XXV. Om = p.D
XXVI ( Act w ^ Divisions homographi-
ques sur une droite.
XXVII. Un point duquel on peut mener deux droites (variables) qui comprennent un triangle donné d’espèce.
Genres.
XXVIII. Un point d’où partent doux droites (variables) qui interceptent des arcs égaux.
XXIX. Un point par où passe une droite faisant avec telle autre un angle donné.
On remarquera qu’indépendainment du I er genre dont nous avons fait ressortir le caractère, quatre genres, III,
IV, VII, VIII, semblent exprimer une même chose, savoir, que le rapport de deux lignes est constant. On pourrait donc croire au premier abord qu’il y a ici confusion, par suite de quelque erreur dans le texte. Mais il existe des différences notables dans les expressions de Pappus, et‘ il a eu certainement en vue des propositions qui ne sont pas identiques, notamment quant aux choses que l’on cherche.
Ainsi nous pensons que, dans le III e genre, ou considère des segments dont les origines sont connues, et que l’on a simplement à démontrer la constance du rapport entre les deux segments variables, et à trouver la valeur de ce rapport; que dans le VII e , qui semble avoir la même équation, une seule origine est donnée, et que les choses cher- « dhées sont la seconde origine et la valeur du rapport constant.
Le IV e genre diffère de ces deux-là, en ce qu’on n’y considère qu’un segment compté à partir d’un point fixe, et que l’autre segment est l’abscisse comprise entre les deux points variables.
Dans le VIII e genre, l’une des deux droites variables dont le rapport est constant n’est pas un segment compté sur une droite fixe, mais bien une oblique ou un»! perpendiculaire abaissée d'un point variable sur une droite donnée de position.
Ces quatre genres sont donc différents. Ils embrassent, dans leurs applications, une foule de propositions relatives aux points homologues de deux droites divisées en parties proportionnelles. Ils donnent lieu aussi à différents autres
Porismes dans lesquels les, deux lignes qui sonl en rapport constant, partent de deux points ou d’un seul dans des directions variables : par exemple, ce serout, dans le III' Livre, deux droites qui aboutissent à chaque point d’une circonférence de cercle.
III. — Autres genres qui ne se trouvent pas dans les Porismes d'Euclide.
Nous venons de voir que la plupart des relations de segments qui font le sujet d’un grand nombre de3 Porismes d’Euclide expriment que deux séries de points sur deux droites, ou sur une seule, forment deux divisions homographiques.
Il existe plusieurs autres relations par lesquelles on représente les mêmes divisions et qui par conséquent auraient pu se trouver dans l’ouvrage grec.
D’abord l’équation
(i-(-).Àm
dans laquelle a est une ligne donnée, de fait ou virtuellement, exprime deux divisions en parties proportionnelles, sur deux droites ou sur une seule, et donne lieu à d’assez nombreux Porismes.
Ensuite quatre autres exprimeront chacune deux divisions homographiques générales, faites sur deux droites ou sur une seule :
(a X. Am) B'/n' v
“.Am.B'n/+ S.Bm.C'm'
(A/n -+- B/n) Cm'
Cm
Les deux suivantes résultent de deux divisions faites sur
une même droite, comme l’indique le segment mm' :
mm 1
(o 4- > . Am) B' ni'
Ces diverses équations donneraient lieu, si l’on voulait, à des Porismes qui, par la nature des matières, feraient suite aux trois Livres d’Euclide.
Tous ces Porismes sont très-propres à faire le sujet d’exercices pour les jeunes géomètres, d’autant plus qu’ils appartiennent aux théories qui formeut les bases de la géométrie moderne. Euclide n’a traité que de la ligne droite et du cercle; mais la plupart de ses Porismes s’étendent avec la même facilité à la théorie des sections coniques (1) et à des spéculations ultérieures.
On ne peut se refuser, je crois, à reconnaître ici combien Pappus avait raison de dire que l’ouvrage d’Euclide renfermait les germes d’une foule de choses d’une invention ingénieuse et d’une étude agréable et nécessaire.
§ XII. — Analyse des XXXVHI Lcmmes de Pappus relatifs aux Porismes (a). — Corollaires des Lenunes III et XI.
