INTRODUCTION

§ I. — Exposé historique. — Premiers essais de divination de la doctrine des Porismes. — Ouvrage do R. Simson. — Questions non traitées dans cet ouvrage. — Ce qu’il resto à faire pour rétablir les trois Livres d’Euclide.

■ Parmi les ouvrages des mathématiciens grecs qui ne nous sont pas parvenus, aucun n’a plus excité les regrets et la curiosité des géomètres des siècles derniers que. le Traité tirs Porismes d’Euclide.

Cet ouvrage ne nous est connu que par la Notice qu’en a donnée Pappus dans le VII e Livre de ses Collections mathématiques (i), et par une très-courte mention de Proclus

(i) Pappus, mathématicien d’Alexandrie, Hérissait vers la fin du iv e siècle de notre ère. Ses Collections mathématiques en huit livres, dont malheureux soment les deux premiers nous manquent, sont un ouvrage extrêmement précieux, pour l’histoire des mathématiques. Pappus y fait connaître des recher<^cs sur toutes les parties de la géométrie, et même sur les machines dans le VIII e Livre, et fournit des notions sur beaucoup d’ouvrages dont

tlans son Commentaire sur le 1 er Livre des Eléments d’Euclide.

Mais ce qu’en dit le premier de ces auteurs, qui était lui même un géomètre éminent et des plus compétents pour apprécier les œuvres de ses devanciers, a été bien propre, indépendamment du nom d’Euclide, à faire naître ces regrets des Modernes et leur désir de retrouver ou de parvenir à rétablir un ouvrage si précieux : car, selon Pappus, « cet ouvrage renfermait une ample collection de propo- » silions d’une conception ingénieuse et d’un très-utile se- » cours pour la résolution des problèmes les plus diffi- » ciles. »

Aussi Montucla^ dont nous nous bornerons à citer ici le jugement, a-t-il pensé que ce Traité des Porismes était « le plus profond de tous les ouvrages d’Euclide et celui » qui lui ferait le plus d’honneur s’il nous était par- » venu » (i).

La Notice de Pappus, un des fragments les plus intéressants qui nous soient restés des mathématiques grecques, renferme deux délinitions de ce genre particulier de propositions appelées Porismes par Euclide, et une trentaine d’ énoncés qui s'y rapportent; mais le tout en termes concis et obscurs, dont le^ géomètres, à diverses époques depuis

nous ignorerions, sans cela, même les titres et les noms des auteurs. On doit a Commandin (1609 — 1 575 ), savant géomètre et commentateur intelligent, une traduction de ces Collections mathématiques qui parut après sa mort sous le titre : Pappi Âlexandrini Mathematicœ Collectiones a Federico Commandino Urbinatc in Lalinum conversa, et Commcntariis iilustralœ. Pisauri, i 58 S, infolio. — Eædem. In hacnostra edilione ah innumeris, quthus scatehant mendis, et prœcipuè in Graco contenu diligenter vindicatœ. Bononiæ, 1660, in-folio.

Plusieurs géomètres s'étaient proposé, à diverses époques, d’éditer le texte même de cet ouvrage, un des plus importants, incontestablement, qui nous soit parvenu des Grecs. I) est bien à regretter que leurs projets aient échoué. Aucune entreprise ne saurait être plus digne des encouragements destinés aux publications scientifiques.

(1) Histoire des Mathématiques, t. I, p. *2 1:1.

la Renaissance, ont vainement cherché à pénétrer le sens.

Cependant Albert Girard, savant géomètre des premiers temps du xvn" siècle, avait fait espérer qu’il rétablirait ces Porismes, dont il parle dans deux endroits différents de ses œuvres (i); mais ce travail n’a peut-être pas été terminé; du moins il ne nous est pas parvenu, et l’on ne peut préjuger jusqu à quel point l’auteur avait entrevu la pensée d’Euclide.

Vers le même temps Fermât s’est occupé du même sujet, bien digne de fixer l'attention d’un esprit’aussi pénétrant. Dans un écrit très-succinct, intitulé: Ponsmatum Euclidœorum lienovala Doctrina et sub forma isagoges recentioribus Géometris exhibita, il dit que si plusieurs auteurs,

