corps diélectriques; comment Maxwell se représente-t-il les corps conducteurs? ** Si la conductibilité du diélectrique est parfaite ou presque parfaite pour la petite quantité d'électricité que nous considérons, dit-il, le diélectrique est alors considéré comme un conducteur ; sa surface est une surface d'égal potentiel, et l'attraction résultante au voisinage de la surface est normale à la surface. „

(*) J. Glerk Maxwell, Scientific Pàpers, vol. I, p. 176 ; Maxwell écrit Tégalité

dm

qui, avec ses notations, équivaut à la précédente.

Ainsi, pour Maxwell, il n'y a pas, à proprement parler, de corps conducteur; tous les corps sont des diélectriques, qui diffèrent seulement les uns des autres par la valeur attribuée à K ; pour Téther du vide, K est égal à 1 ; pour les autres diélectriques, K est supérieur à 1 ; pour certains, K a une très grande valeur ; ceux-là sont les conducteurs.

Dès lors, le problème électrostatique se pose de la manière suivante :

La fonction Y, que définit Tégalité (40), doit vérifier dans tout l'espace Tégalité (38); une fois cette fonction V déterminée, les égalités (37) feront connaître, en chaque point, Tétat de polarisation du milieu.

Or, Tégalité (40), qui est une définition, entraîne l'identité

AY = 4tt^, en sorte que l'égalité (38) peut aussi bien s'écrire

^ ^ bx bx by by bz bz

Cette condition est tout ce que nous fournit la première électrostatique de Maxwell pour déterminer la fonction V; or, il est clair qu'elle est insuffisante à cet objet; tout d'abord, en un milieu homogène, où K est indépendant d' x, y, ^, elle se réduit à une identité et laisse la fonction V entièrement indéterminée en un semblable milieu ; mais, même au cas où, pour éviter cette difficulté, on repousserait l'existence de tout milieu homogène, ou n'aurait pas fait faire un pas à la détermination de V, car si une fonction V vérifie l'équation (41), la fonction XV, où X est une constante, la vérifie également.

La première électrostatique de Maxwell n'a donc que l'apparence d'une théorie physique; lorsqu'on la serre de près, elle s'évanouit.