Les XXXVIII Lemmes de Pappus se peuvent classer eu
(1) Après avoir donné, dans Y Aperçu historique (p. 279), deux Porismes généraux qui comprennent parmi leurs conséquences multiples un trèsgrand nombre de Porismes d’Euclide sur les figures rectilignes, j’ai fait voir qu’il existe aussi dans la théorie des coniques, et du cercle par suite, deux propositions toutes semblables, qui constituent les propriétés les plus fécondes de ces courbes. ( Aperçu ; Notes XV et XVI; p. 334—344- )
(2) Nous donnerons plus loin, dans le § XIV, les énoncés de ces Lemmes, que le lecteur aura souvent à consulter. Nous n’y joignons pas les démonstrations faciles de Pappus. On les trouvera, accompagnées des Commentaires de Commandin, dans ses deux éditions des C ollections mathématiques. Simson les a aussi données, avec quelques éclaircissements, dans son Traité des Porismes: mais ce géomètre a placé les XXXVIIl Lemmes dans un ordre tout différent de celui de Pappus, et sans s’astreindre toujours à reproduire le texte exact des énoncés originaux qu’il généralise parfois.
trois categories : 23 sont relatifs à des figures rectilignes ;
7 se rattachent au rapport harmonique de quatre points, et
8 concernent le cercle.
Des 23 Lernmes relatifs à des figures rectilignes, 6 ont pour objet le quadrilatère coupé par une transversale;
6 l’égalité des rapports anharmoniques de deux systèmes de quatre points qui proviennent des intersections de quatre droites issues d'un même point, par deux autres droites; 4 peuvent être considérés comme exprimant une propriété de l’hexagone inscrit à deux droites; 2 donnent le rapport des aires de deux triangles qui ont deux angles égaux ou supplémentaires; 4 autres se rapportent à certains systèmes de droites que nous définirons plus loin ; et enfin le dernier est un cas du problème de la section de F espace.
Nous allons essayer de faire connaître dans l’analyse suivante le caractère particulier de chacun de ces XXXVIII Lcmmes, qui tous, plus ou moins, nous seront utiles. . *
Les Lemmcs I, II, IV ; , V', VI et VII (propositions 127, 128, i 3 o, 1 3 1 , i 32 et 1 33 du VII 0 Livres des Collections mathématiques de Pappus), qui ont pour objet le quadrilatère coupé par une transversale, contiennent chacun une relation entre les segments que les quatre côtés et les deux diagonales du quadrilatère forment sur celte transversale considérée dans des positions dilfércntes.
Dans le Lemuie IV’ (proposition i 3 o), la transversale
a une position quelconque, et la relation démontrée par
Pappus est une des équations à six segments par lesquelles on exprime l'involution de six points. Soient a, a' \ b, b et c, c' , les points dans lesquels la transversale rencontre les couples de côtés opposés et les diagonales du quadrilatère. La relation est
ab .b' c ca , ,
a' b' .bc' c'a '
Les Leinmes I, II, V et VI sont des cas particuliers de cette proposition générale.
Dans le I er et le 11 “ , la transversale est parallèle à un côté du quadrilatère.
Dans le V*, la transversale passe par les points de concours des côtés opposés, et la proposition revient à celle-ci : les deux diagonales divisent en parties proportionnelles la droite qui joint les points de concours des côtés opposés.
Le Lemme VI peut être considéré comme un cas particulier du V e , la droite qui joint les points de concours des côtés opposés est parallèle à une diagonale.
Enfin, dans le Lemme VII, la transversale passe par un seul point de concours des côtés opposés, et est parallèle à une diagonale. La relation démontrée est un cas particulier des relations d’involution à huit segments, savoir :
ca = cb. cb' .
Les Leinmes III, X, XI, XIV, XV'I et XIX (propositions 129, i 36 , i 3 y, 140, 142, i 45 ) sont ceux qui établis- 'sentl’égalitédes rapports an/tarmoniques que quatredroites issues d'un même point déterminent sur deux droites transversales : mais il faut supposer que ces deux transversales partent d’un même point de l’une des quatre droites. En réalité, on considère trois droites concourantes en un même point, coupées eu deux systèmes de trois points a, ô, c.
