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la traduction de Pappus par Commandin (que nous citons toujours, à défaut du texte resté manuscrit).

Nous ferons observer que le Porisme subsisterait, c’est-àdire que le lieu du point m serait encore une droite paral-

( ,oü )

lèle à AB, si les points P, (,) se trouvaient respectivement Je côtés différents de A et B, pourvu qu’alors on prit sur le segment PQ, et non en dehors, le point p satisfaisant toujours, bien entendu, à la proportion.

Si nous n’avons pas lait mention de ce cas, qui compléterait l’énoncé dont le Porisme est susceptible, c’est qu’il n’est pas indiqué dans les ligures du Lcmtne de Pappus, qui toutes (au nombre de cinq) présentent les points P, (,) du même côté de A et 15 respectivement.

Il est à croire qu'Euclide, qui se bornait à répandre dans ses Porismes le germe de propositions fécondes, n’a donné qu’un des deux cas que comporte le sujet, parce que l’autre cas ne demandait aucun changement à la démonstration.

Dans la Géométrie moderne, il n’y a pas lieu de distinguer les deux cas dont il s’agit : on les renferme tacitement dans la seule proportion ~ en attribuant des

signes aux segments : car il résulte de cette simple convention (en supposant la proportion écrite comme on la voit), que le point p, qui à défaut des signes aurait toujours deux positions, n'en a plus qu'une, savoir: en dehors des points P et Q quand les segments PA et QB sont dirigés dans le même sens, et entre les points P et Q quand ces segments sont dirigés en sens contraire.

On conçoit combien les géomètres grecs ont dû souvent, être embarrassés de difficultés que ce principe des signes fait disparaître dans la Géométrie moderne.

Portsme II. — On donne deux droites SA, SB et deux points P, Q; une parallèle quelconque à la droite qui joint ces deux points , rencontre les deux droites données en a et b; on mène les droites P a, l^b qui se coupent en m : ce point m est situé sur une droite donnée de position.

La démonsjration se trouve dans le Leinme II (proposition 128). Car, d'après ne Leinme, la.droite Snt rencontre la droite AB en un point R déterminé par la proportion

et qui par conséquent est fixe. Le point ni se trouve donc sur une droite SR déterminée de position, c. q. f. d.

Nota. Le quadrilatère aSbm de notre figure, et les points A, B, Q, P, R, sont dansPappus DHBK et E, A, C,

r 1 ... AE CG

( • , r ; et la proportion ci-dessus est — =; — •

Pohisme 111. — Etant donnés deux droites parallèles AX, BY et trois points p, P, Q / / /, situes en ligne droite - si autour

j 1 / du point p on fait tourner une

"J / j transversale qui rencontre tes /'/«s. / deux droites en a et. b , et qu'on

p a q R pb mène les deux Pa, Qb qui se

coupent en m : ce point m est situé sur une droite donnée de position.

Conséquence du Leinme III (proposition 129). En effet, qu’on mène par le point m une parallèle aux deux droites AX,BY, qui rencontre la droite PQ en R, et la transversale pab en c; on a, d’après le Leinme III, appliqué aux trois droites m Q, mR, m P coupées par les deux droites p PQ, p ab ,

p P QP p a ha

p K QR p c bc

M ai s, à cause des parallèles, le deuxième membre est égal

, pA BA n pR BR D ° UC

pJP QP pA BA

pli ' QK — pR ' BR’

ou •

.QR pA.QP BR pP BA

Ce qui prouve que le point R est indépendant de la dire» . lion de la transversale p ab. Donc, etc.

Porisme IV. — Étant donnés deux droites SA, SB et trois points p. P, Q situés en ligne droite; si autour du premier p on fait tourner une transversale <pii rencontre les deux droites en a et b ; puis , qu'on mène les droites Pa, Qb qui se rencontrent en ni : ce point ni est situé 0 a g a r » sul . uno droite donnée de position.

Ce Porisme est le ras général de la question des quatre droites. Il se conclut immédiatement du Lemme IV (proposition i3o), qui exprime une des relations à six segments existantes entre les six points de section des côtés et des diagonales d’un quadrilatère, tel que aSbm, par une transversale. Ici celte relation devient

yp . B (5 . RA = AB . PR . p Q-

Pappus l’écrit sous forme d’égalité de deux rapports de rectangles faits sur les segments, en y introduisant le facteur

p R, ainsi :

f, R. QP p R ■ BA oQ 7RP~ pB AR -

Le point ni se trouve donc toujours sur la droite SR dont

la position est déterminée par cette égalité, c. Q. F. d.

Nota. Le quadrilatère aSbm et les points A, B, Q, P, p, R sont dans Pappus KG LH, et E. D, B, C, A, F, et la relation de segments est