VI. — Passage» de Proclus relatifs aux PorUmes

Extrait du Commentaire relatif à la l re Proposition des Éléments d’Euclide.

« Porisme se dit de certains problèmes comme les Po- » rismes d’Euclide. Mais il se dit plus particulièrement , » lorsque, des choses qui viennent d’être démontrées, surgit » quelque théorème que nous n’avions point eu en vue, et » que pour cela on a appelé Porisme, comme une sorte de » gain qui s’ajoute à ce que l'on s’était proposé de démon- » trer. »

Extrait du Commentaire relatif à la Proposition AF d Eue litle.

» Porisme est un des termes de la géométrie : mais il a » deux significations. Car on appelle Porismes les théorè-

» mus qui résultent de la démonstration d'autres théorèmes » comme un gain inattendu et dont profite le géomètre : et- » on appelle aussi Porismes des proposa tious qui n'ont pas » pour objet ni une simple construction, ni une simple » démonstration, mais où il f aut trouver quelque chose.

» Qu’on démontre que dans les triangles isocèles les » angles à la base sont égaux, on acquerra la connaissance » de ce qui est.

u Qu’on divise un angle en deux parties égales, ou qu’on » construise un triangle, ou qu’on ajoute ou retranche une » ligne, tout cela demande une construction.

» Mais qu’il s’agisse de trouver le centre d’un cercle » donné, ou la plus grande mesure commune à deux grau- » deurs commet) surables données, toutes les questions de >> ce genre tiennent en quelque sorte le milieu entre les » Problèmes et les Théorèmes . lût ejfet., il ne s'agit pas » là de la construction, ni de la considération purement » théorique de choses cherchées, mais de leur acquisition : » car il faut les présenter à la vue, les mettre sous les » yeux. Tels sont les Porismes composés par Euclide et » qu il a réunis dans ses Livres de Porismes. Mais nous ne » dirons rien ici des Porismes de cette espèce.

» Quant aux Porismes qui se trouvent dans les Éléments » d’Euclide, ils se présentent comme conséquences des » démonstrations d’autres théorèmes, quoiqu’ils n’aient pas » été le sujet de ces démonstrations »

Ce qui suit se rapporte aux corollaires des Éléments d’Euclide.

§ VIII. — Nouvelle définition des l’orismes. — Identité de ces propi sitions, quant à leur forme, avec la plupart des pro|>ositions de. la tiéométrie moderne.

D’après ce qui précède (§ VII, i), les Porismes sont de.

Données qui se rapportent à des propositions où l'on considère une infinité de choses variables suivant une certaine loi, comme dans les propositions locales.

Mais les Données , n étant plus en usage sous leur propre nom, demanderaient elles-mêmes une définition. II sera done plus simple et plus conforme à l'essence des choses de définir directement les Porismes , d’après leur caractère propre et abstraction faite de l’idée primitive de Donnée.

Nous reportant au sens bien défini que nous avons attribué à l’expression de théorème non complet, nous dirons que :

Les Porismes sont des théorèmes non complets, exprimant certaines relations entre des choses variables suivant une toi commune ; relations indiquées dans l'énoncé du Porisme, mais qu’il faut compléter par la détermination, de grandeur ou de position, de certaines choses qui sont la conséquence de l'hypothèse, et qui seraient déterminées dans l’énoncé d’un théorème proprement dit on théorème complet.

S’il ne fallait pas introduire dans la définition des Porismes, pour les distinguer des Données, la condition d’une infinité de choses variables, comme dans les Lieux, on pourrait dire simplement que : Le Porisme est une proposition dans laquelle on énonce une vérité, en affirmant qu’on peut toujours trouver certaines choses qui la complètent.

On ne peut manquer de remarquer que eette forme de théorèmes non complets tend à devenir le caractère le plus général des propositions dans beaucoup de parties des Mathématiques actuelles; qu’il y a donc à cet égard une analogie incontestable, qu’on était loin de soupçonner, entre les Porismes d’F.uclidc et la plupart de uos propositions

modernes. Quelques exemples vont meure celle analogie en parfaite évidence.

