AF= — 47T

Imaginons que \x ait, dans tout l'espace la même valeur; supposons qu'une région 1 de cet espace renferme de la " matière

(*) J. Glerk Maxwell, loc. cit., p. 464.

magnétique imaginaire „ en sorte que p y diffère de 0, tandis que p est nul en tout le reste de l'espace ; nous aurons

(67) ""^ïij

doj^.

Le champ magnétique se calculera donc comme si deux masses m, m\ situées à la distance r, se repoussaient avec une force

1 7nm'

Dans le vide où, par définition, ]n = 1, cette force a l'expression

— 2~ donnée par Coulomb, dont il semble ainsi que l'on ait

retrouvé la loi; conclusion cependant qu'il ne faut point se hâter d'affirmer, car la déduction précédente est subordonnée à l'hypothèse que ju a la même valeur au sein des masses aimantées et du milieu interposé, hypothèse inadmissible lorsqu'il s'agit de masses de fer placées dans l'air.

Ajoutons cette remarque, bien capable de jeter quelque discrédit sur la théorie du magnétisme donnée par Maxwell. Selon la théorie classique, un aimant quelconque renferme toujours autant de fluide magnétique boréal que de fluide magnétique austral; en sorte que la charge magnétique totale qu'il renferme est toujours égale à 0. Cette conclusion n'a plus rien de forcé dans la théorie de Maxwell ; en sorte que, selon cette théorie, il semble possible d'isoler un aimant qui renfermerait uniquement du fluide boréal ou uniquement du fluide austral.

Les considérations précédentes jouent un grand rôle dans la détermination de la forme qu'il convient d'attribuer à l'énergie magnétique (*).

Le fluide, animé de mouvements tourbillonnaires qui représentent le champ magnétique, possède une certaine force vive; cette force vive a pour val iïur

(68) E = G r^i (a^ + p2 4 ^2) ^uj,

(*) J. Clerk Maxwell, loc. cit., p. 472.

l'intégrale s'étendant au système entier et G étant un coefficient constant dont il s'agit de déterminer la valeur.

Pour y parvenir, Maxwell suppose que le système ne renferme aucun courant, cas auquel les égalités (64) sont applicables. L'égalité (68) devient alors

= c.|mP) + (^) + (^)

duj.

11 suppose ensuite que |li a la même valeur dans tout l'espace, ce qui permet de transformer l'égalité précédente en

(69) E = — G fin

VAVdix).

11 suppose enfin que la fonction F est la somme de deux fonctions.

La première, F^, vérifie, en tout point du volume lUi, l'égalité

AF=-^i

et, en tout autre point, l'égalité AF^ = 0. La seconde, Fg, vérifie, en tout point d'un volume UJ2 n'ayant avec tu^ aucun point commun, l'égalité

AF, = -

et, en tout autre point, l'égalité A F2 = 0. Dès lors, l'égalité (69) peut s'écrire

(70) E = 47rGr (F, + F,)p,^/aj, + 4TrG r ( F + F,) p, c^uj,.

D'ailleurs le théorème de Green donne l'égalité

r F^AF,afuj = f V,AV,duj,

où les intégrales s'étendent à l'espace entier; cette égalité se transforme sans peine en la suivante,

qui transforme l'égalité (70) en

(71) E = 47tG 1* F, p, ^uu, + 47tG r F^ p^ ^uu^ + SttC |* F^p.^/uu,.

Supposons que le volume \m^ demeure invariable ainsi que la valeur de p^ qui correspond à chacun de ses points; supposons que le volume lUg se déplace comme un solide rigide, chacun de ses points entraînant la valeur de p^ qui lui correspond; nous

reconnaîtrons sans peine que l V^ p^ dw^^, l V^ pg d^M^ garde-

ront des valeurs invariables, tandis que si nous désignons par biCg, hy^^ hz^, les composantes du déplacement d'un point de l'élément c^ujg, nous aurons

el

(72) 6E = 8,tC C p, f ^ bx, + ^Is 6y, + ^' hz\ d^,.

UJ2

Cette variation de l'énergie doit être égale et de signe contraire au travail des forces apparentes que l'aimant tu^ exerce sur l'aimant ix)^.

Tenant compte du premier terme de l'expression (60) de X et de l'interprétation qu'il en a donnée, mais oubliant entièrement le second terme, Maxwell admet que ce travail a pour valeur

dT = i pg (a, bx^ + Pi 5^2 + Ti ^^2) ^^2

ou bien, en vertu des égalités (64),

En identifiant l'expression de — dT k l'expression de 6E donnée par l'égalité (72), on trouve

SttG = 1,

en sorte que l'égalité (68) devient

Ainsi est obtenue l'expression de la force vive ou énergie cinétique électromagnétique ; cette expression va jouer dans lès travaux de Maxwell un rôle considérable.

En voici une importante application (*).

Imaginons un système immobile où oc, p, y varient d'un instant à l'autre. Le système va être traversé par des flux électriques engendrés par induction. La production de ces flux correspond à un certain accroissement d'énergie du système ; et Maxw^ell admet que si E^:, Ey, E^ sont les composantes du champ électromoteur, l'accroissement d'énergie, au sein du système, dans le temps dt, correspondant à la création des courants électriques, a pour valeur

dt

l {E^u -\- EyV -\- E.w) dix).

L'énergie totale du système, que l'on suppose soustrait à toute action extérieure, devant rester invariable, l'accroissement dont nous venons de donner l'expression devra être compensé par une égale diminution de la force vive électromagnétique. Cette diminution a, d'ailleurs, pour valeur

dt r r ha

(*) J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 475.

On aura donc l'égalité (74) {i:,u+EyV + E,iv)d^xi + i- j^(^a^ + p^+Tg^^u^=0. Mais, en vertu des égalités (30),

l (E:cU + EyV -\- E.w) C?UJ

— rj m - s '■ + (S - S) *' + (S - S) *J ""

L'égalité (74) devient alors

IKv

6£;^ 5aA , AJS'^ bE, 5p