QR — XJ

. Ainsi, le point R est donné, c’est-à-dire que sa position est fixée par les conditions seules de l’énoncé: ce qui démontre le Porisme.

Observation. Le théorème cité sur le triangle coupé par une transversale, était Lien connudes Anciens. On le trouve, comme on sait, dans les Sphériques de Ménélaus et dans l'Almageste de Plolémée. Pappus le démontre dans son VIII e Livre ( i ) ; il s’en sert pour la démonstration du I er Lemme sur les Porismes; et, de plus, dans le cours de celle du IV e Lemme, il établit la réciproque, en faisant voir que si trois points pris sur les côtés d’uu triangle satisfont à la relation de segments qui constitue le théorème en question, ces trois poiuts sont en ligne droite (a). Il y a lieu de penser qu’Euclide lui-même faisait usage du théorème , et que c’est par cette raison que Pappus ne fait pas difficulté de l’employer dans ses Lemmes sans le démontrer.

Pobisme X. — Étant donnés deux droites parallèles AX, LÎY, et trois points p , P, Q situés sur une même droite parallèle aux premières, autour du point p on fait tourner une droite qui rencontre AX, BY en a et b 5 par ces points on mène les deux droites a P, bQ qui se coupent en m : le lieu de ce point est une droite donnée de position.

En effet, on a dans le triangle p b Q coupé par la droite P ma

mli nb

m Q a p PQ

(1) Aperçu historique y p. 291.

(2) M. Breton (de Champ) a lait cette remarque; V . Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XX, ann. 1 855 , p. 220 et 223 .

Le deuxième membre de celle égalité esl constant. Doue le rapport de mb à mQ esl constant. Donc le point m est sur une droite parallèle à 13Y, et déterminée dé position.

Observations relatives aux dix Porismes précédents.

Tels nous paraissent être, parmi les cas très-multipliés de la question des quatre droites, les dix cas qui se sont trouvés dans les Porismes d’Euclide. Les sept premiers se concluent si naturellement des sept premiers Lemmes de Pappus, que nous avons dû voir dans ce fait une raison décisive pour fixer notre choix et adopter l’ordre dans lequel nous les avons placés; d’autant plus que les Lemmes qui viennent ensuite donnent lieu, dans l’ordre même de Pappus, à des Porismes qui appartiennent aux genres qu’il a déci'its subséquemment, comme nous l’avons déjà dit (§ X, n).

Mais il ne suffisait pas, selon nous, d’avoir rétabli d’une manière très-probable ces dix Porismes. Pourquoi Euclide avait-il choisi ces propositions seules? Pourquoi avait-il exclu les autres? C’est ce qu’il fallait examiner. Cette étude sur la pensée et 1’ «,'uvre d’Euclide n’était pas sans intérêt. \'oici les considérations auxquelles elle nous a conduit.

On remarque qu’il existe, dans toutes les figures des propositions dont il s’agit, d’une part, un quadrilatère S amb ( sauf le nombre relativement petit des cas où les deux droites données SA, SB sont parallèles, ce dont nous parlerons plus tard); et d’autre part, trois points p, P, Q situés toujours en ligne droite, et que, pour abréger, nous appellerons pôles. La diversité des Porismes auxquels donne lieu la question doit donc provenir des différentes positions que la droite des pôles peut prendre par rapport au quadrilatère.

( lo 9 )

Euclide parait s’èlre proposé de présenter, outre le cas général, trois classes de cas particuliers bien distingués par les positions de cette droite. Premièrement, la droite des pèles est parallèle aux côtés et aux diagonales du quadrilatère S amb-, secondement, cette droite passe par un ou par deux des trois points de concours soit des côtés opposés, soit des diagonales du quadrilatère; et troisièmement, ces deux conditions sont simultanées, c’est-à-dire que la droite des pôles passe par un ou par deux de ces trois points de contours, et est en meme temps parallèle à un côté ou à une diagonale. »

Ajoutons que dans l’énumération des cas auxquels donnent lieu ces trois hypothèses, l'auteur des Porismes a écarté tous ceux dont la démonstration serait la même que celle d’un cas déjà donné.

Ce sont, je ne puis en douter, ces motifs qui ont dirigé Euclidc dans le choix de ses dix Porismes.

