CHAPITRE III

La denxièiiie électrostatique de Maxwell

§ 1. U hypothèse des cellules électriqties

La première électrostatique n'était, pour Maxi/vell, qu'une simple ébauche; la seconde électrostatique, celle que nous allons maintenant exposer, constitue, au contraire, une théorie développée, à laquelle son auteur est revenu à plusieurs reprises; plus étroitement que la première théorie, elle s'inspire des vues de Faraday et surtout de Mossotti sur la constitution des diélectriques.

Faraday avait considéré un diélectrique soumis à l'influence comme composé de particules dont les deux extrémités portent des charges égales et contraires; mais il avait fui toute hypothèse* déterminée sur la nature intrinsèque de cette électricité que les particules matérielles possèdent, et par laquelle elles peuvent être soit polarisées, soit laissées à Tétat neutre ; il aime à insister sur ce fait que sa théorie de l'induction est indépendante de toute hypothèse sur la nature de l'électricité.

* Ma théorie de l'induction, dit-il (*), n'émet aucune assertion au sujet de la nature de l'électricité, ou des diverses questions posées par quelqu'une des théories qui ont été émises à ce sujet Un certain pouvoir ou deux certains pouvoirs peuvent se développer ou être excités dans les corps ; quelle en est l'origine ? C'est une question qu'elle ne prétend pas embrasser; mais, regardant

(*) M. Faraday, AnAnswer to D' Hare's Letter on certain theoretical Opinions (Sjllimànn's Journal, vol. XXXIX, p. 108 à 120; 1840.— Faradàt's Expérimental Researghes in Electrigitt, vol. II, p.

ce fait comme donné par Tobservation et Texpérrence, elle le considère uniquement en lui-même ; elle étudie comment la force se comporte, tandis qu'elle se communique à distance dans le phénomène particulier, mais très répandu, que l'on nomme Yindudion électrostatique. Cette théorie ne décide ni de la valeur absolue de la force, ni de sa nature, mais seulement de sa distribution. „

Mossotti n'a pas imité la circonspection avec laquelle Faraday se tenait à l'écart de toute hypothèse sur la nature de l'électricité et évitait de se prononcer entre la théorie qui suppose deux fluides électriques et celle qui admet un fluide unique. Partisan résolu des idées de Franklin, il les transporte dans l'exposé de la doctrine de Faraday; il admet que l'électricité est constituée par un fluide unique, qu'il nomme Véther; ce fluide existe, à un certain degré de densité, dans les corps à l'état neutre; s'il se condense en une région, cette région se trouve électrisée positivement; elle se trouve électrisée négativement lorsque l'éther y est raréfié; dans un diélectrique à l'état neutre, l'éther forme atmosphère autour de chacune des particules matérielles qu'il ne peut quitter; lorsque la molécule est soumise à une force inductive, " l'atmosphère éthérée (*) condensée à une extrémité, déploie une force électrique positive et raréfiée à l'extrémité opposée, laisse à découvert une force électrique négative ,.

C'est en s'autorisant de ce passage de Mossotti que Maxwell écrit (**) ce qui suit, au début de Texposé de sa deuxième électrostatique :

" Une force électromotrice agissant sur un diélectrique, produit un état de polarisation de ses parties semblable, comme distribution, à la polarité des particules de fer sous Tinfluence d'un aimant et, comme la polarisation magnétique, capable d'être représentée sous forme d'un état dans lequel chaque particule a des pôles doués de propriétés opposées. ,

(*) Mossotti, Recherches théoriques sur l'induction électrostatique envisagée é^ après les idées de Faraday (Bibuothâque universelle, Archives, t. VI, p. 195^ 1847).

(♦*) J. Clerk Maxwell, On fhysieal Lines of Force, Part. III : The Theory of snolêcular Vortices applied to statieal EUctricity (Philosophicâl Magazine, janvier et février 1862. — Scientific Papers, toI. I, p. 491).

