DC -+- C
îT - 1 tÿr n " I) m = DB • — — : * un
Par conséquent,
Dm = DB • — — 1 ou D/».Dm'=DB.
Ce qui démontre le Porisme.
Observation. La démonstration du Lemme donnée par Pappus est assez pénible. Voici une démonstration directe du Porisme. Elle est fort simple, et la démonstration du Lemme en résulte immédiatement.
On a d’après le Lemme XX (proposition i45),
CA.CB = CM.CN ou ^ = ~ •
Soit O le milieu de mm' ; CO est parallèle à MN, et les triangles semblables ainsi formés donnent
CA OA. CN Om
CM Ôm 01 CB OB
Donc
OA 0 ni J 1 rvn
- — = — ou Om = OA.OB.
Om OB
Cette équation, en vertu du Lemme XXXIV dont on peut
ao. .
mvoq
uer la réciproque, entraîne celle-ci :
ni B
ni’ A
l’oniSME CC\ 111.
Et Je cette dernière, en vertu du même Lemmc, on conclut DB =Dm.D/n'.
De chaque point M d’une tangente à un cercle, on mène une seconde tangente et une droite passant par un point donné P; cette tangente et celle droite rencontrent une autre tangente HG en deux points m, m' : on peut trouver deux points I, J' sur HG, et un espace v, tels, que le rectangle Im .3' m! sera toujours égal à v.
En effet, concevons les points M, A, B, C de la droite EF. Les tangétales menées par ces points rencontrent la tangente HG, en m, a , b , c, et les droites menées des mêmes points au point P rencontrent cette même tangente en m 1 , a', b c.
On a, d’une part,
!Ü4: : -, > (Porisme CXXXI, Corollaire.)
MB CB mb cb '
et d'autre part,
Ï£:§5 = £p-- 7F < l ~ UI ’ Coro,,airc *• P’ 8a >
Donc
ma ca m a c a
ml ’ cb iri b' ' c' b'
ma . m' b'
ca .c' b'
m b. ni' a' cb.c'a'
Celte équation prouve d’après le PorismeXCIlI (t), qu’it existe deux points I, J' tels, que l’on ait
lin .J' m! = conslautc = v.
Pour déterminer ces points, on fait d’abord passer par le point P, parallèlement à GH, une droite qui rencontre EF en /; la tangente menée par ce point i coupe GH en I. Ensuite ou obtient le point J', en menant la tangente parallèle à GH, et par le point j où elle rencontre EF, la droite j P; cette droite coupe GH au point cherché J'. On détermine l’espace v en prenant la tangente Mm dans une position particulière. Par exemple, qu’on suppose le point M en E, et soit F/ le point où la droite EP rencontre HG; on aura v t= IG . J'e'. Si l’on place le point M en G, et qu’on appelle g le point de contact de la tangente HG, on aura v = Ig.J'G.
Porisme CCIX. — Si autour d'un point p on fait tourner une corde MM' d'un cercle , et que. d'un point P de lu circonférence on mène PM, PM' qui rencontrent une droite fixe DX en deux points m, m' : il existera sur cette droite un point O, tel, que le rectangle Om.Onx' sera constant.
(i) Dans ce Porisme XCIIl, les deux séries de points m, a, b,. . , m', b ',. . , sont supposées sur deux droites différentes; mais il est évident que la relation démontrée subsiste quelle que soit la position relative des deux droites, et conséquemment quand elles coïncident, comme cela a lieu ici.
En effet, soient les trois cordes p M M ' , p AA', p CC', dont la troisième est menée de manière que PC' soit parallèle à DX. Soit F le point où la droite pP rencontre la circonférence. Les quatre droites PM, PA, PC, PC' rencontrent respectivement les quatre PM', PA', PC', PC en quatre points p, a, y, y, situés sur une même droite (Porisme CLXXH).
Désignons par m , a, O, les points où les trois droites PM, PA, PC coupent DX ; il existe entre ces points et les quatre p, «, y, y,, la relation
— : — • (Lemme XI.
Appelons pareillement p', a', y, y\ les points où les quatre droites qui partent du point P coupent DX; il existe encore entre ces points et les quatre p, a, y, y, la relation
l-r-, 1 * (Coroll. I du Lemme III, p. 82 .)