En effet, le cas général est le Purisme IV qui repose sur la relation générale à six segments entre les six points de section des côtés et des deux diagonales du quadrilatère par la ligne des pôles.

Dans le Porisme I, la diagonale S ni, c'est-à-dire la droite lieu du point i«, se trouve parallèle à la ligne des pôles. Pour que cela arrive, il faut qu’il y ait entre les trois pôles une certaine relation qui fait le sujet du Lemme I.

Dans le Porisme II, la droite des pôles est parallèle à l’autre diagonale ab du quadrilatère; ou, ce qui revient au même, le point p est à l’infini.

Dans le Porisme VIII, la droite des pôles est parallèle au côté am du quadrilatère, auquel cas le point P fest à l’infini.

Dans le Porisme IX, la droite des pôles est parallèle à la droite SB.

Tels sont les quatre cas auxquels donne lieu la première des positions caractérisées ci-dessus, c’est-à-dire le parallé-

Usine de la droite des pôles avec l'un des côtés ou l’une des diagonales du quadrilatère. »

Trois Porismes se rapportent aux deux autres positions indiquées.

Dans le Porisme V, la droite des pôles contient à la fois le point de concours des deux diagonales S ru, ab et celui des deux côtés Sa, bm\ il en résulte que la droite-lieu du point m , passe par le point p f en même temps que le point Q coïncide avec le point A.

Dans le Porisme VI, la droite des pôles passe par les points de concours des côtés opposés du quadrilatère S amb , et est, en môme temps, parallèle à la diagonale ab-, en d’autres termes, les pôles Q et P coïncident, respectivement, avec les points A et B, et le point p est à l’infini.

•Dans le Porisme VII, enfin, la droite des pôles passe par le point de concours des côtés Sa, b ni (de sorte que Q coïncide avec A), et elle est parallèle à la diagonale S m.

Ces huit Porismes dérivent, comme on le voit, de la considération du quadrilatère Samb. Les Porismes III et X, qui complètent le nombre des dix cas annoncés par Pappus, se rapportent aux cas dans lesquels le quadrilatère cesse d’exister parce que les deux droites SA, SB sont parallèles. C’est ce que nous pouvons exprimer simplement aujourd’hui en disant que le sommet S du quadrilatère se trouve à l’infini.

Revenons au quadrilatère pour rechercher les cas omis par Euclide. Ce sont tous ceux qui résultent des positions suivantes de la droite des pôles : t° quand cette ligne passe simplement par un seul des trois points de concours des côtés opposés ou des diagonales du quadrilatère, sans qu’on l’assujettisse à être parallèle à aucun côté; 2 ° quand elle passe par les deux points de concours des côtés opposés, sans condition de parallélisme: 3° lorsqu’enfin elle passe par le sommet S du quadrilatère, avec ou sans condition de parallélisme.

Telles sonl les trois espères de positions omises par Ettelide. Voici les raisons de cette omission.

Pour la première espèce, la démonstration est absolument la même que pour le cas général (Porisme IV ) ; car l’équation à six segments sur laquelle repose la démonstration, subsiste entre les six mêmes segments, quand la transversale qui coupe le quadrilatère passe par un point de concours, soit de deux côtés opposés, soit des deux diagonales. Aussi voyons-nous que Pappus a compris ce cas particulier, dans son Lemme IV, en le représentant par une des huit figures auxquelles la démonstration s’applique.

Dans la deuxième espèce la démonstration subsiste encore; seulement la relation à six segments se réduit à quatre, parce que deux segmeuts deviennent égaux (sans être infinis).

Enfin, si Euclide n’a pas considéré les positions qui feraient passer la droite des pôles par le sommet S du quadrilatère, c’est que les Porismes qui peuvent en résulter ne seraient, à l’égard du point p, que des cas particuliers d’un Porisme général qui devait se trouver plus loin; car il est indiqué, d’une manière non douteuse, par les LemmesXII et XIII de Pappus. Dans ce Porisme les données sont les mêmes quant aux deux droites SA, Slî et aux pôles P, Q pris en ligne droite avec le point S : mais le point p , au lieu de se trouver nécessairement sur cette droite, a une position quelconque, qui peut être sur la droite comme au dehors (t). Et puisque Euclide a omis, ainsi que nous l’avons dit, les Porismes dont la démonstration n’aurait été que la répétition de celle d’un cas pins général, nous devons penser que c’est par la mmne raison qu’il a passé sous silence les cas de la proposition des quatre droites dont il s’agit.