(i) Voici quels sont ces deux passages d’Albert Girard : i° Dans son petit Traité de Trigonométrie se trouve un chapitre des polygones rectilignes , où l’auteur, après avoir énuméré les formes diflércntes que peut avoir un quadrangle, un pentagone, un hexagone, ajoute : « Le tout, quand il n’y a n que deux lignes qui passent par un poinct, comme jadis estoyent les Po- • rismes d’Euclides, qui sont perduz, lesquelz j’espere de mettre bien lost en » lumière, les ayant restituez il y a quelques années en ça. » {Tables des sinus , tangentes et sécantes , selon le Raid de ioqooo parties. Avec un traicté succinct delà Trigonométrie tant des triangles plans, que sphéricques,c te., par Albert Girard, samielois. La Haye, i6ab, in-a/j)» 2 ° Dans le Traité de Tari pondéraire ou de la statique de Stevin, à la suite de la proposition relative au centre de gravité du triangle, dans laquelle l’auteur fait usage du théorème de Ptolémée sur le triangle coupé par une transversale, Albert Girard ajoute ce qui suit: « Celuy qui n’entend pas cestc maniéré de de- » monstration doit recourir premièrement au lieu cité de Ptoltmée, puis à » l'Arithmétique du présent autheur vers la fin touchant l’addition et sousi» traction des raisons. Les Anciens, comme Archimedes, Euclides , Appollone n Pergce, Eutocius Ascalonile , Pappus Alexandrin, etc., ont leurs livres rcm- » plis de l’égalité d’une raison a deux autres, excepte que ce qu’en a » escrit Euclides és Elemetis vulgaires est assez rare, comme en la a3 » proposition du sixiesme livre, et en lu 5 proposition du buitiesme b livre. Mais il est à estimer qu’il en a plus escrit en ses trois livres de Poris- » mes qui sont perdus , lesquels. Dieu aidant, j’espere de mettre en lumière, les o ayant inventes de nouveai ^ » ( V. Les Œuvres mathématiques de Simon Stevin de Bruges, etc. Le tout reveu, corrigé et augmenté par Albert Girard, samielois, Mathématicien. Leyde, 1 634* in-folio.)

Viète notamment , « ce géomètre plein de t'élue et qui n a pas encore été assez loué », ont rétabli avec succès quelques ouvrages des Anciens, néanmoins on ignore encore et l’on n’a pas môme soupçonné ce qu’étaient les Purismes. Il donne ensuite cinq exemples de Porismas , et il exprime sa pensée sur le genre des propositions ainsi nommées par Euclide, qu’il croit avoir été des propositions de Lieux (i). Il ajoute que, si cet aperçu est goûté des sa\ auts, il rétablira un jour les trois livres perdus; qu’il ira meme au delà du géomètre grec, et fera connaître dans les sections coniques et dans quelques autres courbes, des Purismes admirables et pourtant encore ignorés. Ailleurs il semble dire qu’il a rétabli l’ouvrage d’Euclidc. Toutefois, sans examiner ici les propositions données par Fermât comme exemples de Purismes, lesquelles ne paraissent pas présenter un caractère spécial bien déterminé qui les distingue nettement des propositions locales ordinaires, il faut remarquer que, hormis une ou deux peut-être, elles ne peuvent se rapporter aux propositions d’Euclide indiquées par Pappus (l’une d’elles même concerne la parabole). On peut inférer de là que c’était seulementsur la nature et l’objet du livre d’Euclide, c’est-à-dire sur la doctrine même des Purismes, que Fermât était parvenu à fixer ses idées, à un certain point de vue, mais qu’il n’avait pas rétabli les propositions que peuvent comporter les énoncés de Pappus.

Quelque temps après, lîoulliau ( 2 ) et Renaldini (.1) paraissent avoir aussi entrepris cette divination. Mais ils se

(1) « Cum autem ut jam diximus Porismnta ipsa sint loci... • ( Varia opéra mathemalica, etc., p. 119.)

(?) Exercitationes géométrie æ très : i° cire a démonstrations per inscriptas rt circumscriptas Jiguras ; circa conicarum sectionum quasdam propositions; 15 ° de Porismalihus. Parisiis, 1657 ; in-/|°. «

( 3 ) De resolutione et composition mathematica, lihri duo. Patavii, ifi 08 ; vu- fol.

sont bornés à do simples réflexions <jui n’ont répandu aucune lumière sur la question elle-même.

11 y a lieu de penser que la plupart des géomètres qui ont rétabli quelques-uns des autres ouvrages grecs sur lesquels Pappus a laissé des Lemfnes, que Snellius et Viète (i) notamment, n’avaient point négligé de porter leur attention sur le Traité des Porismes, .de préférence même à tout autre, à raison de la grande supériorité de cet ouvrage, proclamée par Pappus, et des secours qu’il devait procurer dans toutes les investigations géométriques.