Soit cette proposition : Si fort prend sur le diamètre d’un cercle deux points qui divisent ce diamètre harmoniquement, le rapport des distances de chaque point de la circonférence à ces deux points sera constant.

Que l’on dise que ce rapport est donné, ce qui ici signifiera la même chose que constant, on énoncera un Porisme dans le style même d'Euclide.

Pour que la proposition fût un théorème proprement dit, comme ceux que l’on trouve dans les Eléments d’Euclide, dans les Coniques d’Apollonius et dans les ouvrages d’Archimède, il faudrait faire connaître dans l’énoncé même la valeur de ce rapport constant et dire qu’il est égal au rapport des distances des deux points à l’une des extrémités du diamètre sur lequel ces points sont situés (i).

Dans un cercle, F angle sous lequel on voit, du centre, la partie de chaque tangente comprise entre deux tangentes fixes, est constant.

Qu’on dise est donné, ce sera un Porisme.

Mais que l’on dise que cet angle est égal à celui que le rayon mené au point de contact d’une des deux tangentes fixes fait avec la droite menée du centre au point de rencontre de ces deux tangentes, on énoncera un théorème proprement dit ou complet.

Dans l’hyperbole le produit des segments qu’une tangente fait sur les asymptotes est constant .

Qu’on dise est donné, on reconnaîtra aussitôt un Porisme. Mais que l’on dise que ce produit est égal à la somme des carrés des deux demi-axes de la courbe, on énoncera un théorème.

La Géométrie moderne offre une foule d’exemples sem-

(i) V. Géométrie de Legendre; Liv. lll.prop. XXXIV.

blables de théorèmes non complets, qui sont de véritables Porisines selon la conception d’Euclide, sinon en apparence à cause des dill'érences de style, du moins par la nature même de la proposition où P on a à démontrer P existence dune chose annoncée , et à trouver (sans invention) la manière d être, telle que la grandeur ou la position , de cette chose (i).

Ce qui précède nous parait donner une idée bien nette de la doctrine des Porisines, et le véritable mot de cette énigme qui depuis si longtemps occupe les géomètres.

INous y trouvons aussi l’explication d’un point assez embarrassant de l’histoire des Mathématiques : cet ouvrage qui, selon Pappus, renfermait une foule d'aperçus féconds, utiles et presque nécessaires pour la culture de la Géométrie, aurait disparu sans que rien en eût remplacé les théories dans la science, de sorte que de nos jours il y serait absolument étranger.

Bien loin de là : l’ouvrage d’Euclide n’est nullement étranger à nos Mathématiques. Au contraire il semble qu’elles en aient reçu l’influence, je ne dis pas quant à leur origine, le livre était perdu, mais quant à leur forme actuelle; et en réalité nous faisons journellement des Porismes, à notre insu.

Cette forme de nos propositions, que nous pouvons dire non complètes, eu égard aux théorèmes des Anciens, et qui se trouvent ainsi débarrassées de déterminations parfois compliquées et sans utilité, nous paraît être un progrès réel : car la science y trouve un degré de simplicité et d’abstraction qui facilite le raisonnement et la combinaison des vérités mathématiques entre elles.

ut.

En constatant la distinction qu Euclide avait établie entre

vi) Voir la note de la p. i5 ci-dessus.

les théorèmes proprement dits ou théorèmes complets d’une part, et les Données et les Porismes , d’autre part, nous n’entendons pas dire que dans une composition mathématique on ait toujours dû donner à chaque proposition le nom spécial tpi lui était propre à ce point de vue. Nous croyons qu’au temps de Pappus les géomètres et Pappus lui-même négligeaient celte distinction de noms.

En ell'et , d’abord il est à remarquer que Pappus donne le nom commun de théorèmes aux Données , aux Porismes et aux Lieux , dans ses Notices sur ces trois classes de propositions; car il dit que le livre des Données contient 90 tuéorèmes, les trois livres de Porismes 1 y 1, et les deux livres des Lieux plans d’Apollonius 147-

Secondement, on ne trouve dans le recueil étendu des Collections mathématiques aucune proposition sous le titre de Porisme, et je crois même aucune sous celui de Donnée , quoique plusieurs propositions aient pu être regardées les unes comme des Porismes , les autres comme des Données.