* Dans un diélectrique soumis à l'induction, on peut concevoir, en chaque molécule, l'électricité déplacée de telle manière que l'une des faces soit électrisée positivement et l'autre négativement, en sorte que l'électricité demeure en entier attachée à chaque molécule et ne peut passer d'une molécule à l'autre. „

* L'efifet de cette action sur l'ensemble de la masse électrique est de produire un déplacement de l'électricité dans une certaine direction... La grandeur de ce déplacement dépend de la nature du corps et de la force électromotrice, en sorte que si h est le déplacement, R la force électromotrice et E un co» fficient qui dépend de la nature du diélectrique,

(42) R = — 4TrE% (*).

... Ces relations sont indépendantes de toute théorie sur le mécanisme interne des diélectriques... ,

Ce passage, où se trouve affirmé si formellement l'accord de la théorie qui va être développée, d'une part avec la théorie de l'aimantation par influence donnée par Coulomb et Poisson, d'autre part avec les vues semblables de Mossotti touchant la polarisation des diélectriques, est un renseignement de première importance sur les opinions de Maxwell; nous le retrouverons, en effet, presque textuellement reproduit dans tout ce que Maxwell écrira dorénavant sur l'électricité et jusque dans les premiers chapitres de la deuxième édition de son Traité, dernière œuvre à laquelle il ait mis la main.

Dans le mémoire : On physical Lines of Force, que nous nous proposons d'analyser, Maxwell ne se contente pas d'accepter ces résultats * indépendants de toute théorie , ; il cherche un agencement de corps fluides et de corps solides qui permette d'en donner une interprétation mécanique; selon le mot en honneur auprès des physiciens anglais, il construit un modèle mécanique des diélectriques.

Maxwell admet que tout diélectrique est un mécanisme formé au moyen de deux substances : un fluide incompressible et dénué

(*) Le signe — , au second membre de Tégalité (42), provient, comme nous le verrons plus loin, d*une faute matérielle.

— Gide viscosité, qu'il nomme Vétker, et un solide parfaitement élastique, qu'il nomme V électricité.

L'électricité forme les parois très minces de cellules que remplit l'éther. L'éther est animé, au sein de chaque cellule, de mouvements tourbillonnaires qui expliquent les propriétés magnétiques du milieu.

* Lorsque les particules du fluide éthéré sont tirées dans une certaine direction, leurs actions tangentielles sur la substance élastique qui forme les cellules déforment chaque cellule et mettent en action une force égale et opposée due à l'élasticité des cellules. Lorsque la première force est supprimée, les cellules reprennent leur forme primitive, et l'électricité reprend la position qu'elle avait abandonnée. „

Dans cette représentation de la polarisation diélectrique, le déplacement de la substance élastique nommée électricité va jouer exactement le même rôle que le déplacement du fluide éthéré dont parlait Mossotti; il mesurera, en chaque point, Vintensité de polarisation.

Les parois élastiques des cellules sont déformées par les forces qui agissent sur elles; soient P, Q, R, les composantes de la force en un point, f, g, h, les composantes du déplacement au même point; les composantes /*, g, h du déplacement dépendent des composantes P, Q, R de la force. Comment en dépendent-elles?

La réponse à cette question dépend d'un problème d'élasticité qui serait fort compliqué si la forme des cellules était donnée, et qui ne peut même être mis en équation tant que cette forme demeure inconnue ; faute de solution exacte, Maxwell se contente d'une solution grossièrement approchée ; il étudie la déformation d'une cellule unique, ayant la forme sphérique, et soumise à une force qui est parallèle à OZ et qui a en tout point la même valeur R. Il trouve alors que Ton a

(42^») R = iTiE^A,

E^ étant une quantité qui dépend des deux coefficients d'élasticité de la matière qui forme les cellules.

Généralisant ce résultat, il admet que l'on a, en toutes circonstances, les égalités

(43'>ï0 P = 4TrE2/^, Q = 4ttEV, R = 4TrE%.

En réalité, ces formules ne sont pas celles que Maxwell a données, mais celles que lui aurait fournies un calcul correct. Par suite d'une faute de signe manifeste ('*'), il substitue à ces formules les formules incorrectes

(43) P 4TTEy, Q 47rEV, R =• — 4ttE«A.