Le célèbre astronome Halley, très- versé dans la connaissance de la géométrie des Grecs, traduisit de l’arabe, comme on sait, le Traité de la Section de raison, et rétablit celui de la Section de l’espace et le \ 111“ livre des Coniques d’Apollonius. L’énigme des Porismes devait naturellement lui offrir de l’attrait. On lui doit d’avoir mis au jour le texte grec qui s’y rapporte, resté jusqu’alors manuscrit comme tout l’ouvrage de Pappus, au grand regret des géomètres, qui n’en connaissaient que la version latine de Commandin. Halley a joint a ce texte, inséré dans son édition de la Section de raison et de la Section de f espace, une traduction latine ; mais sans commentaire ni aucun éclaircissement; car il confesse ne rien comprendre à ce texte des Porismes, « rendu inintelligible, tant parla perte » d’une figure à laquelle Pappus renvoie, que par quelques » omissions ou autres altérations qui affectent une certaine » proposition générale; d’autant plus, ajoute-t-il, que » le style de l’auteur, outre ces défauts, a celui d’ètre

(i) Viète a rétabli sous le titre d 'Apollonius Quitus le Traité des contacts des cercles d’Apollonius, et Snellius le traité de la Section déterminée sous le litre d' Apollonius llalavus ( Lugodini, i(io8, in /|°), et les deux truités de lu Section de raison et de la Section de l’espace (ibid., 1(107). ® va *l clé

au delà de Viète dans un ouvrage qu'il intitulait: Vromotus Apollonius G al lus, qui ne nous est pas parvenu.

» beaucoup trop serré pour un sujet aussi difficile » (i).

Il était réservé à son savant compatriote R. Simsou, professeur de mathématiques à l’Académie de Glasgow, de pénétrer ce mystère qui résistait à tant d’efforts. Les premiers essais heureux de ce géomètre, après de longues et persévérantes tentatives, datent de 1720. C’était l’explication de trois propositions, les seules, parmi une trentaine d’énoncés divers, que Pappus ait décrites en termes suffisamment complets. La première concerne un système de quatre droites; la seconde, qui est la même, étendue à un nombre quelconque de droites, est la proposition générale dont parle Halley ; et la troisième, relative encore à des droites, est d’un genre différent.

Maintenant que le sens précis des trois propositions nous est connu, le texte de Pappus peut paraître suffisamment explicite, nonobstant sa concision ; mais assurément il présentait alors de grandes difficultés.

Aussi l'explication de Simson fut une découverte inattendue. Communiquée par l’auteur à Maclaurin et bientôt après à la Société Royale de Londres, et insérée dans les Transactions philosophiques de mai 172,1 (2), elle attira l’attention des géomètres et par sa nouveauté et par son importance.

Les efforts persévérants de Simson lui ayant fait faire de

(1) « Hactcnus Porismatum descriptio nec mihi nec lectori profutura, » neque aliter fieri potuit : tara ob defectura schéma lis cujus Ht mentio ; » undc rectæ salis limita*, de quibus hic agitur, absqne nolis alphubeticis, » ullove alio distinctionis characterc inter se coiifunduntur : quant ob » oraissa quædam et transporta, vel aliter vitiata, in propositions genera- » lis expositionc; undc quid sibi velit Pappus haud mihi datura est conji- » cere. Hisce adde dictionis modum nimis contractum, ac in re difticili, » qualis hæc est, minime usurpandum. » ( A no llo nu Pergœi de Stclione raiionis t ... p. xxxvil.)

(2) Pappi Alexandrini Proposiliones duæ generales, quibus plura ex Euclidis Porismatis complexus est, Restituta* à Vire Doclissirao Rob. Simson, Math. Prof. Glasc.

nouveaux pas dans la.voic qu’il ouvrait si heureusement par un résultat partiel, mais incontesté et d'autant plus précieux, il parvint à fixer son opinion sur la doctrine des Ponsmes, et il la développa dans l’ouvrage intitulé: De Porismatibus trac talus ; quo doctrinam Porismatum salis explicatam , et in posteruin ab oblivione tiilam fore sperat Auclor. Mais cet ouvrage ne parut que beaucoup plus tard, en 1776, huit ans après la mort de l’auteur. Il fait partie d’un volume publié aux frais de lord Stanhope et par les soins de J. Clow, professeur de philosophie à l’Académie de Glasgow, à (pii Simson avait légué ses papiers, volume dans lequel se trouvent aussi la divination des deux livres de la Section déterminée d’Apollonius, et quelques autres ouvrages de Simson restés jusqu’alors inédits comme celui des Porisines (1). Le traité de Lieux plans d’Apollonius, rétabli aussi par cet habile interprète des Anciens, avait paru en 1749) du vivant de l’auteur (2).

