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Le Lemme XXX (proposition t56) démontre que les droites menées des extrémités d’une corde à un point de la circonférence divisent harmoniquement le diamètre perpendiculaire à cette corde.

D’après le Lemme XXXI (proposition 167 ), si d’un point P donné sur le diamètre AB d’un cercle, on mène une droite à un point de la circonférence, et par ce point une corde perpendiculaire à cette droite, cette corde intercepte sur les tangentes aux extrémités du diamètre AB deux segments A ni, B ni', dont le rectangle est égal au rectangle constant PA. PB.

Le Lemme XXXIII (proposition i5q) exprime qu’un point P étant donné sur le diamètre AB d’un cercle, si l’on prend sur lcprolongementdu diamètre le point Q tel, qu’on

ait QA .QB=QP, et que par ce point on élève la perpendiculaire au diamètre, toute droite menée par le point P rencontre le cercle en deux points et la perpendiculaire en un troisième point tel, que le carré de sa distance au point P est égal au rectangle de ses distances aux deux points du cercle.

Le dernier de ces huit Lemmes relatifs au cercle, le Lemme XXXVI, 11 ’a d’autre but que cette vérité élémentaire : Quand une corde d’un cercle est parallèle à un diamètre, 'les pieds des perpendiculaires abaissées des extrémités de la corde sur le diamètre sont à égale distance des extrémités du diamètre.

Corollaires îles I/mmcs 111 <*l XI.

ISous placerons ici trois corollaires immédiats des Lemmes III et XI. Formulés une fois pour toutes, ces corollaires évidents rendront inutile la répétition du court raisonnement qu'on pourrait faire directement sur les Lemmcs. Nous les invoquerons sans autre explication, et nous abrégerons par là les démonstrations dans le cours de notre long travail.

Le Lemme III, dont le XP n’est qu’un cas particulier, est certainement la proposition la plus importante de toute cette vaste théorie des Porismes d’F.uelide, ainsi que nous avons eu occasion de le dire il v a longtemps, en présentant une courte analyse du ^ II' Livre des Collections mathématiques de Pappus, dans Y si perçu historique ( t ).

Corollaire I. Quand quatre droites A, B, C, D concourantes en un même point S sont coupées par deux autres quelconques dans les deux séries de points a, b, c, d et a 1 , V, d, d', o/i a l'équation

ne hc nd ’ bd

a’ d # b' c’ ae.bd a' d .b' d'

d d' " b' d'' ad.be a'd'.b'd

En effet, cpie par le point a on mène une parallèle à la droite a'h' \ elle rencontre les droites B. C, D en b'\ d\ d ", et l’on a, d’après le Lennnc III,

ae.bd ne" . b"d"

, ail.be nd" .b" c"

(r) Aperçu, etc., p. 33-35 et 38-3g. « Ici sc présente naturellement une " observation qui pourra justifier l’importance que nous avons déjà cherché * à donner à la proposition 129 de Pappus et h la notion du rapport anhor-

» momqur Kn prenant la proposition dont il s'agit pour point de dë-

" P a rt dans un essai do divination des l’orismes, nous avons obtenu divers ” théorèmes qui nous ont paru répondre aux énoncés en question. • — Voir aussi la note (3) do la page 1 1 ci-dessus.

Mais les segments ac " , b”d",... sont proportionnels à a! c\ b'd\..., à cause des parallèles nb" , a' b celte équa-

tion donne donc celle qu’il s’agit de démontrer.

Corollaire II. Quand quatre droites SA, SB, SC, SD concourent en un même point S, si l'on mène une droite qui les rencontre en quatre points a, b, c, d, et une parallèle à SD, qui rencontre les trois autres en a', b', c', on

aura, entre ces deux séries de points, la relation

ab • Û. — a LÏ

ac ’ i/c a' c'

En effet, que par le point a on mène à la droite a! b' une parallèle qui rencontre SB et SC en b" et c". On a, d’après le Lcmmc XI,

ab t db ab”

ac * de ac"

Mais, à cause des parallèles, ~ == °-r-r Donc, etc.

■ 1 ac a c.

'Corollaire III. Quand un a //autre droites A, B, C, I). partant d’un meme point, et quatre autres droites A li, C\ I)' parlant aussi de ce point ou d’un autre quelconque, en Jaisant entre elles, deux à deux, des angles égaux aux angles des premières , si l’on mène deux transversales quelconques qui rencontrent respectivement ces deux s y sternes de quatre droites dans les points a, 1*. c, cl et a', 1»', <■', <!', on aura l’équation

ar m hr a' c' b' c' ne. bd a'c'.b'/f

ntt' bit n (l " b' d' utl.be a'd'.ü'c'

l .n cficl, si les angles des droites A', l) 7 , C 7 . D 7 sont formés dans le même sens de rotation que ceux des droites A, B, C, I), on pourra, à cause de l’égalité des angles des deux faisceaux de droites, superposer le second sur le premier, c'est-à-dire le placer de manière que les quatre droites A 7 , IV, C 7 , I) 7 coïncident respectivement avec les quatre A, 15 , C, I). Alors l'équation qu'il s’agit de démontrer sera celle du Corollaire I.

