AS A' S

En effet, les cordes de contact des tangentes au cercle menées par les trois points A, ///, S passent par un même

point (Porisme CLXXVII),et rencontrent SX' en A', m', S'. Mais les droites menées du centre du cercle aux points A, m, S sont perpendiculaires à ces cordes, respectivement. On a doue deux systèmes de droites passant par deux points fixes, et faisant entre elles, deux à deux, des angles droits. Or les deux droites SX, SX' sont elles-mêmes à angle droit ; et il en résulte, d’après le Porisme CLXXXYI , que les points A, m, S et A', m', S' divisent les deux droites SX, SX' en parties proportionnelles, c’est-à-dire que l’on a

Am A' m' __ Am AS

7s — Fs 7 ’ ou AV — Fs 5 '

IX e Genre. (Voirp. 149.)

Porisme CCXVI. — Si de chaque point m pris sur te prolongement d’une corde EF d’un cercle on mène deux tangentes, et qu’on joigne les points de contact par une droite qui rencontre ta corde EF en un point m', le milieu du segment mm' étant n : le rectangle Em.Em' sera au segment En dans une raison donnée p.

Cela résulte des Lemmes XXVIII et XXXIV; car, d’après le premier de ces Lemmes, on a l’équation

i W = FÏ’

et par conséquent, d’après le second,

Em.Em' = En. EF, ou

— T- = El' .

En

Donc, etc.

XXIX' Genro. (Voir p. 257.)

Poiusme CCXVII. — Deux droites rectangulaires SX, SX' étant données dans le plan d'un cercle , si de chaque point m de la première on mène des tangentes au cercle, et quon joigne les points de contact par une droite qui rencontrera la seconde droite SX' en un point m! : il existera un point O, tel, que chaque droite mm 'fera un angle donné avec la droite menée du point m à ce point O.

Et si le point de concours S des deux droites données SX, SX' est situé sur la circonférence du cercle , la droite mm' sera parallèle à une droite donnée de direction.

Cette Proposition est une conséquence du Porisme CCXV et du CLV*. Car, d’après le CCXV'', les deux points ni, m' forment deux divisions semblables et par conséquent le Porisme devient le même que le CLV c .

Il' Genre. (Voir p. 117.)

— Étant pris deux points P, Q sur une tangente à un cercle, on fait tourner autour du premier une droite Pn qui rencontre le cercle en deux points, et l’on mène les tangentes en ces points, lesquelles sc coupent enn' : le point de concours m des droites Pn, Qn est sur une droite donnée de position.

Soient S le point de contact delà tangente sur laquelle sont pris les points P, Q ; B le point de contact de la seconde tangente issue du point P. Le point n' est situé sur la corde SB (Corollaire du Porisme CLXXVII). Supposons le point n de la droite P« situé aussi sur SB : d’après le Porisme CLX,

Porisme CCXVIII.

les points n et n!. seront liés par la relation

S « S n' nB = VÂ'

puisque le point n est situé sur la corde de contact des tangentes menées par le point n'.

Soient a , a' les points analogues à n et. n', pour une autre droite menée par le point P. On a, de même,

Ces deux équations donnent

Et cette relation prouve, d’après le Corollaire III du Porisme XXIV, que les points d’intersection des trois droites P a, PB, Pn, par les trois Qa', QB, Q«', une à une, respectivement, sont en ligne droite. C’est-à-dire que le lieu du point m est une droite qui passe par le point B.

Donc, etc.

PoniSME CCXIX. — Étant donnés un cercle et deux

droites RA, RP, dont l'une rencontre le cercle en deux points A , B, et dont r autre passe par le point de concours P des tangentes en ces points ; une autre tangente quelconque aM rencontre ces deux droites en deux points M, N par lesquels on mène les tangentes Ma', Na": le point de con-

( 3ao )

cours rie ces tangentes est sur une droite donnée de position .

Cette droite est la corde de contact des tangentes au cercle menées par le point R.

En eflet, cette corde passe par le point P (Porisme CLXXVII, Corollaire), et rencontre la droite AB en un point Q. La corde au' passe de même par le point P et rencontre la corde AB en un point a : et l'on a

(Porisme CLX.)

Les deux tangentes Ma, Ma' rencontrent la droite PQ en deux points ni, m' : et de la relation précédente, en vertu du Lcmme XIX, on déduit celle-ci :

Q/h Qm'

D’autre part, la corde de contact ao" passe par le point Q et rencontre RP en un point P,, qui fournit la relation

En appliquant encore le Lennne XIX, et en appelant m" le point où la tangente Na" rencontre PQ, on obtient

P ni" Q m"

Si maintenant on compare cette équation qui détermine le point ni", à celle qui a été établie tout à l’heure pour le point ni', on en conclut que

P rn' P m"

Qm' Q m"

Ce qui prouve que les deux points m', ni" coïncident. Donc les deux tangentes Ma', Na" se coupent sur la droite PQ.

Donc, etc.

Pouismf CCXX. — Si sur les raj ans menés d’un point O aux différents points M d’une droite L, on construit des triangles OM m sent- • blables à un triangle donné : leurs sommets m seront sur une droite donnée de position.

En effet, l’angle en O de chaque triangle OMm est de grandeur donnée il, et chaque côté Ont est dans un rapport donné avec le côté OM. Il s’ensuit que si, autour du point O, on fait tourner tous les côtés O ni, d’une même quantité angulaire égale à il, pour les amener en Ont sur les côtés OM, les points m! seront sur une droite L' parallèle à la droite L; puisque le rapport de OM à Ont' sera constant. Or les côtés Ont ont tourné de l’angle il en conservant leurs inclinaisons respectives, et comme une figure de forme constante : donc le lieu des points ni est une droite qui est venue s’appliquer sur la droite L'. Cette droite fait avec celle-ci un angle égal à l’angle il; et sa distance au point O est à la distance de la droite L à ce point, dans le rapport connu des côtés O m, OM.

Ainsi le Porisme est démontré.

Remarque. Cette question est comprise dans l’énoncé général suivant, par lequel Pappus résume en grande partie, selon ce qu’il nous apprend, les Propositions du premier Livre des lieux plans d’Apollonius.

Si par un même point, ou par deux points différents, on mène deux droites qui soient coïncidentes ou parallèles, ou qui fassent entre elles un angle donné, et que ces droites soient dans un rapport donné, ou bien qu elles comprennent un espace donné : lorsque V extrémité de la première droite sera sur un lieu plan (une droite ou un cercle ) donné de position, l’extrémité de la seconde droite sera aussi sur un autre lieu plan donné de position,

ai

qui sera tantôt du même genre que le premier, et tantôt de genre différent; tantôt placé semblablement au premier , par rapport à la droite ( qui joint les deux points ) , et tantôt placé différemment. Ces divers résultats dépendront des différences des hypothèses.

Simson a développé cel énoncé général dans son Traité des Lieux plans d’Apollonius, et il en a fait le sujet de seize Propositions (1Y-XIX). Ce nombre peut paraitre, de nos jours, considérable. Cependant il est à croire, d’après les expressions de Pappus, et le grand nombre (cent quarantesept) des Propositions des deux Livres des lieux plans , qu’Apollonius en avait employé bien plus de seize pour exposer avec sa rigueur habituelle toutes les circonstances résumées dans cel énoncé.

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