Ainsi dans le livre IV, la proposition VII ainsi énoncée : Si les quatre côtés d’un quadrilatère ylBCD sont donnés, et si l'angle B est droit, la diagonale BD est donnée, est incontestablement une proposition appartenant à la classe des Données. Il en est de même des deux propositions VIII et IX du même livre.

Dans le livre VII, la proposition CCXXVIII (qui est un des lemmes relatifs aux septième et huitième livres des Coniques d’Apollonius) appartient aussi à la classe des Données ; car elle porte que : Quand ta somme des carrés de deux lignes et la différence des mêmes carrés sont données, les deux lignes sont données.

Les quatre propositions CCXXXV-CCXXXVIIIdu même livre VII (lemmes relatifs aux Lieux à la surface d’Euclide), sont tout à fait semblables, quant aux énoncés, aux Lieux plans d'Apollonius; elles expriment que le lieu

de tel point variable est une section conique. Ce sont donc des Lieux , conséquemment aussi des Parûmes . La dernière de ces propositions contient la propriété de la Directrice dans les sections coniques, en ces termes : Le. lieu d’un point dont les distances à une droite donnée de position et à un point fixe, sont entre elles dans une raison donnée, est une section conique : parabole si la raison est l'unité, ellipse si elle est plus grande que l’unité, et hyperbole si elle est plus petite.

Ces exemples font voir, comme nous l’avons annoncé, que la distinction qu’Euclide avait établie entre les théorèmes d’une part, et les Données et les Porismes d'autre part, eût-elle été jamais observée dans la pratique, je veux dire dans la culture des Mathématiques, ne l’était plus au temps de Pappus, et que toutes ces propositions pouvaient être confondues indistinctement sous la seule dénomination de théorèmes .

§ IX. — De l’utilité des Porismes pour la résolution des problèmes.

Pappus dit que les Porismes d’Euclide étaient nécessaires pour la résolution des problèmes. Nous avons déjà vu (§11) qu'à raison des matières qui formaient le sujet des trois livres de Porismes, cet ouvrage devait être extrêmement utile pour les progrès généraux de la Géométrie; mais il s’agit ici d’une utilité spéciale pour la résolution des problèmes. Voici comment nous concevons cette utilité.

C’est que la recherche d'un lieu géométrique déterminé par certaines conditions exigeait le secours de quelque Porisme. Car il fallait conclure de ces conditions une autre expression du lieu qui fût déjà connue, et qui par conséquent fit connaître la nature du lieu, sujet de la question. Or c’est le passage d'une expression du lieu à une autre expression qui exigeait un Purisme.

Par exemple, demande-t-on le lieu d’un point dont les distances à deux points fixes soient entre elles dans un rapport donné? On démontrera quV/ existe , c’est-à-dire que l’on peut trouver, (sur la droite qui joint les deux points donnés), deux autres points tels , que les droites menées décès points à chaque point du lieu cherché font entre elles un angle droit. Proposition qui constitue un Porisijie, et de laquelle on conclut que le lieu est un cercle.

Souvent une question de lieu pourra se résoudre par plus d’un Porisme.

Ainsi, dans la question précédente on démontrera, l’hypothèse restant la même, qu’t'/ existe , ou qu’on peut trouver un certain point et une longueur de ligne tels, que la distance de chaque point du lieu à ce point sera égale à cette ligne.

Ce sera là un Porisme. Et l’on en conclura la connaissance complète du lieu cherché.

On voit par cet exemple comment on peut concevoir que toute question de lieu, ou problème local, obligeait de passer par un Porisme.

Cette marche est dans la nature des choses et subsiste dans les Mathématiques modernes : quelque méthode que l’on emploie pour résoudre un problème de lieu , on peut toujours y apercevoir un Porisme.

Il en est ainsi notamment dans le procédé général de solution fondé sur l’analyse de Descartes, qui conduit à une équation finale entre les coordonnées x, y , d’où se conclut le lieu cherché. Car cette équation constitue un véritable Porisme.