Enfin les quatre droites PM', PA', PC', PC font entre elles les mêmes angles que les quatre P'M', PA', PC', PC qu’elles rencontrent sur la circonférence; et l’on en conclut, d’après les Corollaires II et III du Lemme XI (p. 83), que les points déterminés sur DX par ces deux systèmes de quatre droites ont entre eux la relation
7 y . yy
7' a! ‘ y\ a' 0 ni
Il résulte de ces trois égalités que
ou Otn.Qin — Oa.Oa'.
Ce qui démontre le Porisme.
Porisme CCX. — Un cercle est circonscrit à un triangle PQU ; cl autour tics riaux sommets P, Q on fait tour-
ner deux droites PM, QM qui se coupent surin circonjérence et rencontrent , respectivement, deux droites Jixes AX, A'X' en deux points m, m'; si les parallèles à ces droites menées par le S points P et Q ne se coupent pas sur la circonférence : on 'pourra trouver sur ces droites deux points I et J', tels, que le rectangle Im.J'm' sera donné.
Qu’on fnène la corde Q/ parallèle à A'X', et Pt qui rencontre AX en I; puis la corde P; parallèle h AX, et Q; qui rencontre A'X' en J'; ces deux points I et J' sont les points cherchés, r, r' étant les points d’intersection des droites AX, A'X' et des côtés PR, QR du triangle, respectivement, on aura
Im.J'i
Ir.J',
En effet, les quatre droites PM, PR, Pt et P; font entre elles des angles égaux à ceux des droites QM, QR, Qj et Qy. Par conséquent, si l'on conçoit que ces deux systèmes de quatre droites coupent uue transversale menée arbitrairement en deux systèmes de quatre points m,, /-,, 1,, J k et tn\, r\ , I, , JT, on aura entre ces points l’équation
ITT : T7T :
(Coroll. III, p. 84- )
Mais d’après le Corollaire II (p. 83), le premier membre de cette équation est égal à et le second à jr^r -
Donc
lui
Jv’
ou lm . J'm' = Ir. J'i 1 '.
Ce qu’il fallait démontrer.
Observation. Si les parallèles à A X et A'X', menées pai
les points P et Q, se coupaient sur la circonférence, le Porisme n’aurait pas lieu, parce que les deux points I et J' n'existeraient plus; les droites qui les déterminent se trouvant alors parallèles, respectivement, aux droites AX, A'X'. Ce qu’on exprime dans la Géométrie moderne en disant que les points 1 et J' sont à l’infini. Ce cas a été le sujet du Porisme CLXXXYI.
XXII* Genre. (Voir p. 22g.)
Porisme CCXI. — Étant donnés deux droites SX, SX'
non rectangulaires , dans le plan d'un cercle , et deux points A, B sur la première SX; si de chaque point m de SX on mène deux tangentes au cercle, et quon joigne les deux points de contact par une droite qui rencontrera SX' en un point m': on pourra trouver deux points A', B' sur cette seconde droite donnée , tels , que le rectangle Ani.B'm' sera au rectangle A m . B m dans une raison donnée.
Que par chacun des points A, B on mène deux tangentes au cercle, les cordes de contact rencontreront SX' aux points demandés A', B'. Soit J' le point où le diamètre du cercle perpendiculaire à SX coupe celte même droite SX'; la raison constante est -jjTj,; c’est-à-dire qu’on aura
En effet, les cordes de contact des tangentes menées par les trois points A, B, m et le diamètre perpendiculaire à SX, qu’on peut regarder comme la corde de contact des tangentes parallèlesà SX, passent par un même point (Porisme CLXXYII). Or ces droites sont perpendiculaires respectivement aux droites menées du centre du cercle aux points A, B, m , et parallèlement à SX. On a donc deux faisceaux de quatre droites, dont les quatre dernières font entre elles, deux à deux, les mêmes angles que les premières. Ces deux faisceaux sont coupés, respectivement, par les deux droites SX, SX', en des points qui, d’après les Corollaires du Lemmelll, p. 83, ont entre eux la relation
A ni A' m’ < A' J'
Ym ~ BV : B' J' ou
A in . B' m’ B' J'
Bm.AV A' J'
Ainsi le Porisme est démontré.
