TE
bxj
d(jj.
(*) J. Clerk Maxwell, Scientifig Papers, vol. I, p. 497.
Cette formule (64) peut se transformer au moyen d'une intégration par parties ; comme Maxwell rejette l'existence de surfaces de discontinuité (*), elle peut se mettre sous la forme
^Do; u — 2 J ^ [5^ l^4„E^ bx J ^ by \^tïE^ by
"^ bz UttE^ bz
c/uj
De là, au moyen des égalités (44) et de l'égalité (54^''), affectée d'une faute de signe semblable à celle qui affecte les équations (43), Maxwell tire l'égalité
^ed^.
On y parviendrait également si, à l'égalité correcte (64^^'^), on appliquait la relation correcte (53).
Maxwell parvient ainsi à une expression de l'énergie électrostatique semblable de forme à l'expression (39) qu'il a admise en sa î)remière théorie. Mais, chemin faisant, il a rencontré l'égalité (64) qui, une fois corrigée la faute de signe essentielle qui affecte les équations du mémoire : Ow physlcal Lines of Force, prend la forme (64^'^).
Or, cette égalité (64^^') conduit à un résultat inquiétant.
L'énergie électrostatique du système, nulle en un système dépolarisé, serait négative en un système polarisé; elle diminuerait du fait de la polarisation ; un ensemble de diélectriques à l'état neutre serait dans un état instable ; aussitôt cet état troublé, il irait se polarisant avec une intensité toujours croissante.
Lorsque Maxwell composa son Mémoire : A dynamical Theory of the eledromagnetic Field, il reprit les équations données dans le Mémoire précédent, mais après les avoir débarrassées des fautes de signe qui les altéraient. Dès lors, la conséquence que nous venons de signaler a pu lui apparaître. Est-ce là la raison
(*) Dans ce passage, Maxwell raisonne toujours comme si E^ avait la même valeur dans tout Tespace; mais on peut aisément libérer ses raisonnements de cette supposition.
pour laquelle il a, dans ce nouveau travail, changé l'expression de l'énergie électrostatique? Toujours est-il qu'au lieu de conserver, pour définition de cette quantité, l'égalité (63), il définit maintenant cette grandeur par l'égalité (*)
(67) V = 1^ {Pf+Qg + m)dvj.
A la vérité, cette égalité n'est point donnée ici comme une définition ou un postulat, mais découle d'un raisonnement que nous allons reproduire :
* De l'énergie peut être créée dans le champ magnétique de diverses manières, notamment par l'action d'une force électromotrice qui produit un déplacement électrique. Le travail produit par une force électromotrice variable P qui produit un déplacement variable /", s'obtient en formant la valeur de l'intégrale
jp<^f
depuis
jusqu'à la valeur donnée de P.
Gomme l'on a
cette quantité devient
Kfdf=^^Kp = lpf.
Dès lors, l'énergie intrinsèque qui existe dans une partie quelconque du champ, sous forme de déplacement électrique, a pour valeur :
l^(^f+Q9 + md^.
Il nous semble que ce raisonnement devrait bien plutôt justifier la conclusion opposée et obliger Maxwell à conserver l'expression
(*J J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 563.
de l'énergie électrique, donnée par l'égalité (63), qu'il avait adoptée tout d'abord.
Il paraît assez clairement que, dans le raisonnement qui précède, P, Q, R doivent être regardés comme les composantes d'une force électromotrice intérieure au système, et non comme les composantes d'une force électromotrice extérieure engendrée dans le système par des corps qui lui sont étrangers.
En effet, on peut remarquer, en premier lieu, que Maxwell ne décompose jamais l'ensemble des corps qu'il étudie en deux groupes, dont l'un est regardé comme arbitrairement donné, tandis que l'autre, soumis à l'action du premier, éprouve des modifications que le physicien analyse. Il semble bien plutôt que ses calculs s'appliquent à tout l'univers, assimilé à un système isolé, en sorte que toutes les actions qu'il considère sont des actions intérieures.
En second lieu, si, dans le raisonnement précédent, P, Q, R désignaient les composantes d'une force électromotrice extérieure, Maxwell aurait dû leur adjoindre les composantes de la force électromotrice intérieure qui naît du fait même de la polarisation du milieu diélectrique ; l'omission de cette dernière force rendrait son calcul fautif.
On doit donc penser que le travail évalué par Maxwell est pour lui un travail interne ; mais alors ce travail équivaut à une diminution et non à un accroissement de l'énergie interne, en sorte que la conclusion de Maxwell doit être renversée.