En effet, que cette équation, rapportée à deux axes rectangulaires, soit, par exemple,

x ' -f- ax H- y* -4- ly = c :

elle exprime qu’étant pris arbitrairement deux axes rcc-

langulaircs dans le plan de la ligure, un peut déterminer tlcux longueurs de lignes a, 1>, et un espace ou rectangle c, tels, que la somme des carrés des distances de chaque point du lieu aux deux axes , plus les produits de ces distances par les deux lignes a et b, forment une somme égale au rectangle c.

Proposition qui constitue un Porisme à la manière d’Euelide, sauf les expressions modernesqui en abrègent l’énoncé .

Les Anciens n avaient pas une pareille méthode générale à laquelle ils pussent ramener toutes les questions de Lieux. Par conséquent, on conçoit qu’ils ont dû nécessairement chercher à multiplier les expressions différentes de chaque lieu, c’est-à-dire de chaque courbe, y compris aussi les lieux à la droite, et chercher à passer d’une expression à chacune des autres. Ce qui se faisait toujours par un Porisine, comme nous l’avons dit.

Le Traité des Purismes d’Euclide était doue une collection de propositions servant à passer ainsi d’une expression connue d’un lieu à une autre expression du même lieu, et plus généralement servant à passer des conditions connues qui déterminent un système de choses variables assujetties à une loi commune, à d'autres conditions déterminant les mêmes choses variables.

.Nous n’entendons pas dire d’une manière absolue que tel était l'objet de tous les théorèmes d’Euclide sans exception, mais seulement que tel était leur caractère général et le but qu’Euclide s’était proposé en ajoutant au Traité des Données celui des Porismes, comme second complément des Éléments et provision de ressources pour la culture de la Géométrie supérieure, et spécialement pour la résolution des problèmes.

Quant aux lieux, Euclide n a traité, dans scs trois livres de Porismes, que de la droite et du cercle, ainsi que le dit Pappus, et comme le prouvent ses 38 Leinmes qui ne

( tit )

se rapportent qu'à des figures rectilignes et au cercle. Et quant à ceux des Porismcs qui ne concernent pas des propositions locales proprement dites, on voit par plusieurs énoncés de Pappus, dont il suffit de citer celui-ci, du I"' Livre : « Telle droite passe par un point donné » et les trois derniers du III e Livre, qu’il y en avait, même de très-variés, dans l'ouvrage d’Euclide. Notre restitution de ces trois livres en comprend aussi un assez grand nombre.

g X. — Observations et éclaircissements préliminaires au sujet des XXIX genres de Porismes décrits par Pappus. — Ordre qu'on suivra dans le rétablissement des trois Livres d'Euclide.

L’ouvrage d’Euclide était en trois livres et contenait 171 théorèmes.

Pappus comprend ces 17 1 Porismes sous XXIX énoncés qu’il appelle genres, dont i 5 appartiennent au I er livre, 6 au II e et 8 au III e . 11 ajoute que les i 5 genres du I er livre se retrouvent dans le II" avec les fi propres à ce livre: et de même, que ces 21 genres entrent dans le III e livre avec les 8 nouveaux. Il dit que la plupart des Porismes de ce III e li vre se rapportent au demi-cercle, et quelques-uns au cercle et aux segments. Ce qui indique que les deux premiers livres ne roulent que sur les figures rectilignes.

Dans chacun des XXIX énoncés, hormis le premier qui forme une proposition complète, Pappus ne décrit que les choses cherchées, en omettant les hypothèses qui, dans l’ouvrage d’Euclide , donnaient lieu aux propositions. Ce sont ces choses cherchées qui constituent les genres. Ainsi il dit : « Voici les genres des choses cherchées dans les pro- » positions du I er livre. »

11 a dit plus haut : « Ce n’est pas par les différences des » hypothèses qu’il faut distinguer les Porismes, mais par

( fa ' 2 )

» les différences des résultats ou des choses cherchées. » De sorte que chaque genre s'applique à des hypothèses qui peuvent être très-variées. C’est ainsi que les XXIX genres résument les 171 théorèmes que contenait le traité des Porismes.