C’est surtout*la divination des Porisines qui a fait à juste litre la célébrité de Simson dans l’histoire des mathématiques.

Cependant, si l’on considère que le rétablissement de l’ouvrage d’Euclide embrassait deux questions différentes; qu’il s’agissait de découvrir, premièrement ce qu’était cette doctrine des Porismes ignorée des Modernes, et secondement ce qu’étaient ces propositions si nombreuses ( cent

(1) Roberti Simson, matheseos nuper in Academia ulasguensi professoris, Opet a qutedam reliqua. Glasguæ, 1776; in-/j°.

(2) Apollonii Pcrgœi Locorum planorum libri //, restitua a Fiobn lo Simson . Glasguæ, i 749 ;in- 4 °.

On sait que Fermât et Schooten avaient déjà rétabli ce Traité des Lieux plans , ou du moins démontré, le premier par la simple géométrie, et le second parle calcul algébrique de Descartes, les nombreuses propositions de (Jeux rapportées par Pappus. Simson s’est proposé, eu revenant sur ce sujet, d’imiter dans ses démonstrations le style géométrique des Anciens, néglige par Schooten surtout.

soixante et onze), qui formaient les trois livres de Porismes d’Euclide, il faut reconnaître que c'est la première seulement de ces deux questions que Simson a résolue, mais qu’il n’a pas été beaucoup au delà, et qu’il a laissé à d’autres le soin de rétablir l’ouvrage d’Euclide. Car sur vingt-neuf énoncés transmis par Pappus dans un style concis et énigmatique, et qui résument les nombreuses propositions d’Euclide, Simson n’a donné que dix Porismes répondant à sept seulement de ces énoncés. Il a donc laissé intacts vingt-deux énoncés, en exprimant meme la pensée qu il serait fort difficile de les rétablir (i).

Ces dix propositions, dont six concernent des figures rectilignes et les quatre autres le cercle, ne pouvaient suffire pour faire connaître le caractère général des Porismes d’Euclide.

En outre, R. Simson n’a pas recherché quelle avait pu être la pensée qui a dirigé le géomètre grec dans sa conception originale; il n a pas fait voir non plus comment cette doctrine des Porismes devait être si utile, nécessaire même pour la résolution des problèmes, comme le dit Pappus, et quels rapports elle pouvait avoir avec les propositions et les méthodes modernes, qui, ainsi que je le dirai plus tard, l’ont suppléée à notre insu.

Depuis , bien que la plupart des géomètres qui ont écrit sur les Porismes aient approuvé la divination de Simson, en y reconnaissant la pensée d’Euclide sur la forme propre à ce genre de propositions (a), néanmoins ils ne l’ont pas

(1) • I mcan those of lhe first book, for as to those of the two others, » excepting what may he incluJed in the second of the above-mentioned » Propositions, / believe it will be extremely di/jicult for anx bodjr to restore » them. » (Lettre adressée au docteur Jurin, secrétaire de la Société Royale, le I er février 1 7*23. V. Account of lhe Life and Writings ofB. Simson, by the Rev. William Trail, 1812; in- 4 °, p. ai.)

(2) Mathieu Stewart, Hutton, Playfair, Wallace, my lord brou gham, Lhuillier, J. Leslie, Davies, etc.— Outre le Mémoire inséré dans le volume de 1798

complétée, ou plutôt on ne voit point qu’ils y aient l'ail de nouveaux pas, ni en produisant quelques Porismes qui répondissent à d’autres énoncés de Pappus, ni en émettant quelques vues, soit sur le caractère général des propositions qui ont dû entrer dans le Traité d’Euclide, soit sur le genre d’utilité de cet ouvrage et les points de contact qu’il aurait avec iios théories et nos méthodes actuelles.

R. Simson et ses successeurs (i) sont donc loin d’avoir

des Philosophical Transactions de la Société Royale do Londres, sous le titre: General Theotems, chiefïy Vorisms, in the higher Geomelry, par lord Brougham, on peut consulter surtout les développements sur la Géométrie des Grecs et en particulier sur la doctrine des Porisnies, dans lesquels l'illustre savant est entré en faisant la biographio de Simson (V. Lives of Philosophers of the lime of George III. By Henry, Lord Brougham, F. 'R. S., member of the Institute of France, etc.)