Maxwell la conserve cependant et, dans un champ où l'équilibre est étabh, où l'on a, par conséquent,
bV 6Y bY
il écrit (*) l'équation (67) sous la forme
(*) J. Glerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, p. 568.
qu'une intégration par parties transforme en
ou bien, en verlu de l'égalité (46),
(68) U = — K "Ve dvj,
§ 6. Des forces qui s'exercent entre deux petits corps électrisés
De l'expression de l'énergie électrostatique, Maxwell va chercher à déduire les lois des forces pondéromotrices qui s'exercent en un système électrisé.
Étudions d'abord cette solution dans le Mémoire : On physical Lines of Force (*).
Le point de départ est l'expression de l'énergie électrostatique donnée par la formule (66).
Maxwell qui, dans le Mémoire en question, ne considère jamais de surface de discontinuité, n'y a fait figurer aucune électrisation superficielle ; néanmoins, pour éviter certaines objections qui pourraient être faites aux considérations suivantes, il sera bon de tenir compte d'une telle électrisation el de mettre l'énergie électrostatique sous la forme
(69) U = i|Y.(?iu + IJYEc^S,
la seconde intégrale s'étendant aux surfaces électrisées.
Imaginons que l'espace entier soit rempli par un diélectrique homogène ; E^ aura en tout point la même valeur (**).
(*) J. CJerk Maxwell, Sciektifig Papers, vol. I, p. 497 et p. 498. {*•) Le lecteur évitera sans peine toute confusion entre le coefficient E^ et la densité superficielle E.
La densité électrique solide sera donnée par l'égalité
(57) î;ïr^^^-^ = «'
que Maxwell devrait écrire, par suite delà faute de signe qui affecte les égalités (43),
D'autre part, en un point d'une surface de discontinuité où la normale a les deux directions N,, N«, la densité superficielle aura, d'après la première égalité (58), la valeur donnée par l'égalité
4îTE2VbN.- ' hK.J que Maxwell devrait écrire
('^ ^ 47tE2V^N,- ^ hNeJ ^
Une surface de discontinuité S^ est supposée séparer de l'ensemble du milieu diélectrique une portion 1 que l'on regardera comme susceptible de se mouvoir dans ce milieu, à la façon d'un solide dans un fluide. La fonction Y, que l'on désignera par Y^, sera supposée harmonique dans tout l'espace, sauf en la région 1 ; en cette région, existera une densité solide e^ ; la surface S^ pourra porter, en outre, la densité superficielle E^. L'énergie électrostatique du système sera
U. =|j'M'.e.rfu,, + i|H'.E.rfS,
Si le corps 1 se déplace en entraînant sa polarisation, Uj restera j invariable. I
Par une surface S,, isolons de même une autre partie 2 du 9 diélectrique. Soit Yg ^^^ fonction harmonique en dehors de la région 2 ; elle correspond à une densité solide e^ en tout point de la
région 2 et à une densité solide E2 en tout point de la surface Sg ; si cette électrisation existait seule dans le milieu, l'énergie électrostatique serait
Imaginons maintenant que ces deux corps électrisés existent simultanément dans le milieu diélectrique, et que la fonction M^ ait pour valeur (Yj -\- %); l'électrisation de chacun des deux corps sera la même que s'il existait seul; quant à l'énergie électrostatique du système, elle sera visiblement, d'après l'égalité (69).
+ IjlH', + %) e,d^, + i|(y, + Y,) E,dS, ou bien (71) • U = U. + U, + l^^e.dw, + I J"h',E,(/S,
Mais le théorème de Green donne sans peine l'égalité
Soit que l'on fasse usage des équations (57) et (70), soit que l'on fasse usage des équations (57*^'") et (70''^'), cette égalité peut s'écrire
et transforme l'égalité (71) en
(72) U = U, + U, +1 "¥,€, dw, + r %E, dS,,
Laissant immobile le corps 2, déplaçons le corps l ; U^, Ug demeurent invariables et U éprouve un accroissement
(73) 5U = 6 {"V^e.dvj, + b Ty^E^c^S,.
Maxwell remarque que 5U représente le travail qu'il faudrait effectuer pour mouvoir le corps 1 ou, en d'autres termes, le travail résistant engendré par les actions du corps 2 sur le corps 1; le travail effectué par ces actions est donc
- 6U = — b r %e, dvj, — h( %E, ^S,.
Supposons que le corps 1 soit un corps très petit et que bx^^ by^ bz^^ soient les composantes du déplacement de ce corps; désignons par
(74) q, = ie,du^, + j E, (^S, sa charge électrique totale; nous aurons
Le corps 2 exerce donc sur le petit corps 1 une force dont les composantes sont
Z21 = - ^1 rr-' = ^i^r
bj, bz.
En vertu des égalités (57^^') et (TC^^^), on peut écrire
Si le corps 2 est très petit, et si l'on désigne par (74b-) q^ |e,c/LU, + |e,c^S,
sa charge électrique totale, on aura, au point {x^^ y^, z^.
