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Lettre XVII, page 116.
a Comparée à la théorie des balances ou à celle des leviers en mécanique, la théorie des moyennes offre des analogies très-curieuses. »
On a différentes longueurs entre lesquelles on veut prendre une moyenne. La longueur A s'est répétée un nombre p de fois; la longueur A', un nombre p' de fois , et ainsi de suite. Si M est la moyenne
NOTES
de toutes ces grandeurs , on doit avoir
M(P+P+P" + p'" ■+■ etc.) = A p a- A 'p' -+- A "p" A"'p"' etc.
Mais on peut poser
A =■= M — a, A' = M — a . A" = M — a", etc.
a, a’, a", etc. , étant les distances à l'extrémité de la moyenne M, tandis que A, A' , A", etc., sont les distances à une origine commune. La substitution donne
A p -+- A ’p ■+■ A "p" ■+■ A'"p"’ ■+■ etc. = M(p+p' + p"-t- p" -+- etc.) — ( ap ap' -t- o"p" -+- etc.).
En vertu de la première équation , on aura
ap ■+- a'p' + a"p" ■+• a"'p"' -+- etc. = 0.
Sous le point de vue de la mécanique, les moments statiques ap, a'p’, a"p" , se font donc équilibre autour du point extrême de la moyenne M , qui répond au centre de gravité.
La première équation montre de plus qu'à tous les leviers A, A’, A", A'", etc. , chargés respectivement de poids proportionnels aux nombres p, p' , p", p'", cl placés à leur extrémité opposée à l'origine commune, on peut substituer un seul levier M chargé de la somme de tous les poids p,p\ p",etc.
Lettre XVllI, page 122.
« C'est la grandeur de l’erreur probable qui nous servira désormais de module de précision. »
La surface de la courbe de précision est représentée par I, comme
NOTES
formant la somme de toutes les probabilités relatives au même événement. Nous avons vu qu'on nomme erreur probable , celle représentée par l'abscisse qui correspond à la demi-surface de la courbe; ainsi , des deux cfttés de l’ordonnée maximum aa, et b des distances égales au et au', il faut concevoir deux ordonnées égales up et U p‘ qui comprennent entre elles une portion u'upa'p' de la surface équivalente b celles qui se trouvent au delà de ces mêmes ordonnées jusqu'aux dernières limites de la courbe. Dans la première tombent les plus petites erreurs ; on peut la représenter par A -t- A', et l'autre par B -r- B'; à cause de la symétrie de la courbe A = A' et B = B'. Or, on peut prendre les deux portions de surface A et B dans différents rapports, de manière, par exemple, que B soit à A comme I esta 1,2, 4, 8, 16, etc. La portion de surface A qui correspond aux moindres erreurs, sera successivement J, " > î • a ’ {f , etc., de la demi-surface Sdc la courbe, c’est-à-dire que l'ordonnée pu s'écarte successivement de a a'. Désignons par l’ le rapport de A à la demi-surface de la courbe, ou à J-, et par r l'abscisse ou, ou l'erreur qui lui correspond , nous pourrons former le tableau suivant ‘ :
IUPPOIIT
entre
tu ruannti m starter
D et A.
y l'eBREUR eu
ta mm Dits l'iaiui
prddiion.
GRAJDKUn
de
l'erreur * par rapport
t’taaara mmuu US.
W MIIM
LA DEII-SUnrACE 4e la routbe H.
Ce liltlêiu est emprunte A l'ouvrage allemand de M H «geo, p. 57.
NOTES
On voit qu'on peut parier i contre I, qu'il y aura autaiil d'erreurs plus grandes que d'autres plus petites que l'erreur probable a. On peut parier 1 contre 2 que l'erreur sera 1,43 de l’erreur probable; 1 contre 4 que l'erreur sera 1,90 de l'erreur probable; et 1 contre 1044 que l’erreur sera 4,88 fois l'erreur probable.
Du tableau précédent, au moyen de l'interpolation , on déduit le suivant :
OS