Observation. On conçoit que la considération des deux points m et m! peut donner lieu à beaucoup d’autres Porismes qui se rapportent à la plupart des Genres du premier et du second Livre. Les deux points variables m, m! peuvent être pris sur une même droite, car il est permis de supposer que SX' coïncide avec SX. Il nous suffit d’indiquer ces Porismes, dont les démonstrations n’offriront aucune difficulté, et qui néanmoins paurront faire le sujet d’exercices intéressants.
V' Genre. (Voir p. .36.)
Porisme CCX1I. — Autour de deux points P, Q d'un cercle on fait tourner deux droites qui se coupent sur la circonférence , et rencontrent une tangente fixe en m et m'; un point O étant donné ainsi qu’une ligne a : il
existera une droite donnée de position, telle, que le segment pp' formé sur cette droite par celles qui joignent Je point donné O et les points m, m', sera toujours de la longueur donnée a.
En efl’et, on sait (Porisme CC) que l’on a
A ni .km' An. An'
— = consl. = ; — 5
mm'
== consl. =
nn' ’
nn
An
m' n A tn'
nm'
Si d’un point donné O on mène des droites aux cinq points A, m, m n et et qu’une droite parallèle à la première OA les coupe aux points p , p' , v, i/, on aura (en vertu du Corollaire II, p. 83) les deux égalités
Il faut donc inscrire dans l’angle niOm 1 une droite de la longueur donnée a et parallèle à la droite OA. Cette droite satisfera à l’énoncé du Porisme.
Donc, etc.
Porisme CCXIII. — Si par le centre de similitude de deux cercles on mène une droite qui les rencontre en quatre points : les tangentes en ces points forment un pa-
rallélogramme dont la diagonale, ee' est sur une droite donnée de position.
En effet, les tangentes en a et a! sont parallèles, puisque
le point S est le centre de similitude des deux cercles (Porismc CLXXXIII, Remarque ); les angles cab et c'a! b' sont donc égaux. Or l’angle dV a' est égal à l’angle da!b'. Donc les angles en a et b' du triangle eab' sont égaux, et, par conséquent, ce triangle est isocèle. Ainsi ea~eb', et pareillement d a! = d b. De sorte que la diagonale ee coïncide avec la droite lieu des points d’où l’on peut mener aux deux cercles des tangentes égales (Porisme CLXIII). Ce qui démontre le Porisme.
VI' Genre. (Voir p. 139.)
Porisme CCXIV. — Étant données dans un cercle deux
cordes SC, SC' qui partent d’un même point S de la circonférence , on mène de chaque point m pris sur le prolongement de SC deux tangentes au cercle ; la corde de contact rencontre SC en un point m' :
la droite mm' passe par un point donné.
En effet, concevons que le point m prenne deux positions A, B sur la corde SC, puis vienne en S; les quatre cordes de contact, dont la dernière sera la tangente eu S, passeront par un même point (Porisme CLXXVII) et seront perpendiculaires aux droites menées du centre du cercle aux quatre points m, A, B, S. On aura donc deux faisceaux
de quaire droites, dont les dernières qui parlent du centre du cercle font entre elles, deux à deux, des angles égaux à ceux des premières. Par conséquent, ces deux faisceaux de quatre droites rencontrent, respectivement, les deux droites SC' et SC en deux systèmes de quatre points ml, A', B', S et m, A, B, S, entre lesquels a lieu l’équation suivante :
SA ' m A SA' /»' A'
SB «Tb — SB' m' B' -
(Corollaire III, p, 84 .)
On conclut de là, d’après le Corollaire I du Porisme XXIV, que les trois droites AA', BB'et mm' passent par un môme point. c. q. f. d.
VII e Genre. (Voir p. i44-)
Porisme CCXV. — Étant donnés deux droites rectangulaires SX , SX' dans le plan d'un cercle , et un point A sur la première, si l'on mène de chaque point m de celle-ci deux tangentes au cercle , puis la corde de contact qui rencontrera la seconde droite en un point m' :
on pourra trouver sur cette droite un point A', tel, que le rapport des segments A m, A'in' sera donné.
La corde de contact des tangentes menées par le point A coupe SX' en A' qui est le point demandé. Soit S' le point où la corde de contact des tangentes menées par le pointS coupe SX' : on aura