Il est à remarquer que Pappus a fait du livre des Données d’Euclide une analyse assez semblable, dans laquelle il décrit, en termes encore plus généraux que pour les Porismes, le caractère des différents groupes de propositions : il indique le nombre des propositions de chaque groupe, mais sans faire connaître aucune proposition en particulier. Celte analyse aurait pu servir à rétablir conjecturalement les quatre-vingt-dix propositions du livre des Données , si cet ouvrage ne nous était pas parvenu. Il est à regretter que Pappus n’ait pas complété son analyse des Porismes en y ajoutant, comme pour les Données, le nombre des propositions de chaque genre.

Les Porismes, dont nous rappelons ici le caractère essentiel, sont des propositions dans lesquelles il y a certaines choses variables, comme dans les propositions locales ; et c’est une relation entre ces choses variables (points, lignes, segments, etc.) et les choses constantes qui constitue les propositions.

Prenonsquelqucs exemples des genresdécrits par Pappus.

Tel point est situé sur une droite donnée de position.

Cela signifie qu’un point variable a pour lieu géométrique une droite dont la position est déterminée en vertu de l’hypothcsc ou des données dé la question.

On peut croire que cet énoncé comprend toutes les propositions de lieux qui se trouvaient dans les trois livres d’Euclide ^car ces lieux ne pouvaient être qu’à la droite et au cercle ; et l'on ne trouve pas dans les huit genres spéciaux au III e livre ui dans aucun de ceux qui les précèdent, un seul énoncé qui exprime un lieu au cercle, tel

que le lieu à la droite ci-dessus. 11 faut en conclure que les Porisnies relatifs au cercle dans l’ouvrage d’Euclide exprimaient des propriétés communes à tous les points de la circonférence, isans avoir la forme d énoncé d’un lieu proprement dit. '■ «JL'jt tJ ljl 4 n ...Ct.W , ‘ t V

Nous devrons nOtra-Tonformcr à cette Indication.

Telle droite passe par un point donné.

Il s’agit d’un système de droites assujetties à une môme loi et qui passent toutes par un même point donné virtuellement, c’est-à-dire dont la position est une conséquence des conditions de la question.

Ce genre comprendra un assez grand nombre de Porisnies différents, qui se trouveront indistinctement dans les trois livres.

Telle droite est donnée de position.

Il s’agit d’une droite qui n’est pas considérée comme lieu d’un point, et qui satisfait à certaines conditions concernant des choses variables. Par exemple, ce sera une droite sur laquelle certains angles intercepteront des seg- • ments égaux, ou une droite avec laquelle coïncideront les diagonales de certaines figures, etc.

Ces genres de Porismes, que nous venons de citer, sont très-simples, et les choses cherchées y sont indiquées explicitement. Mais dans d autres questions les choses cherchées sont multiples et peuvent n’être pas toutes indiquées explicitement, quelques-unes restant sous-entendues. Alors il peut y avoir incertitude et l’énoncé pourra s’entendre de plusieurs manières.

Prenons celui-ci, qui forme le XV e genre :

Telle droite fait sur deux autres droites - données de position des segments dont le rectangle est donné.

Il s’agit d’une droite variable de position qui forme sur deux droites fixes deux segments dont le rectangle est constant; la valeur de ce rectangle est donnée virtuellement,

CAa t* c ..

c’est-à-dire quelle csl une conséquence de 1 hypothèse, qu il faut déterminer.

L’énoncé est susceptible d’un autre sens. On peut supposer que les origines des deux segments sont deux points donnés de fait, et que les données virtuelles, c'est-à-dire les choses que l’on a à trouver, sont les directions des deux droites fixes menées par ces points, et la valeur du rectangle constant.

On voit par cet exemple comment un même énoncé pourra se prêter à plusieurs interprétations différentes qui produiront ainsi une sorte de subdivision des genres des Purismes.