(1) V. Géom. sup. t art. 184 et 339 -
et al . b , c', |>ar deux transversales menées <1 un point quelconquc P. Il existe entre les segments formés sur les deux transversales l’équation
Pn a ba P a’ ' b’a' Pa.bc P a'.b'c'
Pc ' bc Pc' ' b’ r' " Pc. ab P r'.rt'ê'’
que Pappus énonce ainsi : Le rectangle Va.bc est au rec-
tangle Pc. ab, c omme le rectangle Pa'.&'c' est au rectangle Vc’.a’b'.
C’est là le Lemine III.
Le Lemme X (proposition i36) eu est la réciproque. 11 prouve que quand l'équation a lieu, les deux points c, c' sont en ligne droite avec le point de rencontre des deux droites aa ' , bb'\ ou que les trois droites aa' . bb', ce' concourent en un même point.
Le I .crame X\ I (proposition 1 4 a) est le même que le X% démontré différemment.
Le Lemme XI (proposition i3j) est un cas particulier du
IH*' - L’une des transversales est parallèle à l'une des trois droites, et l’équation devient
P a P«' . Pc' P a'.b'c 1 Pyi
ba b' a' ' b'c' ° U Pc' .b' a' ba
Le Lemme XIV (proposition i4°) est la réciproque de celui-là : il exprime que quand l'équation précédente a lieu, les deux droites aa', bb' et la parallèle à Paè, menée par le point c', concourent en un même point.
Enfin, le Lemme XIX (proposition i 45) est encore un cas particulier du Lemme III. Quand trois droites issues d’un même point sont coupées par deux autres, menées par un point P, en a, b, c et a', b\ c\ si l’on a P a Pc
, ba bc'
.. , . Va' Pc'
il s ensuit q ue 6V -
Les quatre Lemmes XII, XIII, XV et XVII (propositions i38, 139 , i4i, i 43) peuvent être considérés comme exprimant la propriété de l’hexagone inscrit à deux droites, savoir que, quand les sommets d’un hexagone sont situés trois à trois sur deux droites, les points de concours des côtés opposés sont en ligne droite.
Dans les Lemmes XII et XV, les deux droites sont parallèles, et dans les Lemmes XIII et X^ II elles ont une direction quelconque.
Il est à remarquer qu’ici, dans les démonstrations, Pnppus se sert des Lemmes III, X, XI et XIV, c'est-à-dire de la proposition de l’égalité des rapports anharmoniques des deux systèmes de quatre points déterminés sur deux droites par trois autres droites issues d’un même point : savoir, des Lemmes XI et X pour le Lemme XII; des Lemmes III èt X pour le Lemme XIII; des Lemmes XI, III et XIV pour le Lemme XV , et enfin des Lemmes III et XVI pour le Lemme XVII.
Les Lemmes XX et XXI (propositions 146 et 147 ) disent que quand deux triangles ont deux angles égaux ou supplémentaires, leurs surfaces sont dans le même rapport que les rectangles des côtés qui comprennent ces angles.
Le Lemme VIII (proposition i34)a un énoncé très-bref, qui en laisse difficilement apereevoir le sens; cependant on reconnaît qu’il peut signifier que :
Quand deux angles ont leurs côtés parallèles deux à deux, si par le sommet de chacun d'eux on mène une droite quelconque qui coupe lès deux côtés de l'autre, les quatre points d' intersection sont deux à deux sur deux droites parallèles.
Cela est un cas particulier d’une propriété relative à deux angles quelconques, qu’on peut aussi envisager d’un autre point de vue, et énoncer de cette manière :
Si par les points de concours des côtés opposés d'un quadrilatère on mène deux droites quelconques qui rencontrent les quatre côtés en quatre points, ces points sont deux à deux sur quatre autres droites qui se coupent deux à deux sur les deux diagonales du quadrilatère (i).
Le Lerniue IX (proposition ■ 35 ) peut exprimer que:
Si par les sommets d' un trapèze on mène quatre droites concourantes ni un même point, et par le point de rencontre S des deux cotés non parallèles une transversale parallèle aux deux autres côtés, laquelle rencontre les quatre droites en quatre points, le produit des distances du point S à deux de ces points est égal au produit des distances du même point S aux deux autres points.