On reconnaîtra que ces omissions et les motifs qui nous

(i) Voir, ci après, le Porisme XXV.

paraissent les justifier, se pouvaient prévoir d’après certains passages de Pappus, notamment celui dans lequel il dit qu’Eudidc ne donne jamais qu'une démonstration des choses que renferme son ouvrage; ce qui veut dire qu’Euclide ne donne jamais deux fois la même démonstration- Car c’est dans ce sens que nous devons entendre ce passage : « Bien ■» que chacune de ces propositions soit susceptible d’un cern tain nombre de démonstrations, comme nous le faisons » voir, Euclide n’en donne qu’une, qui est toujours la plus » claire. »

Pappus dit, « comme nous le faisons voir » j parce que dans plusieurs Lernmes il donne les ligures qui se rapportent à des cas d’une même proposition dont les différences ne dépendent que des positions relatives des diverses parties de la figure. C’est ce qu’Euclide ne faisait pas.

Il est à croire que les propositions que ces « géomètres peu expérimentés », dont parle Pappus, ont ajoutées à celles d’Euclide, étaient du nombre de ces cas particuliers omis à dessein par l’auteur des Porismes, comme susceptibles de la même démonstration qu’une proposition déjà démontrée.

A ce sujet, nous ajouterons que, si, conformément au langage et aux doctrines de la Géométrie moderne, nous avons parlé des dix Porismes des quatre droites comme de dix cas d’une même proposition, ce n’est pas ainsi qu’Euclide et Pappus les considéraient. Dans plusieurs de ces propositions des points disparaissaient en passant à l’infini, ce qui constituait, au temps d’Euclide, des propositions distinctes, -et toutes, par suite, demandaient une démonstration différente : c’est«ce qu’on peut remarquer dans les Lernmes de Pappus. Aussi cet auteur en annonçant qu’il a reconnuquc ces dix Porismes peuvent être renfermés dans un seul énoncé, ne dit pas que ce sont dix cas d’une même proposition, mais bien dix Porismes analogues entre eux, ou de même espèce. Et, en effet, pour les renfermer

ainsi dans un seul énoncé, il a dû réunir deux hypothèses différentes, l'une où figurent trois points, et celle où il n'v en a plus que deux et une condition de parallélisme.

Notre restitution des dix Porismes d’Euclide diffère à beaucoup d’égards de celle de Simson. La cause principale du désaccord, nous parait provenir de ce que ce géomètre, dans son travail, n’a pas pris pour base les Lemmes de Pappus, et par conséquent n’a pas cherché à faire choix des propositions qui se pouvaient conclure naturellement de ces Lemmes. Aussi ne s’est-il servi des Lemmes que pour la démonstration de trois de scs dix propositions, et même, pour ainsi dire, incidemment, et sans qu’il y eût une connexion marquée entre les Lemmes et les propositions.

Cinq seulement des dix propositions de Simson se retrouvent parmi les nôtres ; ce sont : les a', 4 e , 5 e , 9 e et 10 e : elles coïncident avec nos 8“, 10% 9 e , 3 e et 4 e - Mais le plus souvent, dans ces propositions identiques, les démonstrations sont différentes de part et d’autre.

Parmi les cinq autres propositions du géomètre anglais, il s’en trouve une, la 3 ', que nous croyons n’avoir pas pu faire partie de la proposition des quatre droites. C’est le cas dans lequel l’une des deux droites données SA, SB est située à l’infini. Car si les Anciens 11e regardaient pas un point 6itué à l’infini, comme un cas particulier d’un point considéré d’abord à distance finie, ainsi que nous l’avons dit précédemment, on conçoit qu’à plus forte raison ils n’ont point dû regarder l’infini comme une droite, ni même comme donnant lieu à des propriétés analogues aux propriétés des droites.

Mais si la proposition de Simson n’a pu se trouver parmi les cas de la proposition des quatre droites, néanmoins elle constitue, sous un éuoncé différent, un Porisinequi certainement n’a point échappé à Euclide. Nous le croyons d’au-

tant plus, que ce Purisme, qui forme notre XXIII e ciaprès, est une conséquence naturelle du femme XI de Pappus.

I er des Genres distingués par Pappus.

