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» ri s mes : La différence de deux cubes est égale à la » somme île deux autres cubes. »'

Ces propositions ne sont pas les seules de leur genre que renferme l’ouvrage de Diophante; on en trouve de semblables dans diverses autres Questions, sans que l'auteur annonce qu elles soient prises du Recueil des Porismes.

Par exemple :

u Le produit des carrés de deux nombres consécutifs, » plus la somme de ces deux carrés, fait un nombre carré » (Question XVII du Li vre ni). C’est le premier cas de la proposition citée comme Porisme dans la Question Y .

» Si un uoinbre est le quadruple moins i d'un autre, » celui-ci, plus le produit des deux nombres, fait un carré » (Question XX du môme IJ vre).

» Le carré de la différence de deux nombres, plus le quart druple de leur produit, est un carré (Question XX du » Livre IN ).

« Tout nombre triangulaire multiplié par 8 et augmenté » de l’unité fait un carré (Question XLIV du même Livre).

» Deux nombres dont l’un est double de l’autre étant » donnés. le double de leur produit est un carré, et ce dou- » ble produit moins la différence des carrés des deux nom- » bres forme aussi un carré (Question XII du LivreVI). »

Ainsi, nous pouvons dire qu'il existait au temps de Diophante, outre ses célèbres Questions arithmétiques , dont il ne nous reste que six livres sur douze, un autre ouvrage sur le même sujet, recueil de propositions sur la théorie des nombres, que Diophante appelle Porismes ; que ces propositions étaient des théorèmes non complets, dans lesquels il restait à trouver l’expression ou la valeur des choses annoncées, comme dans les Données; que, puisque Diophante les appelle Porismes, on est induit à penser que, sans être les mêmes que les Porismes géométriques d’F.uclide, ils appartenaient au même genre de proposi-

tions, ayant les uns et les autres le même caractère propre; que les Poristnes d’Euclide étaient donc aussi des théorèmes non complets et semblables dans leur forme aux Données, ainsi que nous pensons l’avoir déjà prouvé par d’autres considérations.

En résumé, les passages de Diophante nous paraissent fournir un nouvel argument en faveur de notre système sur la doctrine des Porismes (i).

V. — Propositions du Traité des Connues géométriques de Hassan ben Haithem conformes aux Porismes.

Proposition XVIII. Lorsque deux cercles connus de grandeur et de position sont tangents, et que l'un est dans F intérieur de l'autre , si l'on mène une droite qui coupe les deux cercles d’une manière quelconque, le produit des segments Jaits par un point du petit cercle sur la partie de cette droite comprise dans le grand cercle est au carré de la droite menée du point du petit cercle au point de tangence des deux cercles, dans un rapport connu.

Proposition XIX. Lorsque deux cercles connus sont tangents et que l’un est dans l’intérieur de l’autre, si l'on mène au petit cercle une tangente dont l’extrémité ( autre que le point de tangence) soit à la circonférence du grand cercle, et qu’on joigne par une ligne droite cette extrémité au point de tangence des deux cercles, le rap-

(i) On sait que les Arabes ont travaillé sur l'analyse indéterminée d'après Diophante, dont ils ont traduit et commenté les Questions arithmétiques. On doit croire qu’ils ont aussi connu le Recueil de Porismes, qu’il fût de Diophante lui- même ou d’un outre auteur grec. Il est donc permis de penser qu’on pourra retrouver un jour quelques traces de cet ouvrage. Nous serions heureux que l’espoir d’une découverte aussi précieuse, aussi importante pour l’histoire des mathématiques, pût faire entreprendre quelques recherches dans les manuscrits arabes, recherches qui, du reste, conduiraient infailliblement à beaucoup d’autres découvertes.

port île celle dernière ligne à lu languit le est un rapport connu.

Proposition XXI. Lorsque deux cercles connus sont tangents el que t un des deux est dans F intérieur île F autre, si l'on mène du point de tangence le diamètre commun aux deux cercles, et que par le point oit ce diamètre coupe le petit on mène une droite qui coupe le petit cercle en un second point , cette droite ( terminée au grand cercle) sera divisée , en ce point , en deux parties telles, que le produit de ces deux parties plus un cane (connu) sera au cairc de la partie comprise dans le petit cercle, dans un rapport connu.

Proposition XXII. Lorsque dans un cercle connu de grandeur et de position on mène un diamètre connu déposition el que sur ce diamètre on prend deux points également éloignés du centre , si de ces points on mène deux lignes qui se rencontrent en un point de la circonférence du cercle, la somme des carrés de ces deux lignes sera connue.