Nous grouperons ensemble, dans chaque livre, les Porismes d’un même genre, |>our mettre un certain ordre dans un si grand nombre de propositions si diverses, et faciliter le jugement que l’on portera sur ce travail de rétablissement. Mais nous n’avons pas de raison de penser qu’Euclide se fût assujetti à cet ordre d’une manière rigoureuse, car il n’aurait pu l’observer tout au plus qu’à l’égard des propositions d’un même livre , puisque les genres du 1 er Livre se retrouvent dans le II r , et ceux du 1" et du IL dans le III e .

Pour quelques propositions seulement nous nous sommes écarté de l’ordre que nous venons de tracer. Nous les avons placées à la fin du III e livre : ce qui simplifie la démonstration. Car elles sont ainsi précédées par certaines autres dont elles pouvaient se conclure aisément.

Nous nous renfermerons strictement dans les énoncés de Pappus, c’est-à-dire dans les XXIX genres qu’il a décrits. C'est pour cela qu’on ne trouvera pas dans notre restitution des trois livres d’Euclide de lieux au cercle qui pourraient pourtant se présenter eu grand nombre dans un Traité des

Porismes. Toutefois, les propriétés du cercle, que dans (^autres circonstances on exprimerait par des propositions de lieux proprement dites, entreront sous des énoncés différents et toujours conformes aux genres décrits par Pappus, dans notre III e livre, où elles seront assez nombreuses.

Les dix Porismes qui forment les dix cas de la proposition des quatre droites sont du genre des lieux à la droite : cependant, comme Pappus dit qu’ils se trouvent au commencement du I er Livre, et qu’il en parle d’une manière particulière, nous les avons placés les premiers et en quelque sorte hors ligne, sans les comprendre dans le genre des lieux à la droite, qui n’est décrit que le second.

Le genre décrit le premier par Pappus est le Porisme énoncé d’une manière complète, où il s’agit de trouver une droite et sur cette droite un point qui sera l’origine de segments en rapport donné avec d’autres segments.

On pourrait, à la rigueur, rattacher ce Porisme au V* genre énoncé ainsi : Telle droite est donnée déposition. La recherche du point fixe sur cette droite serait une condition implicite, comme nous l’avons dit ci-dessus. Mais sans nous arrêter à l’incertitude qui peut naître ici, et pour nous conformer strictement au texte de Pappus, nous regarderons le Porisme dont il s’agit, comme formant le I er genre du I er Livre. Pappus, en reproduisant par exception cet énoncé tout entier, peut avoir eu l’intention de donner un exemple tant de la forme la plus commune que du caractère et de la nature des Porismes. Car celui-ci nous paraît être, à certains égards, comme nous l’expliquerons tout à l’heure, une sorte de type de nombreuses propositions des trois Livres.

Simson a pensé que ce Porisme était le premier (i)

(1) Il l’intitule : Prop. XXIII. Quæ est Porisma I Lib. J Porismatum Euclidis. ( Opéra quœdam reliqua, etc,, p. /jOO.)

du 1" Livre. ÎNous croyons, an contraire, que les premiers Porismes dans l'ouvrage d’Euclidc étaient les dix cas de ^ proposition des quatre droites. Plusieurs raisons nous semblent l'indiquer. D’une part, Pappus dit, comme nous l’avons déjà fait observer plus haut, qu’Euclide a placé ces propositions « au commencement du 1°' Livre ». Il est vrai que le premier des XV genres qui résument les nombreux Purismes de ee livre comporte des propositions dill'érentes; mais Pappus ne dit pas que ce I rr genre renferme précisément le premier Purisme. De sorte que ce passage u’intirmr pas celui qui le précède et qui serait formel, si le texte où se lit le mot « commencement » n’offrait une lacune.

Mais, d’autre part, et indépendamment de ce motif, une raison tirée des Lcmmes de Pappus relatifs aux Porismes nous a paru tout à fait décisive.

