PT-^, J

p élant la densité du corps et t sa chaleur spécifique. Les équations précédentes deviendront alors, pour la fonction T, les équations aux dérivées partielles

ïx^^^J + Vy\!'^) + bit* h^)-^^Vt=^^

, bT , ■ bT ■

qui serviront à déterminer la distribution de la température sur le système.

Rien d'analogue dans l'électrostatique de Maxwell. De la fonction % qui figure dans les équations (56), (57), (58), il ne sait rien

en dehors de ces équations, si ce n'est qu'elle est unifonne et continue; il n'a le droit d*écrire, au sujet de cette fonction, aucune égalité qui ne soit une conséquence de celles qui sont déjà données, et, de fait, il n'en écrit aucune qu'il ne prétende tirer de celles-là ; il ne possède donc aucun moyen d'éliminer e^ E et d'obtenir une équation qui puisse servir à déterminer cette fonction Y. Il faut donc reconnaître que la deuxième électrostatique de Maxwell n'aboutit pas même à mettre en équations le problème de la polarisation d'un milieu diélectrique donné,

§ 5. Détermination de V énergie électrostatique

Néanmoins, Maxwell s'efforce de tirer quelques conclusions de ce problème incomplètement posé; c'est, il faut bien le reconnaître, dans cet essai de constitution d'une électrostatique que son imagination, insoucieuse de toute logique, se donne le plus librement carrière.

Le premier problème traité est la formation de V énergie électrostatique ou du potentiel des actions qui s'exercent en un diélectrique polarisé.

Dans son mémoire : Onphysical Lines ofForce^ Maxwell admet purement et simplement (*) que cette énergie a pour valeur

(63) u = - i I (P/^ + Q^r + RA) du;.

Invoquant alors les formules (43) et (44), il trouve que U se peut mettre sous la forme

w " -u ià= [(SJ + (^" + © j

dijj.

Les formules (43) sont affectées d'une faute de signe ; si l'on faisait usage des formules correctes (43^'*), on trouverait

(*) J. Glerk Maiwell, Sgientifig Papers, vol. I, p. 497.

Cette formule (64) peut se transformer au moyen d'une int^ration par parties ; comme Maxwell rejette l'existence de surfaces de discontinuité (*), elle peut se mettre sous la forme

De là, au moyen des égalités (44) et de Tégalité (54**'*), affectée d'une faute de signe semblable à celle qui affecte les équations (43), Maxwell tire Tégaiité

"Veduj.

On y parviendrait également si, à l'égalité correcte (64*»**), on appliquait la relation correcte (53).

Maxwell parvient ainsi à une expression de l'énergie électrostatique semblable de forme à l'expression (39) qu'il a admise en sa première théorie. Mais, chemin faisant, il a rencontré l'égalité (64) qui, une fois corrigée la faute de signe essentielle qui affecte les équations du mémoire : On physical Lines of Force, prend la forme (64''^*).

Or, cette égalité (64^") conduit à un résultat inquiétant

L'énergie électrostatique du système, nulle en un système dépolarisé, serait négative en un système polarisé; elle diminuerait du fait de la polarisation ; un ensemble de diélectriques à l'état neutre serait dans un état instable ; aussitôt cet état troublé, il irait se polarisant avec une intensité toujours croissante.

Lorsque Maxwell composa son Mémoire : A dynamical Theory of ihe electromagnetic Field, il reprit les équations données dans le Mémoire précédent, mais après les avoir débarrassées des fautes de signe qui les altéraient. Dès lors, la conséquence que nous venons de signaler a pu lui apparaître. Est-ce là la raison

(*) Dans ce passa£;e, Maxwell raisonne toujours comme si £^ avait la même valeur dans tout Tespacé; mais on peut aisément libérer ses raisonnements de cette supposition.

pour laquelle il a, dans ce nouveau travail, changé l'expression de l'énergie électrostatique? Toujours est-il qu'au lieu de conserver, pour définition de cette quantité, l'égalité (63), il définit maintenant cette grandeur par l'égalité (*)

(67) V ^l^ {Pf+Qg + Rh)dix).

A la vérité, cette égalité n'est point donnée ici comme une définition ou un postulat, mais découle d'un raisonnement que nous allons reproduire :

• De l'énergie peut être créée dans le champ magnétique de diverses manières, notamment par l'action d'une force électromotrice qui produit un déplacement électrique. Le travail produit par une force électromotrice variable P qui produit un déplacement variable f, s'obtient en formant la valeur de l'intégrale

jf^f

depuis

jusqu'à la valeur donnée de P.

