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du
tirage de chaque uarn.
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ÉCHELLE •le prrciiioB.
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de» pmbahillM» à partir du groupe le plu» probable.
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du tir. île rhaqor T,ikl, C.
B 44*1 boule» blanches et 555
noires. .
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Le tableau de la page 90 et l'échelle des possibilités qui précède, donnent simplement les coefficients numériques dans le développement du binAme. Il serait donc superflu de s’y arrêter ici , s'il ne devenait très-dillicile et même impossible de calculer ces rocllicienls par les
ÏOTES.
moyens ordinaires, quand le développement du binAme doit se faire à une puissance très-élevée. Il serait inutile d'ailleurs de calculer sao coefficients, puisque -o A «o seulement doivent être employés.
Je vais indiquer la méthode de calcul que j'ai suivie, et je ferai voir ensuite comment, d'un nombre de chances limité, on peut passer au cas d’un nombre de chances illimité et embrasser le problème dans sa plus grande généralité.
On sait que le développement du binAme à la puissance m, donne:
fii-v i>)“ = a"
m m (ni — I)
Quand on considère a et b comme les probabilités de deux événements simples A et B, on sait encore que :
a* désigne la probabilité que, sur m
épreuves, Aarrivera
m fois.
ni
m — 1 fois.
û 1 nn»
m — 2 fois,
ni(m — 1) (m — n-i-1)
m — n fois.
Quand les deux probabilités a et 6 sont égales, comme je l’ai supposé dans toute cette note , le développement se réduit aux coefficients des différents termes, et l’on a :
Le coefficient de chaque terme désigne le nombre de chances que
chaque événement composé a pour lui , et le nombre total de ces chances se trouve représenté par :
On reconnaîtra d’abord que le nombre total des chances doit être considérable, quand m est un nombre très-grand. En effet, en [tassant aux logarithmes, on a :
log. x” = o, soins ni;
par conséquent s" se trouvera représenté par un nombre qui a environ autant de chiffres qu’il y a d'unités plus une, dans ni multiplié par 0 , 3 .
Maintenant voici la marche qui a été suivie pour former l'échelle des possibilités. Considérons d’abord que le terme général dans le développement du binôme est :
mlm l)(ni — 2) (ni — n -+- 1)
et que le terme suivant serait
Or, le rapport de ces deux quantités, que je représenterai par y. et y„ +l , est
pour passer d’un terme au suivant, il suffira donc de multiplier le terme connu par la fraction puisque
Or, jai pris, pour unité, le terme du milieu dans le développement du