Pappus présente le premier Lemme comme s'appliquant au premier Purisme, et le second Lemme au second Porisme, et il n’y a plus de mention semblable pour aucun des autres Lcmmes. Or ces deux Lcmmes conviennent si naturellement à deux cas de la proposition des quatre droites, qu’on peut dire qu'ils en sont l’expression immédiate. De plus, il en est de même des cinq Lem mes qui suivent les deux premiers : c" est-à-dire qu’on en conclut aussi immédiatement cinq autres cas de la même proposition. Les trois cas qui complètent les dix se démontrent sans le secours d’aucun Lemme avec une très-grande facilité. Nous ajouterons que les Lcmmes qui viennent après ces sept premiers trouvent leur emploi naturel pour la démonstration des Porismes appartenant aux genres successifs du P r Livre; et enfin, que ces sept premiers Lemtnes, desquels nous déduisons sept cas de la proposition des quatre droites, n’ont pour la plupart, les deux premiers notamment, aucun usage dans les démonstrations des autres Porismes.

Il semble donc résulter, avec quelque certitude, de ces

f fro J

raisons toutes concordantes, que les dix cas de la proposition des quatre droites formaient les premiers Porismes dans l’ouvrage d’Euclide.

§ XI. — Anâlyse des XXIX genres de Porismes. — Expression algébrique des genres quicomportentdes relations de segments. — Autres genres qui se rapportent aux mêmes matières.

Le Porismequi constitue le I fr genre, et dont la description est suffisamment complète, peut être regardé comme une espèce de type commun à nombre d’ énoncés de Porismes. Mais c’est seulement à plusieurs égards, comme nous l’avons dit; et il ne s’agit que de certaines circonstances de l’hypothèse, qui peuvent se répéter dans difl’érents genres. Il est en effet très-facile de voir qu’on satisfait à la plupart des genres par des propositions dont les hypothèses variées contiennent cependant des éléments semblables, savoir: Deux droites qui tournent autour de deux points fixes en se coupant toujours sur une droite donnée de position, et qui font sur deux autres droites fixes, ou sur une seule, deux segments quiont entre eux une certaine relation constante.

Ce seront les différences entre ces relations constantes qui donneront lieu aux différents genres.

Mais le II 6 Livre présente un caractère spécial : c’est que parmi les six genres qui s’y rapportent, il y en a quatre au moins dans lesquels les segments considérés sont nécessairement formés sur une seule droite : pour les deux autres genres ces segments peuvent être formés indifféremment sur une seule ou sur deux droites; tandis que dans les genres du I er Livre, hormis deux ou trois peut-être, les segments paraissent être formés toujours sur deux droites.

Sans nul doute les relations générales entre les segments formés sur deux droites ont lieu de même sur une seule droite, puisqu’on peut supposer que les deux droites, qui

(1 ordinaire sont données à priori comme faisant partie de l’hypothèse, soient coïncidentes. Mais ce cas particulier donne lieu à de nouvelles relations, d'une autre forme, dans lesquelles entre le segment compris entre les deux points variables. Or ce sont res relations spéciales qui nous paraissent faire le caractère propre de quatre des six genres attribués par Pappus au IP Livre.

Dans le III" Livre on a encore à considérer, dans beaucoup de propositions, deux droites tournant autour de deux points fixes et formant, soit sur deux droites soit sur une seule, des segments entre lesquels il existe des relations semblables à celles des deux premiers Livres. Mais ces relations ont lien dans le cercle: les deux points fixes sont pris sur la circonférence même, et les deux droites qui tournent autour de ces points se coupent sur cette circonférence, au lieu de se couper sur une droite, comme dans les deux premiers Livres. Il y a en outre, dans ce 111" Livre, divers autres genres relatifs au cercle.

Presque toutes les relations de segments, sinon toutes, des deux premiers Livres, sont de celles qui expriment que deux points variables sur deux droites ou sur uue seule forment deux divisions liomogvapliiques. Ces relations sont des équations à deux, a trois, à quatre ou à cinq termes.

Pour qu’on en juge, nous allons présenter un tableau des XXIX genres décrits par Pappus, en fixant par une équation le sens que nous attribuons à chaque énoncé où entre une relation de segments.

Clflnrfls.

A ni A' m

1" Livre.

0) I,cs lettres ni, M, p> }>' désignent dans les formules qui vont

Genres.