Comme Ton a

cette quantité devient

Kf df = ^^Kr == Ipf.

Dès lors, l'énergie intrinsèque qui existe dans une partie quelconque du champ, sous formé de déplacement électrique, a pour valeur :

+ 09 + B»)rfu).

Il nous semble que ce raisonnement devrait bien plutôt justifier la conclusion opposée et obliger Maxwell à conserver l'expression

(•) J. Glerk MaxwelI/SciEimFiG Paper», vol. I, p. 563.

de Ténergie électrique, donnée par Tégalité (63), qu'il avait adoptée tout d'abord.

Il paraît assez clairement que, dans le raisonnement qui précède, P, Q, R doivent être regardés comme les composantes d'une force électromotrice intérieure au système, et non comme les composantes d'une force électromotrice extérieure engendrée dans le système par des corps qui lui sont étrangers.

En effet, on peut remarquer, en premier lieu, que Maxwell ne décompose jamais l'ensemble des corps quMl étudie en deux groupes, dont l'un est regardé comme arbitrairement donné, tandis que l'autre, soumis à l'action du premier, éprouve des modifications que le physicien analyse. Il semble bien plutôt que ses calculs s'appliquent à tout l'univers, assimilé à un système isolé, en sorte que toutes les actions qu'il considère sont des actions intérieures.

En second lieu, si, dans le raisonnement précédent, P, Q, R désignaient les composantes d'une force électromotrice extérieure, Maxwell aurait dû leur adjoindre les composantes de la force électromotrice intérieure qui naît du fait même de la polarisation du milieu diélectrique; l'omission de cette dernière force rendrait son calcul fautif.

On doit donc penser que le travail évalué par Maxwell est pour lui un travail interne ; mais alors ce travail équivaut à une diminution et non à un accroissement de l'énergie interne, en sorte que la conclusion de Maxwell doit être renversée.

Maxwell la conserve cependant et, dans un champ où l'équilibre est établi, où l'on a, par conséquent,

bV feV bV

il écrit (*) l'équation (67) sous la forme

(*) J. Glerk Maxwell, Scikntifig Papers, vol. I, p. 568.

qu'une intégration par parties transforme en

"-Jl-C^+g+ëh

OU bien, en verlu de Tégalité (46),

Yedu),

§ 6. Des forces qui s'exercent entre deux petits corps électrisés

De Texpression de Ténergie électrostatique, Maxwell va chercher à déduire les lois des forces pondéromotrices qui s'exercent en un système électrisé.

Étudions d'abord cette solution dans le Mémoire : On physical Lines of Force {*).

Le point de départ est l'expression de l'énergie électrostatique donnée par la formule (66).

Maxwell qui, dans le Mémoire en question, ne considère jamais de surface de discontinuité, n'y a fait figurer aucune électrisation superficielle ; néanmoins, pour éviter certaines objections qui pourraient être faites aux considérations suivantes, il sera bon de tenir compte d'une telle électrisation et de mettre l'énergie électrostatique sous la forme

(69) U = l|Yé^rfu) + ||vEdS,

la seconde intégrale s'étendant aux surfaces électrisées.

Imaginons que l'espace entier^soit rempli par un diélectrique homogène ; E^ aura en tout point la même valeur (**).

(*) J. Glerk Maxwell, Sgiektific Pàpers, vol. I, p. 497 et p. 498. (**) Le lecteur évitera sans peine toute confusion entre le coefficient E^ et la densité isnperficiene E.

La densité électrique solide sera donnée par l'égalité (57) j^AV-e^O.

que Maxwell devrait écrire, par suite delà faute de signe qui affecte les égalités (43),

D'autre part, en un point d'une surface de discontinuité où la normale a les deux directions Ni, N<, la densité superficielle aura, d'après la première égalité (58), la valeur donnée par l'égalité

co) Mm + wy-"'

que Maxwell devrait écrire

Une surface de discontinuité S^ est supposée séparer de l'ensemble du milieu diélectrique une portion 1 que l'on regardera comme susceptible de se mouvoir dans ce milieu, à la façon d'un solide dans un fluide. La fonction y, que l'on désignera par Vj, sera supposée harmonique dans tout l'espace, sauf en la région 1 ; en cette région, existera une densité solide e^ ; la surface S^ pourra porter, en outre, la densité superficielle E^. L'énergie électrostatique du système sera

U, = ^ I ^,e, dtu, + 11 V,E, dS,.