Porismf. XI. — Si de deux points donnés P. Q on mène deux di'oites PM, QM se coupant sur une droite LM donnée de position, dont l'une PM intercepte sur une

droite donnée de position ÀX, un segment A m compté à partird' un poi ni donné A : on pourra trouver une autre droite A 1 X' et sur cet te droite un point A', tels, que le segment A'm ' J ait par la droite QM sur A'X', sera au segment A ni dans une raison donnée X. .

Puisqu’on doit avoir — — ; = À, les deux droites AX,

A'X' seront divisées en parties proportionnelles par les deux points m, m'; et deux points de division homologues seront à l’infini. Il s’ensuit que les deux droi tes AX, A'X' sont parallèles aux droites menées des deux points P, Q à un certaid point de la droite LM. Menant done Pc parallèle à AX, puis Qc, la droite cherchée A'X' sera parahlèle à Qc.

Ensuite, les deux points A et A' seront deux points homologues dans les deux divisions formées par les points m, m 1 . Par conséquent les droites PA, QA' se croisent sur la droite LM. Menant donc PA qui rencontre LM en a, puis la droite Qn, le point A' sera sur celte droite.

Enfin, on doit avoir Or les points G et G' où Ja

droite AX et la droite cherchée A'X' rencontrent la base

PQ sont deux points homologues dans les deux divisions de AG

res droites; donc Ce qui déterroipe A'G' en

grandeur.

Il suffit dès lors d'inscrire dans l’angle des deux droites PQ et Qa une droite parallèle à Oc et égale à Cette droite satisfera à Ja question.

En effet, considérant les quatre droites PE, Pc, PM, Pa,

coupées par les droites LM et AG, on a, par le Corollaire II des Lemmes II] et XI (i),

Am «M # cM

AG aE cE

On a de même, à l’égard des quatre droites issues du point Q,

A ' m' aM/M

A'G' — aï ' 7Ë‘

Ainsi

A A' m' A m AG ,

ag~a'G'’ ou jmp—j' g'~ a ‘

Le Porisme est donc démon tré.

Ce Porisme a été rétabli par Simson et forme la proposition du Traité De Porismatibiis (p. 4oo). ’

Pobisme XII. — De chaque point M. d’une droite YM.

donnée de position , on abaisse une oblique Mm sous un angle donné, sur une droite donnée de position AX, sur laquelle le point A est donné, et du même point M on mène une droite à un point fixe Q : une raison X étant donnée, on pourra déterminer une

(i) Voir ci-dessus, p. 83.

droite A'X' et sur cette droite le point A', de manière que le segment A' m' fait- par la droite MQ sur A'X', sera au segment A m dans la raison X.

Que par le point A ou mène la droite A a parallèle aux obliques abaissées sur AX, et par le point a où cette droite rencontre LM, la droite «Q. Le point A' sera situé sur cette droite. Que par le point Q on mène la droite QG' parallèle aux obliques, qui rencontre AX en G, et que dans l'angle nQG' on inscrive la droite A'G' parallèle à LM et égale à 1. AG. Cette droite et son point A' situé sur aQ satisferont à la question.

En effet, on a, parles triangles semblables,

AG ag A'G' ag

Donc

Am A'm' ,, . A'm' A'G' ?

AG A'G' ’ ° U A m AG

Donc, etc

Porisme XIII. — Si l 'on fait tourner un angle mOm' autour de son sommet, et que ses côtés rencontrent, respectivement , deux droites AX, A'X' en deux points m, m'; la première droite et le point. A étant donnés , ainsi qu'une

raison X : ou pourra déterminer de position la deuxième droite A'X' et sur cette droite le point A', de manière que les deux segments A'm' et A m soient toujours entre eux dans la raison X.

Qu’on fasse passer par. le point A le premier côté de l’angle, et soit OA' la direction du second côté; le point demandé A' sera sur cette droite. Oa et Oa' étant les directions des deux côtés de l’angle dans une de ses positions, que l’on inscrive dans l’angle A'O a! une droite Ma' parallèle au second côté de l’angle considéré dans sa position IOJ' où son

premier côté est parallèle à la droite AX, et que cette droite A 'a' soit égale à X.A a. Cette droite et le point A' satisferont à la question.