Les formules que nous venons d'écrire sont générales; elles prennent une forme plus particulière dans le cas où l'équilibre électrique est établi sur le système ; dans ce cas, en effet, les théories électrodynamiques développées par Maxwell dans le mémoire même que nous analysons {**) montrent qu'il existe une certaine fonction V (a?, y, z), telle que l'on ait

bV î>V 5V

D'ailleurs, si les raisonnements de Maxwell démontrent l'existence de cette fonction, ils ne nous renseignent en aucune façon sur sa nature, bien que Maxwell insinue ce qui suit : " L'interprétation physique de V est que cette fonction représente la tension électrique en chaque point de l'espace. „

(*) J. Glerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 495. Des équations (100) R = — îirma {e + ff),

(103) A=|^, Maxwell tire Téquation

(104) R = 4iram ^-i^ h.

D'ailleurs, tout ce mémoire de Maxwell est littéralement criblé de fautes de signe.

(**) J. Glerk Maxwell, Sgiintific Pâpers, yoI. I, p. 482.

§ 2. Les principes précédents dans les écrits ultérieurs de Maxwell

Avant de suivre plus loin les conséquences de ces principes et de les analyser, nous allons indiquer sous quelle forme on les retrouve dans les écrits publiés par Maxwell postérieurement à son mémoire : Onphysical Lines of Force,

En 1864, Maxwell publiait un nouveau mémoire (*), très étendu, sur les actions électromagnétiques ; il y définissait luimême, de la manière suivante, l'esprit qui a dirigé la composition de ce travail :

* J*ai tenté dans une occasion précédente, disait-il (**), de décrire une espèce particulière de mouvement et un genre particulier de déformation combinés de manière à rendre compte des phénomènes. Dans le présent mémoire, j'ai évité toute hypothèse de cette nature ; lorsqu'à propos des phénomènes connus de l'induction électrodynamique et de la polarisation diélectrique, j'emploie des termes comme moment électrique et élasticité électrique, je n'ai d'autre but que de diriger l'esprit du lecteur vers des phénomènes mécaniques qui l'aideront à comprendre les phénomènes électriques correspondants. Dans le présent mémoire, de semblables manières de parler doivent être regardées comme des illustrations et non comme des explications. «

Sans faire aucune hypothèse sur la nature des phénomènes électriques, donner aux lois qui les régissent des formes analogues de tout point à celles qu'afifectent les équations de la dynamique, ce sera précisément l'objet du Traité d'Electricité et de Magnétisme, dont le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field est l'ébauche.

Maxwell ne s'y montre pas moins que dans son précédent mémoire: On physical Lines of Force respectueux des hypothèses traditionnelles touchant la polarisation des diélectriques. Il écrit(***),en citantFaraday et Mossotti :** Lorsqu'une force électro-

(*) J. Glerk Maxwell, A dynamical Theory of the Electromagnetic Field, lu à la Société Royale de Londres le S décembre 1854(Philosophical Transactions, vol. CLV. — SciKNTiPic Papkrs, vol. I, p. 526).

(**) J. Glerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 563.

(***) J. Glerk Maxwell, Ibid., vol. I, p. 13L

motrice agit sur un diélectrique, elle y produit un état de polarisation qui s'y distribue comme la polarité des diverses parties d'une masse de fer soumise à l'influence d'un aimant ; de même que la polarisation magnétique, cette polarité peut être représentée comme un état dans lequel les pôles opposés de chaque particule se trouvent dans des conditions opposées. «

" Lorsqu'un diélectrique est soumis à l'action d'une force électromotrice, on doit admettre que l'électricité est déplacée en chaque molécule de telle manière que l'une des extrémités de cette molécule est électrisée positivement et l'autre négativement; mais l'électricité demeure totalement retenue par la molécule, de sorte qu'elle ne peut passer de cette molécule à une molécule voisine. L'effet que cette action produit sur la masse entière du diélectrique est un déplacement général de l'électricité dans une certaine direction... Dans l'intérieur du diélectrique, on ne remarque aucun signe d'électrisation, car l'électrisation de la surface de chaque molécule est neutralisée par l'électrisation opposée qui se trouve à la surface des molécules contiguës ; mais à la surface qui limite le diélectrique, l'électrisation ne se trouve plus neutralisée et nous observons des phénomènes qui indiquent une électrisation positive ou négative. „

* La relation qui existe entre la force électromotrice et la grandeur du déplacement électrique qu'elle produit dépend de la nature du diélectrique ; en général, la même force électromotrice produit un plus grand déplacement électrique dans un diélectrique solide, comme le verre et le soufre, que dans l'air. ,

Si l'on désigne par K le rapport entre la force électromotrice et le déplacement, on aura

(45) P = K/-, Q = Kg,- R = Kh.