(i) Nous n’entendons parler ici que des ouvrages antérieurs à 1 835, époque à laquelle nous étions fixé sur cette question des Porisnies et nous avions préparé le présent travail, comme on le voit dans une Note de V Aperçu historique, qui en contient une analyse (p. 274-284 ). Nous ne faisons donc aucunement allusion à divers écrits qui ont paru dans ces dernières années, à ceux notamment qui ont donné lieu à une polémique qui sc continue encore.

D'ailleurs, en parlant des successeurs de Simson, nous n'entendons- que ceux qui ont embrassé ses vues et sa doctrine, et il arrive, si je ne me trompe, que les auteurs des recherches les plus récentes, quoique différant entre eux de sentiment sur la question, se sont accordés à se prononcer contre le système de Simson.

Ces recherches, quels que soient le mérite et l'utilité qui s'y rattachent, n'ont pas pour objet, en fait du moins, de rétablir l'ouvrage d’Euclide: leurs auteurs paraissent s’y être proposé principalement de parvenir à une traduction du texte de Pappus plus satisfaisante que celles de Commandin, de Halley et de R. Simson, pour en tirer la signification du mot Porisme et le caractère propre des propositions ainsi nommées par Euclide.

Mais on ne peut se dissimuler que ce travail n’est qu’une partie de celui que comporte et exige le rétablissement de l'ouvrage même d’Euclide, et qu’il demande à être complété par de nombreux exemples de Porismes et par un ensemble de propositions répondant aux énoncés de Pappus.

Or c’est précisément ce recueil de propositions qui a toujours fait les difficultés du sujet depuis la divination de Simson. Cependant ce travail est nécessaire, on peut dire indispensable, non pas seulement aux yeux des géomètres qui sc proposeraient le rétablissement des trois livres de Porismes

dissipé toute l'obscurité qui enveloppait celle grande énigme. Peut-être ]>ourrons-nous dire plus loin la nature des dillicullés qui s’opposaient à l'intelligence des énoncés de Pappus et au rétablissement des propositions d’Euclidc.

$ II. — Recherches consignées dans \' Aperçu historique. — Rétablissement des borismes que comportent les énoncés de Pappus. — Caractère général de ces propositions. — Leur analogie avec les théories qui forment les bases de la Géométrie moderne.

Ayant dû présenter une analyse de l’ouvrage de Pappus. surtout des nombreux Lcmmcs relatifs aux Purismes d'F.uclide, dans Y Aperçu historique , où je traitais tle l'origine et du développement des Méthodes en Géométrie , j’ai été conduit à m’occuper, après tant d’autres géomètres, de la question des Porismcs. L’iutérèl du sujet m’a entraîné souvent dans des recherches plus prolongées que je ne 1 aurais voulu, excité par le désir de parvenir à porter un jugement sur le travail de Simson, et même à donner suite, s’il m’était possible, à celle divination qui paraissait comporter plusieurs questions essentielles, indépen-

d’Eticlido, comme on a rétabli plusieurs autres ouvrages de l’antiquité, mais même aussi au point de vue plus restreint de ceux qui s’attachent principalement à interpréter le texte de Pappus, et à y chercher le but et les bases de cette doctrine des Porismes.

Car, quel que soit le système que l’on adopte, on ne peut se dispenser, dans un travail de cette nature, d’en vérifier et d’en démontrer la justesse *. ce qu’on ne fera qu’en soumettant ce système à l’expérience pratique. Et ici cette expérience consiste à former, comme nous venons de le dire, un ensemble systématique de propositions, distinctes à certains égards des ibéorèmes et des problèmes, et répondant aux énoncés énigmatiques de Pappus et aux paroles de ce géomètre sur l’importance et l’utilité de l'ouvrage d’Euclide.

Telle est la véritable question des Porismcs. C’est pourquoi diverses tentatives qui no se sont pas complétées, en quelque sorte pratiquement, comme celles de Boulliati, de Kcnaldini, etc., sont restées infructueuses et ont laissé la question dans le même état.

dammenl du rétablissement de 1 ouvrage lui-même, comme je viens de le dire.

On avait remarqué dans les Lemmes de Pappus certaines traces de la théorie des transversales , telles que quelques propriétés relatives au rapport harmonique de quatre points et une relation d’involution dans le quadrilatère coupé par une droite (i).

Un nouvel examen de ces Lemmes m’y a fait reconnaître une autre proposition , plus humble en apparence peutêtre , et qui , par cette raison sans doute , avait échappé aux investigations antérieures, quoique, en réalité, elle ait une bien plus grande importance que toutes les autres. Il s’agit, en effet, de la propriété projective du rapport anharmonique de quatre points, qui se trouve démontrée dans six Lemmes différents ( 2 ) et dont, en outre, Pappus fait usage pour la démonstration de plusieurs autres Lemmes.