Si les angles des droites A 7 , B 7 , C 7 , T) 7 ne sont pas dans le même sens que ceux des droites A, B, C, D, il est clair que I équation a encore lieu, car on rainèue ce cas au précédent, en supposant qu on fasse tourner le plan du second faisceau autour d une droite fixe quelconque de ce plau, jusqu à ce que, après une rotation de 180 degrés, il revienne coïncider avec le plan du premier faisceau.

Donc, etc.

g XIII. — Usage des XXXVIII l.c mines de Pappus pour le rétablissement des trois Livres de Purismes.

Aious avons dit (§§ Ji et XI) que la plupart des Porismes •'anstnis par Pappus expriment des relations de segments ( |ui se rapportent aux divisions /tomographiques sur deux droites ou sur une seule.

Après avoir reconnu ce caractère général, nous eûmes à soumettre chaque énoncé énigmatique à différentes hypothèses pour en tirer les propositions ou Porismes qu’il pouvait renfermer : il fallait y distinguer surtout les choses variables de celles qui restent fixes et constantes ; les choses données de fait, des données virtuelles ou à trouver ; les cas divers où les segments que l’on considère sont formés tantôt .sur deux droites, tantôt sur une seule; où ils ont une origine fixe, et où les deux extrémités sont variables, etc. C'est après de nombreux essais, que nous sommes parvenu à nous fixer sur le sens précis que nous devions donner à chaque énoncédePappus et sur les diverses propositions ou Porismes qui découlaient de cette interprétation ou pouvaient s’y rattacher. Puis il fallait une démonstration de chacune de ces propositions. Cette démonstration eût été facile pour le trèsgrand nombre de celles qui se rattachent aux divisions homographiques; car il suffisait d’exposer d’abord, comme nous l’avons fait dans le Traité, do Géométrie supérieure , une théorie générale de ces divisions. C’est ainsi que nous avions procédé quand nous avons écrit la Note de X À perçu historique sur les Porismes (i). Mais depuis, en nous préparant à mettre au jour cet essai de rétablissement conjectural de l’ouvrage d’Euclide, nous avons craint que ces démonstrations faciles, fondées sur dès théories modernes, ne donnassent lieu à quelques doutes sur la coïncidence de nos idées avec celles du géomètre grec, et ne fussent le sujet d’objections spécieuses contre les probabilités de notre réussite dans ce travail de divination. Cette considération nous a décidé à 11e plus invoquer la théorie générale des divisions hoinograpliiques, et nous nous sommes astreint à refaire pour chaque Porisme de nouvelles démonstrations directes et spéciales, 11e reposant que sur des principes et des pro-

v l) Aperçu, etc., |>. i/.’i-jS.l

positions que l'on put regarder comme familières à Euclide.

Nous avions sans doute à craindre d entreprendre un travail qui ne fut pas sans difficultés. Mais heureusement les Letumes de Pappus, qui déjà dans I origine avaient servi puissamment à nous dévoiler le caractère général des Purismes d’Euclidc, nous ont encore été ici d un grand secours. .Non-seulement chaque Lemme nous a fourni le sujet d un ou de plusieurs Porismes qui s’en pouvaient conclure sans autre démonstration, mais nous avons reconnu dans plusieurs de ces propositions des éléments de démonstrations propres à presque tous les autres Porismes. Il nous a suffi d'ajouter aux trente-huit Lemmcs de Pappus les trois corollaires qui terminent le paragraphe précédent.

Sans autre secours que ces trente-huit femmes et cet trois corollaires, et en nous renfermant strictement dam les XXI X genres décrits par Pappus, nous avons oblent deux cents et quelques Porismes, dont le très-grand nom Inc, sinon tous, pouvaient entrer dans l’ouvrage d’Euclide ous ,lous proposions d’abord d’en écarter une quarantaine j^our en réduire le nombre aux 171 annoncés par Pappus us nous avons éprouvé quelque embarras quand il s’es j fp * c faire cette exclusion, et nous avons préféré en laisse

" J,,x géomètres qui nous liront, nous réservant d profiter de leur

, eui jugement.

quViii ro ° U llo,1 5 de ces propositions, nous espéror

nnaltra que les démonstrations de toutes ne s’t ourlent nas de S '1 •

pus et O,- d ' 0, o>nents contenus dans les Lemmes de Paj v, »il sii|> ,, . l >asscnt pas les connaissances qu’Euclide pot que qucli h s< ^ s docteurs. jNous devons prévenir loutefc général , j' ,ls, ncs seront présentés sous un énoncé pli

,, ' 111 ‘1 UI devait probablement se trouver da

ouvra

g ,: grec. Ca

r on conçoit que pour éviter certaines d

ficullés, provenant principalement de la direction des segments dans les figures, difficultés dont la Géométrie moderne est affranchie, à son grand avantage, Euclide a dû souvent adapter les énoncés de ses propositions à des figures spéciales ou particulières. Mais le caractère propre de ces propositions n’en.étail nullement altéré.

§ XIV. — Énoncés des trente-huit Lemmes de Pappus sur les Porismes d’Euclide.

I. Lennne pour le premier Porisme du I er Livre. Soit la AF AD

figure ABCDEFG; et soit — = — • Qu’on joigne HK, je disque HK est parallèle à AC.

II. Lemme pour le deuxième Porisme. Soit la figure ABCDEFGH ; que AF soit parallèle à DB, et qu’on ait

= ^ : les trois points H, K, F seront en ligne droite.