D'ailleurs, dans le cas où l'équilibre est établi sur le système, les composantes P, Q, R de la force électromotrice sont données par les formules

où V est une fonction d' a?, y, z sur la forme analytique de laquelle les raisonnements électrodynamiques de Maxwell ne

ncNis apprennent rien : * V, dit Maxwell (*), est une fonction d* Xj y^z ei t qui demeure indéterminée en ce qui concerne la solution des équations de Télectrodynamique, car les termes qui en dépendent disparaissent lorsqu'on intègre. !« long d'un circuit fermé. Toutefois, la quantité V peut être déterminée dans chaque cas particulier, lorsque Ton connaît les conditions actuelles de la question. L'interprétation physique de V est qu'elle représente le potentiel électrique en chaque point de l'espace. «

Ce passage ne diffère guère de celui que Maxwell écrit, au sujet de la quantité Y, dans son mémoire : On physical Lines of Force, que par la substitution desmols potentiel électrique aux mots^^^'on électrique. Mais, malgré la précision plus grande du nouveau terme, rien, dans les raisonnements de Maxwell, ne justifie l'identification analytique de la fonction V et de la fonction potentielle électro^ statique de Green ; rien non plus, ni une ligne de texte, ni une équation, ne marque que Maxwell ait admis cette assimilation, qui serait incompatible avec plusieurs des résultats auxquels il parvient.

Les équations que nous venons d'écrire concordent évidemment avec celles que nous avons empruntées au mémoire : On physical Lines of Force; elles n'en diflfèrent que par la substitution du coefficient K au produit 4TrE* ; en outre, la faute de signe qui affectait les équations (42) et (43) est corrigée dans les équations (45).

§ 3. L'équation de V électricité libre

Par la lettre e, Maxwell représente, dans son Mémoire : A dynamical Theory oftheelectromagneticField{**) ** la quantité d'électricité positive libre contenue dans l'unité de volume d'une portion quelconque du champ, due à ce que l'électrisation des différentes parties du champ n'est pas exactement neutralisée par l'électrisation des parties voisines. „

Rapprochée du passage sur la polarisation diélectrique que nous avons, au § précédent, emprunté au même mémoire, cette définition ne laisse aucun doute sur le sens que Maxwell attribue

(*) J. Clerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 558. (♦*) Ibid., voL I, p. 161.

à la lettre e ; c'est la densité solide de la distribution électrique fictive qui équivaut à la polarisation diélectrique ; c'est donc cela même qu'au Chapitre I, nous avons désigné par la lettre e.

D'autre part, comme le déplacement (^, g^ h) est certainement, pour Maxwell, l'exact équivalent de l'intensité de polarisation, entre les composantes du déplacement et la quantité e, il n'hésite pas à écrire ('*') la relation que Poisson avait établie entre les composantes de l'aimantation et la densité magnétique fictive, et que Mossotti avait étendue aux diélectriques :

Une équation complète celle-là en fixant la densité superficielle de V électricité libre à la surface de séparation de deux diélectriques 1 et 2 ; dans les deux mémoires que nous analysons en ce moment, Maxwell ne parle jamais de surfaces de discontinuité ; il n'écrit donc pas cette équation ; mais la forme en est forcée, du moment que l'on admet, d'une part, l'équation précédente et, d'autre part, l'équivalence entre une surface de discontinuité et une couche de passage très mince ; on peut donc adjoindre à l'équation précédente la relation

(47) E + /•, cos (N„ X) + g, cos (N^, y) + K cos (N„ z)

+ /; cos (N^, x) + g^ cos (N^, y) + h^ cos (N^j, z) = 0.