Si le corps 1 se déplace en entraînant sa polarisation, U^ restera invariable.

Par une surface S,, isolons dé riièrhé une autre partie 2 dii diélectrique. Soit Y, ^^^ fonction harmomqae en dehors de la région 2 ; elle correspond à une densité solide e^ en tout point de la

région 2 et à une densité solide E, en tout point de la surface S^ ; si cette électrisation existait seule dans le milieu, l'énergie électrostatique serait

Imaginons maintenant que ces deux corps électrisés existent simultanément dans le milieu diélectrique, et que la fonction Y ait pour valeur Q¥^ + V^); Télectrisation de chacun des deux corps sera la même que s'il existait seul; quant à l'énergie électrostatique du système, elle sera visiblement, d'après l'égalité (69).

U =|j"(T, + V,)e.diu, + ^ I (Y, + V,) E. dS.

ou bien

(71) U = Uj + U, + i j* 'V.e, rfu». + I j* *I',E. dS,

Mais le théorème de Green donne sans peine l'égalité

Soit que Ton fasse usage des équations (57) et (70), soit que l'on fasse usage des équations (57^^^) et (70''^^), cette égalité peut

s'écrire

r ^,e, dii),. + I Y,E, dS, = I y,6, dH), + I %E, dS,

et transforme l'égalité (71) en

(72) U = U, + U, + r \e, dix), + r V,E, dS,.

Laissant immobile le corps 2, déplaçons le corps l ; U^, U^ demeurent invariables et U éprouve un accroissement

(73) bO = 5 r \e, du)^ + 6 r W^K, dS,.

Maxwell remarque que bU représente le travail qu'il faudrait effectuer pour mouvoir le corps 1 ou, en d'autres termes, le travail résistant engendré par les actions du corps 2 sur le corps 1; le travail effectué par ces actions est donc

— bU = — b fv^e^duii — b Tv^E^dS,.

Supposons que le corps 1 soit un corps très petit et que hx^^ hy^ b^i, soient les composantes du déplacement de ce corps; désignons par

(74) ?i = I ^1 dyxi, + I E, dS, sa charge électrique tolale; nous aurons

Le corps 2 exerce donc sur le petit corps 1 une force dont les composantes sont

bV

Z« = - ?i 5j^ = 3iR».

En vertu des égalités (57'"'') et (TO""'»), on peut écrire

- E' f ii», + E'|&<iS,.

Si le corps 2 est très petit, et si l'on désigne par

dS.

sa charge électrique totale, on aura, au point (Xj, y^ z^).

Les égalités (75) deviendront alors

Elles nous enseignent que le corps 2 exerce sur le corps 1 une force répulsive

Mais ce résultat est obtenu au moyen des égalités (57*»") et (70''"), qui sont affectées d'une faute de signe {*) ; si Ton faisait usage des

(*) En fait, Maxwell écrit non pas Téquation (57^^^), mais Téqnation (57) [loc. cit, égalité (123) ]; mais ensuite, il admet Texpression (76) de V2 comme s*il avait écrit Téquation (57^^^).

égalités (57) et (70), où celte faute de signe est corrigée, on trouverait que l'égalité (76) devrait être remplacée par Tégalité

et le corps 2 exercerait sur le corps 1 une force attractive

Cette conséquence, qui eût assurément élonné Maxwell, ne se retrouvera pas dans le mémoire : A dynamical Theory of the dectromagnetic Field, grâce au changement de signe qu'a subi l'expression de l'énergie électrostatique.

Dans ce mémoire (*), Maxwell traite très succinctement des actions mutuelles des corps éleetrisés en renvoyant le lecteur désireux de suivre les détails du raisonnement, à la théorie des forces magnétiques qu'il vient de donner.

Ce raisonnement est, d'ailleurs, conduit exactement suivant la marche que nous venons d'exposer ; seulement, au lieu de prendre pour point de départ l'expression (66) de l'énergie électrostatique, il prend pour point de départ l'expression (68) de cette énergie ou mieux l'expression

(79) U ^ j Cverfuj - KvEdS.

De ce changement de signe de l'énergie électrostatique, résulte le remplacement des égalités (75) par les égalités

(*) J. Clerk Maxwell, Sciestific Papers, vol. I, pp. 5iS6 à 568.