Ces circonstances, bien propres à fixer toute mon attention, pouvaient m’autoriser à penser que les propositions d’Euclide étaient de celles auxquelles conduisent naturellement les développements et les applications de la notion du rapport anharmonique, devenue fondamentale dans la géométrie moderne (3).

Parmi ces développements se présente en première ligne la théorie des divisions ho mo graphiques formées sur deux droites ou sur une seule, dont le caractère propre consiste

( 1 ) Poncelet, Propriétés projectives des figures \ p. xxxvi, xlii; 17 , 83, 92 .

(2) Lemmes III, X, XI, XIV, XVI et XlX. (Propositions 129, 1 36. i 3 7 , i^o, 1 l\i et l 4 ^). — Aperçu historique, p. 33 . — Traité de Géométrie supérieure, p. xxi.

(3) « Après avoir reconnu que la plupart des Lemmes de Pappus qui pais missent se rapporter au premier livre des Porismes d’Euclide pouvaient

>• se déduire de la proposition nous avons pensé que cette proposition

» pourrait bien aussi être la clef de tout ce premier livre de Porismes et » conduire à une interprétation des énoncés que Pappus nous a laissés. *• ( Aperçu historique, p. 3 q.)

ru ce cjue le rapport anharmonique de quai ce points dune division est égal à eelui des quatre points correspondants de l’autre division : ce qu’on exprime par des équations à deux, à trois et à quatre termes (i). •

Or, ces équations unefoisconnues, on nepouvait manquer de s’apercevoir que la plupart des énoncés de Pappus constituent des relations de segments telles que celles qui se déduisent de ces équations mêmes. Remarque importante, car elle devait faire espérer que ce pourrait être celle théorie fort simple des divisions homo graphiques qui donnerait cnün la clef des nombreux Purismes énoncés par Pappus et dont la signification avait résisté aux efforts de tant de géomètres et deSimson lui-même.

Et en effet, ce point de départ dans mes essais de divination m’a conduit assez aisément au rétablissement de la plupart des énoncés de Pappus, c’est-à-dire, à des propositions, souvent très-multiples, qui satisfont aux conditions exprimées par ces énoncés concis et énigmatiques. J’ai pu annoncer ce résultat dans X À perçu historique ( 2 ), me bornant alors à faire connaître deux Purismes très-généraux, dont l’un notamment suilil pour cmbiasscr dans ses nombreux corollaires une grande partie des énoncés en question (3).

Je reprends aujourd'hui ce travail. Le long retard qu il

(1) Géométrie supérieure, p. 81-101. — Aperçu hisl. , p. 18 1.

(2) « En prenant pour point de départ et pour base notre manière de con- » cevoir la doctrine des Purismes, nous avons obtenu assez naturellement » une interprétation des 24 énoncés de Purismes que n’a pas rétablis Simson. • ( Aperçu hist.j p. 279.)

( 3 ) « Les limites dans lesquelles nous devons nous renfermer ne nous » permettent pas d'énoncer ici les Purismes que nous avons trouvés comme b répondant au leste de Pappus. Mais nous allons donner deux proposi- * lions très-générales qui nous ont paru comprendre dans leurs nombreux co-

rollaircs les i 5 énoncés de Pappus appartenant au premier livre des Pt>- » rismes dTluclidc. Aperçu hist p. 279 )

éprouve, dû principalement à d’autres occupations, s'explique encore par la nature même du sujet. Car il (allait donner d’abord aux trois théories du rapport anharmonique, des divisions homographiqu.es et de V involution les développements dont étaient susceptibles les germes qui s’en trouvent dans les Lcmmcs de Pappus. C’est ce que j’ai cherché à faire dans le Traité de Géométrie supérieure, ouvrage dont ces théories mêmes forment les bases.

On ne verra peut-être pas sans étonnement que l’ouvrage si célèbre d’Euclide, dont une si profonde obscurité cachait la forme, le contenu, le caractère général et le but, non moins que les points de contact qu’il pouvait avoir avec nos méthodes actuelles, renfermait précisément les germes de ces méthodes elles-mêmes et plusieurs des propositions qui en forment les applications les plus immédiates et les plus naturelles.

Il fallait, pour être à même de soupçonner ce caractère spécial de l’ouvrage grec et rétablir les nombreuses propositions qu’il renfermait, connaître préalablement toutes les conséquences de la notion du rapport enharmonique et les équations diverses qui servent à les exprimer, comme je l’ai dit dans X Aperçu historique (1).