Moyennant les équations (45), l'égalité (47) devient

(48) E + ^ [P, cos (Nj, x) + Q, cos (N„ y) + R, cos (N„ z)]

+ ^ [P, cos (N„ x) + Q, cos (N„ y) + R, cos (N„ z)] = 0, tandis que l'équation (46) devient

(*) J. Glerk Maxwell, SciEirriFic Papebs, vol. I, p. 561, égaillé (6).

et, dans le cas où le milieu est homogène,

Cette équation, Maxwell ne Ta pas écrite dans son mémoire : A dynamical Theory oftheelectromagnetic Field, mais elle résulte immédiatement des équations (45) et (46) qu'il y écrit.

Dans le mémoire : On physical Lines of Force, il l'obtient par des considérations, à peine dififérentes des précédentes, qu'il nous faut relater.

Il part (*) de ce principe que * la variation du déplacement est

assimilable à un courant ., en sorte que Tr.f r^, r-r-, sont les

Qt Qt or

composantes d'un flux, le flux de déplacement^ qui doivent être

respectivement ajoutées aux composantes du flux de conduction,

pour former les composantes p, g-, r, du flux total. " Si e désigne

la quantité d'électricité libre par unité de volume, l'équation de

continuité donne

hx'^ hy '^ hz'^ ht

Mais, par des considérations que nous retrouverons lorsque nous étudierons Télectrodynamique de Maxwell, celui-ci attribue aux composantes du flux de conduction la forme

47T \hy bzj ' 4Tr \bz bxj ' 4tt \bx byj '

où a, p, Y» sont trois fonctions d' a;, y, z. Il en résulte que l'équation précédente demeure exacte si l'on y substitue à p^ q, r, les seules composantes du flux de déplacement, et qu'elle peut s'écrire

1/^^ J- ^ L ^^ -u ^ — ht \bx "^ by "^ bzJ '^ bt~

{*) J. Glerk Maxwell, Scientifig Papers, voL I, p. 496.

ou bien, en vertu des égalités (43'''*),

^ ' ht Ibx 4irE* ^ fcy 4trE« ^ hz 4TrE«J ^ bt ^ et, dans le cas d'un milieu homogène.

Jusqu'à ce point du raisonnement, on pourrait douter si Maxwell désigne simplement par e la densité de la distribution électrique fictive équivalente à la polarisation diélectrique, ou bien s'il y comprend quelque électrisation réelle communiquée au milieu ; un membre de phrase résout la question : * Lorsqu'il n'y a pas de forces électromotrices, dit-il (*), on a

Il est donc clair que e a le même sens que dans le mémoire : A dynamical Theory of the eledromagnetic Field; en outre, des équations (51) et (52), il est permis de tirer les équations

^^"^^ bi 4ÏTÈ5 + b^ îïdÊ^ + bz 47rE« + ^ — ^'

^^^ 4ttE2 [bx ^ by ^ bzj^ ^ -^^

identiques, à la notation près, aux équations (49) et (50).

Indiquons en passant qu'au lieu d'écrire l'équation (54), Maxwell, paa* suite de la faute de signe qui affecte les égalités (43), écrit (**)

^^ ' 4TrE« [bx ^ by ^ bz J ~ *'

(*) J. Clerk Maxwell, Scisstific Papers, toI. I, p. 497. (»*J Ibid., vol. I, p. 487, éealité <11^.

§ 4. La deuxième électrostatique de Maxwell est illusoire

Les diverses égalités que nous venons d'écrire sont générales ; dans le cas où l'équilibre est établi sur le système, P, Q, R sont liés à la fonction V par les égalités (41), qui donnent

' " 4îrB* bx ' ^ - 4TrE* by ' 47tE« bz '

(55) ^ou

'^ Kbar' ^~ K by ' ~ K bz '

Moyennant les égalités (41), les égalités (53) et (49) deviennent

/ b / 1 b¥\ b / 1 bT\ b f i bM^ \ bx 1^4itE'' bxj~^by [inK^ bt/J'^bz V4TrE'' bz J '

\bx\KbxJ~^ byKKbyJ'^ bz\K.bzJ

Les égalités (54) et (50) deviennent

<57) îi^ ^'^ - " = ^' g AV - e = 0.