Selon ces équations, le champ pondéromoteur créé par le corps 2 au point (a?, y, z) aurait pour composantes — P^, — Q,, — R^^, tandis que le diamp iUctromoteur créé par le même corps, au même point, aurait pour composantes P,, Q,, R,; ces deux champs seraient donc égaux, mais de sens contraires. Maxwell, qui a écrit (♦) les égalités (80), ne s'arrête pas à cette conclusion paradoxale. Remplaçant (**) Vg par l'expression

analogue à l'égalité (76), il trouve les égalités

4ir r* bar, *

m\ ) Y = £Mj^

* ' \ *« 4Tr r» hy^ '

" ~ 4ir r» bi; '

analogues aux égalités (77) et (78).

Maxwell parvient ainsi à une loi analogue à la loi de Coulomb, mais à la condition de faire l'hypothèse assez étrange et singulièrement particulière que les corps électrisés ont même pouvoir diélectrique que le milieu qui les sépare.

En outre, cette conclusion n'est obtenue, dans le mémoire : On physical Lines of Force, qu'à la faveur d'une faute matérielle de signe et, dans le mémoire : A dynamicalTheory ofthe dectromagnetic Field, elle est déduite d'une expression de l'énergie électrostatique dont, visiblement, le signe est erroné.

(*) Loc, eit, p. 568, éf alités (D).

(•*) En réalité, Maxwell écrit

[toc. cit., égalité (43)] ; mai» cette fanttf de srgoe est compensée par une faute de signe dans l'égalité (44).

§ 7. De la capacité d'un condensateur

Un autre problème d'électrostatique préoccupe Maxwell dans les deux mémoires que nous analysons en ce Chapitre : c*est le calcul de la capacité d'un condensateur.

Suivons, tout d'abord, la solution de ce problème donnée (*) dans le mémoire : On physical Lines of Force.

Imaginons une lame diélectrique plane, d'épaisseur 6, placée entre deux lames conductrices 1 et 2; Maxwell admet que la fonction Y prend, à l'intérieur de la lame conductrice 1 la valeur invariable Vj, à l'intérieur de la lame conductrice 2 la valeur invariable V,; il sous-entend que, dans le diélectrique, Y est fonction linéaire de la distance à Tune des armatures.

Pour calculer la distribution électrique sur un tel système, Maxwell fait usage, aussi bien pour les conducteurs que pour les diélectriques, de l'équation (54*»") ; il y faudrait joindre, pour rendre son raisonnement rigoureux, l'équation analogue relative à l'électrisation superficielle des surfaces de discontinuité. Il en déduit que l'électrisation est localisée aux surfaces de séparation des armatures et du diélectrique ; à la surface de séparation de l'armature 1 et du diélectrique, la densité superficielle sera

(^*) ^ = ~4ÏÏÊ«bN;'

N, étant la normale vers l'intérieur du diélectrique. D'ailleurs

bN.- ~ e

Si donc S est Taire de la surface de chaque armature en contact avec le diélectrique, l'armature 1 portera une charge

(*) J. Glerk Maxwell, Sgientifig Papers, yoL I, p. 500.

L'armature 2 portera uAe charge égale et de signe contraire. Maxwell définit la capacité du condensateur par la formule

L'égalité (85) donnera alors

1 S (87) ^ = 4ÎÏÊ5ë'

ce qui permettra de regarder j— r^ comme le pouvoir inducteur

spécifique du diélectrique.

Mais ce résultat n'a été obtenu qu'en faisant usage de l'égalité (84), entachée de la même faute de signe que l'égalité (54^^*) ; si Ton faisait usage de l'égalité correcte

1 hW (8i>''') E = — — — -,

à laquelle conduirait la première égalité (48), on trouverait pour la capacité du condensateur la valeur négative

La faute de signe qui affecte les égalités (43) et, par là, tant d'égalités du mémoire : On physical Lines of Force, a disparu dans le mémoire : A dynamical Theory of electromagnetic Field; la théorie du condensateur que renferme ce mémoire (*) va-t-elle donc conduire à ce résultat paradoxal qu'un condensateur a une capacité négative? Plutôt que de se laisser acculer à cette extrémité, Maxwell commettra ici une nouvelle faute de signe, la

(*) J. Glerk Maxwell, ScisNTinc Papers, yoL I, p. 572.

même que dans le mémoire : On phffsieal Lines of Forée, et il écrira (♦)

alors que quelques pages auparavant, il a écrit (**)

et aussi (***)

bx

(*) Loe. du p. 573, égalité (48).

(**) Loe, du, p. 500, égalités (E).

(*♦♦) Loc, dt^ p. 568.