C’est ce qui explique, je crois, comment il a paru toujours si difficile jusqu’à ces "derniers temps, je pourrais dire presque impossible, de donner une interprétation de la plus grande partie des énoncés de Purismes laissés par Pappus, puisque la plupart des propositions qui satisfont à ces énoncés se rapportent à un genre de relations qui , sauf quelques cas les plus simples , n’étaient pas encore entrées dans la géométrie moderne, et qui chez les Anciens ne se

(i) • Chacune de ces équations peut se transformer de différentes ma- » nières en d’autres qui auront deux, trois ou quatre termes. Plusieurs de » ces transformations sont nécessaires pour donner l’interprétation des » Porismes du premier livre d’Euclide » ( Aperçu hist., p. 281.)

sont peut-être rencontrées que dans l'ouvrage perdu d’Euelide.

Ce caractère du Traité des Porismes semble bien propre à justifier pleinement les paroles de Pappus qui proclame le mérite éminent de cet ouvrage, recueil ingénieux de propositions fécondes, indispensable à tous ceux qui veulent se livrer aux recherches mathématiques.

On reconnaît encore combien les géomètres, sur la foi de Pappus, ont eu raison de déplorer la perte de cet ouvrage, et combien celte perte a été préjudiciable aux progrès des mathématiques. Car si ce livre des Poristnes nous fût parvenu, il eût donné lieu depuis longtemps à la conception et au développement des théories élémentaires du rapport anharmonique , des divisions homo graphiques et de l'/m’o/ut ion * et l’on ne doutera pas que ces théories nefusscnl entrées sans hésitation ni objections, avec l'autorité due au nom d’Euclidc, dans les ouvrages destinés à l'enseignement, comme formant les bases naturelles de la géométrie générale.

§111. — Texte de Pappus relatif aux Porismes.

« Ap rès les Contacts sont les Porismes d'Euclide, en trois livres, collection ingénieuse d'une foule de choses qui servent à la solution des problèmes les plus difficiles, et que la nature fournit avec une inépuisable variété.

» Il n’a rien été ajouté à cet ouvrage d'Euclide, si ce n’est que depuis quelques géomètres peu expérimentés ont donné de nouvelles rédactions de quelques-uns de ces Porismes. Bien cpte chacune de ces propositions soit susceptible d'un certain nombre de démonstrations, comme nous le faisons voir, Euclide n’en donne qu’une, qui est toujours la plus claire.

» Les Porismes renferment une doctrine subtile, mais

naturelle et nécessaire, surtout très-générale et d’uue étude très-agréable à ceux qui savent voir et trouver.

» Les diverses espèces de ces Porismes ne sont, ni des théorèmes, ni des problèmes, mais sont, en quelque sorte, d’une forme intermédiaire; de façon qu’on peut les présenter comme des théorèmes ou comme des problèmes.

» Il est résulté de là que, parmi beaucoup de géomètres, les uns les regardent comme des théorèmes, et d’autres comme des problèmes, n'ayant égard qu’à la forme des énoncés.

» Mais les définitions données par les Anciens prouvent qu’ils ont mieux compris les différences qui existent entre ces trois genres de propositions. Ils disaient, en effet, que: » Le Théorème est une proposition où l’on demande de démontrer ce qui est proposé.

» Le Problème est une proposition où l’on demande de construire ce qui est proposé.

» Le Porisme est une proposition où l’on demande de trouver ce qui est proposé (i).

>t Cette définition des Porismes a été changée par des géomètres modernes qui, ne pouvant pas tout trouver, mais conservant les éléments de cette doctrine, se contentèrent

(i) Nous exprimerons les termes îrupiTyos et iropiÇw dont Pappus fait usage par le mot trouver , parce que ce mot, que nous aurons à employer fort souvent, est consacré presque exclusivement dans les recherches mathématiques, quelles que puissent être les nuances qui aient lieu dans la nature des questions. Toutefois les expressions acquérir, se procurer rendraient mieux ici l'intention précise de Pappus. En effet, il ne s’agit pas dans les Porismes de trouver une chose absolument inconnue comme dans les problèmes en général: ce qu'il s’agit de trouver, c’est une partie seulement d’une chose connue et désignée dans l’énoncé, mais incomplètement; c’est, par exemple, la grandeur ou la position de cette chose. Question, comme on voit, qui présente une nuance avec le problème proprement dit. Voilà dans quel sens nous nous servons ici du mot trouver. On verra plus Loin les considérations sur lesquelles se fonde notre manière d’envisager la doctrine des Porismes et comment elles permettent, si nous ne nous trompons, de lever les difficultés du sujet.