Les égalités (75) deviendront alors (77)
Elles nous enseignent que le corps 2 exerce sur le corps 1 une force répulsive
Mais ce résultat est obtenu au moyen des égalités (57''^') et (70^^^), qui sont affectées d'une faute de signe (*) ; si l'on faisait usage des
(*) En fait, Maxwell écrit non pas l'équation (57^'^)^ mais l'équation (57)[Zoc. cit., égalité (123)]; mais ensuite, il admet l'expression (76) de Y2 comme s'il avait écrit l'équation (57^1^).
égalités (57) et (70), où cette faute de signe est corrigée, on trouverait que l'égalité (76) devrait être remplacée par l'égalité
(76bis) "^2 = - E^ ^
et le corps 2 exercerait sur le corps 1 une force attractive
(73bis) A = E2 M? .
Cette conséquence, qui eût assurément étonné Maxwell, ne se retrouvera pas dans le mémoire : A dynamical Theory of the electromagnetic Field, grâce au changement de signe qu'a subi l'expression de l'énergie électrostatique.
Dans ce mémoire (*), Maxwell traite très succinctement des actions mutuelles des corps électrisés en renvoyant le lecteur désireux de suivre les détails du raisonnement, à la théorie des forces magnétiques qu'il vient de donner.
Ce raisonnement est, d'ailleurs, conduit exactement suivant la marche que nous venons d'exposer; seulement, au lieu de prendre pour point de départ l'expression (66) de l'énergie électrostatique, il prend pour point de départ l'expression (68) de cette énergie ou mieux l'expression
(79) U = -|jye^u) - i|
YE dS.
De ce changement de signe de l'énergie électrostatique, résulte le remplacement des égalités (75) par les égalités
Xe,
îi
bx,
Zn
bz,
- îiRr
{*) J. Clerk Maxwell, Scientific Papers, vol. I, pp. 566 à 568.
Selon ces équations, le champ pondéromoteur créé par le corps 2 au point {x, y, z) aurait pour composantes — Pg, — Qg, — Rg, tandis que le champ électromoteur créé par le même corps, au même point, aurait pour composantes P^, Q^, Rg; ces deux champs seraient donc égaux, mais de sens contraires, Maxwell, qui a écrit (*) les égalités (80), ne s'arrête pas à cette conclusion paradoxale. Remplaçant (**) Yg par l'expression
Kg, 4Tr r '
analogue à l'égalité (76), il trouve les égalités
K g,q^ br
Y K q,q^ hr 21 4tt r^ hf/^'
V = —M3 4tt r^ '
analogues aux égalités (77) et (78).
Maxwell parvient ainsi à une loi analogue à la loi de Coulomb, mais à la condition de faire l'hypothèse assez étrange et singulièrement particulière que les corps électrisés ont même pouvoir diélectrique que le milieu qui les sépare.
En outre, cette conclusion n'est obtenue, dans le mémoire : On physical Lines of Force, qu'à la faveur d'une faute matérielle de signe et, dans le mémoire : A dynam,ical Theory ofthe electromagnetic Field, elle est déduite d'une expression de l'énergie électrostatique dont, visiblement, le signe est erroné.
(*) Loc. cit., p. 568, égalités (D).
(♦*) En réalité, Maxwell écrit
\loc. cit., égalité (43)] ; mais cette faute de signe est compensée par une faute de signe dans l'égalité (44).
§ 7. Delà capacité d'un condensateur
Un autre problème d'électrostatique préoccupe Maxwell dans les deux mémoires que nous analysons en ce Chapitre : c'est le calcul de la capacité d'un condensateur.
Suivons, tout d'abord, la solution de ce problème donnée (*) dans le mémoire : On physical Lines of Force.
Imaginons une lame diélectrique plane, d'épaisseur 9, placée entre deux lames conductrices 1 et 2; Maxwell admet que la fonction Y prend, à l'intérieur de la lame conductrice 1 la valeur invariable Y^, à l'intérieur de la lame conductrice 2 la valeur invariable Vgî i^ sous-entend que, dans le diélectrique, Y est fonction linéaire de la distance à l'une des armatures.
Pour calculer la distribution électrique sur un tel système, Maxwell fait usage, aussi bien pour les conducteurs que pour les diélectriques, de l'équation (54'''') ; il y faudrait joindre, pour rendre son raisonnement rigoureux, l'équation analogue relative à l'électrisation superficielle des surfaces de discontinuité. Il en déduit que l'électrisation est localisée aux surfaces de séparation des armatures et du diélectrique ; à la surface de séparation de l'armature 1 et du diélectrique, la densité superficielle sera
Ni étant la normale vers l'intérieur du diélectrique. D'ailleurs
bNi e
Si donc S est l'aire de la surface de chaque armature en contact avec le diélectrique, l'armature 1 portera une charge
