AF . BC AF . DF AB^FC AD EF

( loi )

Porisme V. — Lorsque deux droites SA, SB en rencontrent une troisième en A et B, si l'on prend sur celle-ci deux points p, P, tels, que l’on ait

p P p B PÂ = ïïa’

qu autour du point p on fasse tourner une droite qui rencontre SA, SB, en a, b, et quon mène les deux droites Pa, Ab qui se coupent en ni : ce point sera sur une droite donnée de position.

En effet, d'après le Lemme V (proposition i3i), les trois points p , S, m sont sur une même droite; c’est-à-dire que le point m est situé sur la droite p S donnée de position.

Porisme VI. — Étant données deux droites SA, SB, si l'on mène parallèlement à la base AB une droite qui les rencontre en a et b; puis, les deux droites Ab et Ba qui se coupent en m : ce point m est situé sur une droite donnée de position.

Ce cas est la conséquence immédiate du Lemme VI (proposition i3a) qui exprime que quand les côtés d’un triangle sont coupés par une parallèle à la base,

les droites menées des extrémités de la base aux deux points de section des côtés, se rencontrent sur la droite menée du sommet au milieu de la base.

Observation . Quelque simple et élémentaire que soit ce cas particulier, il n’y a pas de raison de croire qu’il ne figurait pas dans l’ouvrage d’Euclide, puisque Pappus a jugé à propos de donner un Lemnte non moins simple, qui en est l’expression évidente.

De plus, il esta considérer qu’au temps d’Euclide on ne regardait pas deux droites parallèles comme présentant un cas particulier de deux droites concourantes en un point, ni comme donnant lieu, dans une proposition de Géométrie, aux mêmes conséquences que ces dernières. Il fallait toujours une démonstration spéciale, qui pouvait différer delà démonstration du cas des droites concourantes; et c’est ce . qui a lieu dans ce Purisme.

Il parait que ce fut Desargues, qui, vers le premier tiers du xvii' siècle, introduisit, à cet égard, dans la Géométrie des idées de généralisation si heureuses et si conformes à l’isprit des Mathématiques (i).

Poiusme \U. — Deux ilroites SA, SB sont données, et sur une transversale AB on prend deux points p, P, tels, que l ’on ait

si autour du point p on fait tourner une droite qui rencontre SA,

p p A * SB en a et b; puis, qu’on mène les

deux droites Pa, Ab qui se coupent en m : ce point m sera situé sur une droite donnée de position .

Ce Porisme est la conséquence immédiate du Lemme VII

't) V. Traite des propriétés projectives des figures, de M. Poncelel, p. 38 Cl 3q, — Aperçu historique, p. 7 ^.

(proposition i33), d’après lequel la droite S m est parallèle à la base AB.

A ota. Les lettres S, A, B, P, p, a , b , ni de la présente figure sont F, A, D, C, B, E, H et G dans Pappus.

Observation. En s appuyant sur la réciproque de ce Lemme VII, on en conclurait le Porisme suivant .

Étant données deux droites SA, SB, et sur la droite AB un point P, on mène à AB, des parallèles dont chacune rencontre SA, SB en a et b; puis, on joint les points A et b, P et a, par des droites qui se coupent en m : ce point est situé sur une droite donnée de position.

En effet, d’après la réciproque du Lemme, la droite S/m rencontre la base AB en un point fixe R que détermine la relation

RÂ’= RB. RP.

Porisme VIII. — Quand deux droites SA, SB, sont données, ainsi que deux points p, Q ; si autour du point p on fait tourner une transversale qui rencontre les deux droites en deux points a, b; que par le premier on mène une parallèle aP à la droite pQ, et par le deuxième la droite bQ qui coupe la parallèle en m : ce point m est situé sur une droite donnée de position.

Soit R le point d’intersection des droites S/m et AB, et c celui denP et SB: on a, par les triangles semblables,

AR am p Q am

AB ac p R ac

Donc

AR Qp ÂÏÏ — Bp

( * oti )

Aiusi la droite S m passe toujours par un même point R déterminé par cette proportion; et le point m se trouve sur une droite donnée de position. c. <3. f. d.

Autrement. La démonstration du Porisme se peut encore conclure de la réciproque du 1 er Lemme de Pappus; la proportion qui vient d’être démontrée résulte du parallélisme des lignes pQ et ain, d’après cette réciproque.

Nota. Le quadrilatère aSbrn et les points A, B, Q, p, R sont indiqués dans Pappus, K.EBH et F, A, C, D, G; et la proportion est