Enfin, Tégalité (48) devient la seconde des égalités

+ tzpî rvT — lî- — u,

47TEÎ 5N, ' 47rEÎ bN, (58)

1 by j w

^ k; En; ■*" K, sn; ^ - "•

Si la fonction V était connue, les relations (55) détermineraient les composantes du déplacement en chaque point du milieu diélectrique. Mais comment sera déterminée la fonction V ? Par elles-mêmes, les égalités (56), (57) et (58) ne nous apprennent rien de plus, au si^et de cette fonction, que les égalités (55), dont elles

découlent. Il en serait autrement si quelque théorie, indépendante de celle qui nous fournit les équations (55), nous permettait d'exprimer e, E au moyen des dérivées partielles de Y, par des relations irréductibles aux relations (56), (57) et (58); alors, en éliminant e, E entre les relations (56), (57), (58) et ces nouvelles relations, on obtiendrait des conditions auxquelles les dérivées partielles de la fonction V seraient soumises, soit en tout point du milieu diélectrique, soit à la surface de séparation de deux diélectriques différents.

C'est par cette méthode que se développe la théorie de Taimantatiori par influence donnée par Poisson, la théorie de la polarisation des diélectriques conçue, à l'imitation de la précédente, par Mossotti.

Lorsqu'en cette dernière théorie, on a posé les équations de la polarisation sous la forme [Chapitre I, égalités (19)]

B--eFA(v + V),

G = -€fA(V + V),

011 en tire, en tout point d'un milieu continu, la relation [Chapitre I, égalité (SO)]

analogue à nos égalités (56), et^ à la'surface de séparation de deux milieux diélectriques, la relation [Chapitre I, égalité (21)]

((V)\ .V MVH-V) , ,p MV + V) F

^analogue à nos relations (58). Mais^ là ne s'arrête pas la solution. La fonetion^(V + V) qui figure dans ces formules n'est pas simple-

ment une fonction uniforme et continue de x^y^z; c'est une fonction dont 1 expression analytique est donnée d'une manière très précise lorsqu'on connaît la distribution électrique, réelle ou fictive; et de cette expression analytique découlent, en vertu des théorèmes de Poisson, deux relations indépendantes des précédentes; Tune [Chapitre I, égalité (15)], vérifiée en tout point d'un diélectrique continu, polarisé mais non électrisé,

(61) A (V + V) = — 4iTe;

l'autre [Chapitre I, égalité (16)], vérifiée à la surface de séparation de deux tels diélectriques.

Si alors nous comparons, d'une part, les égalités (59), (61), d'autre part, les égalités (60) et (62),__nous trouvons que les dérivées partielles de la fonction (V + V) doivent vérifier, en tout point d'un diélectrique continu, la relation.

et, à la surface de séparation de deux milieux diélectriques, la relation

(1 + *™f.) ^i^ + (1 + 4n.r.) MV + V) „

Ce sont précisément ces -équations aux dérivées partielles qui serviront à déterminer la fonction (V + V) et, par suite, l'état de polarisation des diélectriques.

Les mômes circonstances se rencontrent d'ailleurs dans tous les problèmes analogues que fournit la physique mathématique. Prenons, par exemple, le problème de la conductièililë de la

chaleur dans un milieu isolrope. Des hypothèses de Fourier découlent, en désignant par j, J, Tint ensilé solide ou superficielle des sources de chaleur, l'équation [Chapitre II, équation (34)]

vérifiée en tout point d'un milieu continu, et l'équation [Chapitre II, équation (35)]

vérifiée à la surface de séparation de deux milieux.

Mais le problème qui consiste à déterminer la disiribution de la chaleur sur le système n'est pas mis en équation tant que des hypothèses nouvelles n'ont pas relié les intensités^', J à la température T. Pour pousser plus loin, il nous faudra supposer, par exemple, que le milieu ne contient d autre source de chaleur ou de froid que sa propre capacité calorifique, ce qui reviendra à

écrire