C'est-à-dire que les quatre points déterminent une involulion dont le point S est le point central ( 2 ).
Cette proposition est un cas particulier d’une propriété d’un quadrilatère quelconque, savoir, que: *
Les trois couples de droites menées d’un même point aux sommets opposés et aux points de concours des côtés opposés d’un quadrilatère sont en involulion (3).
(1) V. Gâom. sup., art. ^04.
(a) Ibid., p. i3g.
(S) Ibid., p. 2ijg.
On peut voir dans le Leminc XVIII un lieu à lu droite, construit dans un triangle. Pappus emploie dans la démonstration les Lemmes X, XI et XVI.
Le Lemme XXXII (proposition i 58 ) concerne deux triangles qui ont un angle commun. Le côté de l’un, opposé à cet angle, fait sur le côté de l’autre, aussi opposé à l’angle commun, et sur la droite qui va du sommet au milieu de ce côté, des segments qui ont entre eux une certaine relation.
Le Lemme XXXVIII et dernier (proposition 164), qui est aussi le dernier des 23 Lemmes consacrés aux figures rectilignes, est un problème. Il s’agit, dans un parallélogramme, de mener par un point donné sur un côté une droite qui forme avec deux autres côtés un triangle demême surface que le parallélogramme.
Nous arrivons aux sept Lemmes XXII, XXIII, XXIV’, XXV, XXVI, XXVII, XXXIV (propositions 148 à . 5 7 et 160) qui se rattachent au rapport harmonique de quatre points. Ils ont pour but de déduire les unes des autres certaines relations qui appartiennent à ces quatre points situés sur une même droite. Une relation étant donnée, 011 en conclut une autre. Mais ces relations n’ont pas lieu précisément entre les quatre points, car, hormis une seule, il y entre toujours le point milieu de deux points conjugués, qui remplace l’un des deux points.
Ces sept Leinmes 11’en fout en réalité que quatre, parce • que trois sont les mêmes que trois autres, n’en différant que par la position relative des points donnés.
Appelons a , a' et e,y'les deux systèmes de points conjugués, qui sont en rapport harmonique, a le milieu du segmcul ua' et O le milieu de ef\ nous exprimerons les sept Lemmes brièvement ainsi :
Lemmes XXII et XXIV’. Si l’on a ae =20 a.ea., il s’ensuit
Lemmes XXIII et XXV. Si Oa.Oa'=Oe , il s'ensuit ea.ea' = îeO.ea, en' =Oa'. 2 ex, ca — Ort.aea.
Lemmes XXVI et XX VII. Si = =, , il s’ensuit
Oa.Oa' = Oc.
Leiniue XXXIV. Si = 7 -,* il s'ensuit fa fa
ae. aj = ej.ea = ca.en' , fa. fa' —fa .fe.
Enfin les huit Lemmes qui conrement le cercle sont les XX\ III , XXIX, XXX, XXXI, XKXIII, XXXV, XXX> I et XXXVII (propositions i54-i37, 1:19 et i6i-i63).
Du Lemme XXMII (proposition i54) il résulte que si d’un point P on mène deux tangentes à un cercle, et une transversale quelconque qui rencontre le cercle en deux points a, a' et la corde de contact en un point or, ce point et le point P divisent en parties proportionnelles le segment aa\ c’est-à-dire que l’on a
P a aa
Pu' = ïâT''
Dans le Lemme XXXV (proposition 161) le point P est intérieur au cercle; on démontre que le lieu du point a, déterminé par cette même proportion, est une droite.
Ces deux propositions, qui n’en font réellement qu’une, renferment, on le voit, la propriété principale de la théorie des pôles et polaires dans le cercle.
Le Lemme XXIX (proposition i55)cst unproblètne. On demande d’inscrire dans un segment de cercle ACB deux
cordes AC, CB qui soient dans un rapport donné -J. La so-
lulion se réduit à faire voir que la tangente au pointC rencontre la corde AB en un point D, pour lequel on a
DA cT