do prouver que la chose cherchée existe, sans la déterminer

» F.t quoiqu'ils fussent condamnés, tant par la définition que par les propositions mêmes, ces géomètres donnèrent du Porisme, d’après une considération particulière, cette définition : ce qui constitue le Porisme est ce qui manque à l'hypothèse d'un théorème local » (en d’autres termes, le Porisme est inférieur, par l’hypothèse, au théorème local; c’est-à-dire que quand quelques parties d’une proposition locale n’ont pas dans l'énoncé la détermination qui leur est propre, cette proposition cesse d’être regardée comme un théorème et devient un Porisme).

» Les lieux géométriques sont une espèce de ces Porismes : ils abondent dans les livres du lieu résolu. Séparés des Porismes proprement dits, on les a réunis sous des titres particuliers, et on en a formé des traités distincts, parce que cette espèce est bien plus nombreuse que les autres; car les lieux sont plans, solides ou linéaires : il v a aussi les lieux aux moyennes.

» Il arrive encore aux Porismes de présenter desénoncés très-raccourcis, parce que beaucoup de choses y sont sousentendues. Il est résulté de là que beaucoup de géomètres, ne les considérant que sous une partie de leurs faces, en ont ignoré des points des plus importants.

» Il est difficile de réunir plusieurs de res Porismes sous un même énoncé, parce qu’Euclide n’en a pas donné beaucoup de chaque espèce, mais seulement un ou quelquesuns comme exemples. Cependant il en a placé, au commencement de son I er livre, dix qui sont analogues entre eux; ils appartiennent à cette espèce des lieux la plus abondante de toutes. Nous avons reconnu que ces dix propositions peuvent être renfermées dans un seul énoncé, savoir : Étant données quatre droites se coupant deux h deux, si trois des points (f intersection situés sur l’une d'elles, ou deux seulement dans le cas du parallélisme,

sont donnés (c’cst-à-dire restent fixes), et que des trois autres deux soient assujettis à rester chacun sur une droite donnée , le dernier sera situé aussi sur une droite donnée de position.

» Il s’agit ici de quatre droites seulement , dont pas plus de deux ne passent par un même point. Mais on ignore que la proposition est vraie pour un nombre quelconque de droites. La voici : Si plusieurs droites, en nombre quelconque, se rencontrent , mais pas plus de deux en un même point ; que tous les points situés sur une d’elles soient donnés, et que chacun de ceux qui appartiennent à une autre se trouve sur (décrive) une droite donnée de position ; ou plus généralement, si plusieurs droites, en nombre quelconque, se rencontrent, mais pas plus de deux en un même point ; que tous les points situés sur une de ces droites soient donnés, et que parmi les points d'intersection des autres, lesquels forment un nombre triangulaire, il s’en trouve autant qu'il y a d'unités dans le côté de ce nombre triangulaire , assujettis à rester situés chacun sur une droite donnée de position , pourvu que de ces points il n'y en ait pas trois qui soient les sommets d'un triangle (formé par les droites mômes dont ces points sont les intersections), chacun des autres points restera -situé aussi sur (décrira) une droite donnée de position.

» Il n’est pas vraisemblable que l’auteur des Éléments ait ignoré ectte extension ; mais il aura voulu seulement en poser le principe. Car il parait, dans tous ses Porismes, n’avoir eu en vue que de répandre des principes et le germe d’une foule de choses importantes.

» Ce n’est pas par les différences des hypothèses qu’il faut distinguer les Porismes, mais par les différences des résultats ou des choses cherchées. Les hypothèses, en effet, sont toutes différentes et constituent des spécialités; mais des résultats ou des choses cherchées, chacun se trouve être

idcnlh|iic ou unique dans beaucoup d hypothèses différentes (i).

I er l.irrc do» Portâmes.

» Voici donc comment il faut classer les choses cherchées dans les propositions du I" r Livre. La figure est au commencement du N 11 1 ' (a).

I. » Si de deux points donnes on mène deux droites sc coupant sur une droite donnée de position, dont l’une intercepte sur une rlroile donnée de position un scgmejit compté à partir d'un point donné, l'autre formera aussi sur une antre droite un segment a) an t arec le premier une raison donnée.

» Et dans les autres :

IL Que tel point est situé sur une droite donnée de position.

III. Que le rapport de telle droite à telle autre droite est donné.

IV. Que le rapport de telle droite à telle abscisse est donné.