En eilet, les deux triangles AO m et A'Om' sont semblables; et de même les deux AOa, A'Oa'. Par conséquent

A ut A ' m' A ' m' A 'a' ^

Donc, etc.

II' Genre.

Tel point est situé sur une droite donnée de position.

Porisme XIV. — Quand dans un triangle on mène îles parallèles à la base, et. qu’on prend sur chacune d’elles le point m qui les divise dans un rapport donné X, ces points in sont sur une droite donnée de position.

Soit ab une des parallèles à la base AB du triangle ACB; on prend le point m tel,

qu’on ait = X. Qu’on mène la droite Cm qui rencontre

A B en R ; on a

mb .

AR

RB

Ainsi le point R est fixe, et par conséquent la droite Cm est déterminée de position. Ce qui démontre le Porisme. Porisme XV. — Quand un triangle abc a ses deux sommets a, b sur deux droites SA, SB

données de position, si l’on construit un autre triangle a'b'd ayant ses côtés parallèles à ceux du triangle abc, et ses deux sommets a', b' sur les deux droites SA, SB, le troisième sommet c sera sur une droite donnée de position .

En effet, qu’on mène la droite cc r . et

soit s le point où elle rencontre la droite SA 5 les deux triangles .tac, sa c' sont semblables; par conséquent, on a

sc' a' c'

On a, pareillement, en appelant s, le point où la droite cc' rencontre SB,

s.c bc

Mais Donc

or a c

sc' .ï,r'

sc — s. c.

Ce qui prouve que les deux points s , r, n’en font qu un, qui ne peut être que le pointS, intersection des deux droites SA, SB. Ainsi le sommet d de chaque nouveau triangle a'b'c' est situé sur la droite Sc qui est donnée de position. Ce qui démontre le Porisme.

Corollaire. On conclut de là que : Quand deux triangles semblables ont leurs côtés parallèles deux à deux, les trois droites qui joignent, deux à deux , les sommets homologues, concourent en un même point.

Porisme XVI. — - Étant donnés deux droites SA, SB et quatre points P, Q, p et U situés sur une autre droite, on fait tourner autour du point p une droite qui rencontre

SA, SB en a et b ; et Von mène les deux droites Pa, Qb qui se coupent en un point, m; la droite qui passe par ce point et par le quatrième point donné U rencontre la droite tournante p ab en un point n : le heu de ce point est une droite donnée de position.

Celle proposition est une conséquence de celle des quatre droites exprimée d’une manière générale par le Purisme IV. En effet, d’une part, d’après ce Porisme, le point m décrit une droite SR; et d’autre part, si l’on considère les deux droites SA, SR coupées en a et m par une transversale Pma, elles deux droites pa, Dm tournant autour des deux points p et U et se coupant en un point n, ce point, d’après le même Porisme IV, est sur une droite lixe passant par le point S. Ce qui démontre le Porisme énoncé.

PoRissrE XVII. — Étant donnés deux droites SA, SB et un point P, "on mène des droites ab, parallèles entre elles, dans une direction donnée, dont v chacune rencontre SA et SB en deux points a et b; puis, on mène par le point a la droite a P, et par le point b une parallèle à SP, laquelle rencontre a P en un point m : ce point est situé sur une droite donnée de position.

Qu’on mène par le point P une parallèle aux droites ab, qui rencontrera SB en un point D, et par le point D la droite DM parallèle à SA, c’est sur celte droite DM que se trouve le point m.

Ce Porisme n’est autre que le Lemme VIII (proposition 1 34 ) ; car ce Lemme établit que la droite Dm qui joint les points m et D, déterminés comme il vient d’être dit, est parallèle à SA.

Donc, etc.

Nota. Les lettres D, P, S, a, b, ni de notre figure correspondent ans lettres F, B, C, G, E, D de PappUs.

PoRtSMB XVIII. — Étant donnés trois droites SA, SB

M . et SC issues d’un même point S, et deux points A, B sur les deux premières ; par ces points on mène deux droites parallèles Aa, Bb, qui rencontrent la droite s " SC. en a et b -, cl par ces derniers points,

( lao )

des parallèles aux deux droites SB, SA, respectivement : le point d’ intersection m de ces parallèles est situé sur une droite donnée de position.

Ce Porisme se conclut du Lemnie VIII; car la réciproque de ce Lemme fait voir que le point m est situé sur la droite