DÉPASSE H A PAR

contre 1

■ I u = erreur probable.

id. 1

ht. 1

id. I

id. 1

id. 1

On peut donc parier 20000 contre 1 que l'erreur ne dépasse pas six fois l'erreur probable.

L'ordonnée p», qui correspond b l'erreur probable, étant comparée à l'ordonnée maximum de la courbe, vaut 0,84330 d'après la table C, indiquant la probabilité relative de chaque tirage. En désignant la première ordonnée par p et l'ordonnée maximum par a , on a donc

Aux deux valeurs égales de p correspondent les erreurs probables ■+■ u et — u.

Dans une série d'observations, comme nous l'avons vu, les erreurs se distribuent proportionnellement aux grandeurs des ordonnées de la courbe. Quand une fois l’on a su déterminer l'erreur probable, on reconnaît facilement, par le tableau précédent, la probabilité d'avoir fait une erreur de grandeur donnée.

NOTES

Lettre XVIII.

Soient x, x', x”, x”', etc., les résultats d'observations qui méritent une égale confiance, leur moyenne arithmétique sera la valeur la plus probable du nombre cherché *. Elle est

-e etc.

N est le nombre des observations ; Ix est leur somme. Soit t la différence entre notre moyenne X et une valeur particulière x, on aura

les quantités e, t", peuvent être considérées comme les erreurs des observations particulières. Écrivons

I**— t* -t- e* -e- t''* t'"* etc.;

Ea quantité

est le poids (pondus) de la valeur X, c'est-à-dire le poids de la valeur delà moyenne de toutes les quantités, x, x', x",x"'... On voit sans peine que P sera d’autant plus grand, que le nombre N des observations sera plus considérable, et que les erreurs t , t', e" seront moindres.

Nous remarquerons que les quantités f, t\ e" sont les abscisses, et les quantités x, x', x",.... les ordonnées de notre courbe de possibilité.

Celle note ni estrade partiellement dit dirtiumiaiic île Ciehlcr , arlalc // uhrschemlushkctti- Rechutât çï et de l'ouvr.gc de il a g eu.

NOTES

Quand les chances pour les erreurs en plus sont égales aux chances pour les erreurs en moins, les erreurs positives et négatives so placent symétriquement des deux côtés de la moyenne.

cl l’on a

-i- r, — f, f', — t , -* r", — etc.

Les carrés des erreurs donnent la somme

2t-s h- 2f'* + îe’’* + etc. — 3 ïe*

Nommons maintenant Q* la moyenne arithmétique des carrés de toutes les erreurs , nous aurons

2ee>

Celle quantité Q* est d’une grande importance. En la faisant entrer

NOTES

dans l'expression du poids de la moyenne , on a

D'après sa propriété de moyenne, il faut qucQ*=|; d'où Q=0,707l I en parties de l'unité dont o= 0,4709363. Ainsi

et réciproquement

a est la grandeur de l’erreur probable ou l'abscisse de la courbe de possibilité pour la surface '4; son rang dans notre table de précision est à peu prés 10,66, et par conséquent le rang de Q dans cette même table est 15,805, c’est-à-dire qu’il faut reeulerla limite jusqu’à ce rang, pour que la surface de la courbe de possibilité soit 0,70711 et représente la racine carrée de la moyenne arithmétique des carrés de toutes les erreurs.

Il faut remarquer que u n'exprime que le nombre abstrait 0,4709363; quand on passe à l'application, la quantité a devient un nombre concret. Soit E celle erreur probable que l'on fait dans la détermination de X. C'est, comme nous l'avons vu , l’abscisse de la courbe de possibilité qui correspond à la portion de surface équivalente à celle placée sur le reste de Taxe. On a, pour cette erreur probable,

Vx>

Si l’on prend pour unité le poids P, l'erreur probable E sera constante et vaudra u. Si l’on prend a comme constante, E est réciproquement proportionnelle à la racine carrée du poids de la moyenne.

NOTES

Ainsi , les calculs relatifs à l'ascension droite do la polaire nous ont montré que la moitié des observations tombaient entre les limites -t- a et — a (=10,00), et que ces limites embrassaient t‘,GI ; donc, dans l'hypothèse de P = 1 , on a

L'erreur probable est comprise dans l'étendue 0*,805.

Quand on a E, on peut déduire la valeur du poids P par la formule

On fait également usage de l'erreur moyenne, qui est la somme des produits de chaque erreur particulière par sa probabilité. Cette erreur moyenne y, que l'on fait en déterminant X , est exprimée par

f 2V/ÏP l /T

x est le rapport de la circonférence au diamètre 3,14159. Les deux erreurs E et y sont liées ainsi par les relations

tf = 0,59 1 47 E ; et E = 1,69069?.

les quantités f et E se rapportent à la moyenne X. D’après les relations précédentes, il est évident que l'erreur moyenne, dans le calcul de l'ascension droite de la polaire, donnerait

Pour notre table, quand on fait usage de l'erreur moyenne, il faut écrire

L'erreur moyenne correspond ainsi au rang 6,30 dans notre table de précision.

On peut considérer aussi l'erreur probable de chaque observation individuellement, comme nous l'avons fait pour la moyenne générale; et alors on a

ou bien e

El' N;

l’erreur particulière, comparée à l'erreur probable, est donc d'autant plus grande que N est plus fort; et le rapport des deux erreurs est comme la racine carrée du nombre des observations.

On peut écrire encore, en faisant usage du poids de la moyenne arithmétique des carrés de toutes les erreurs

L’erreur réelle peut être plus ou moins grande pour chaque observation particulière, cependant ces variations sont resserrées dans des limites déterminées par le calcul. Les limites de terreur réelle de chaque observation particulière, sont

ou E ( 0,4769363 +■ V N ) •

On peut prier 1 contre t que la véritable valeur e tombe entre les limites

E ( 0,4760363 + V N ) , et E ( 0,4769363 — V N )

NOTES

Lettee XX, page 136.

Mesures de la circonférence des poitrines des soldats écossais.

H BS on CS de U

MTim.

NOSBRB

d'homme».

bobbrb

HntniiiMui.

PROBABILITÉ d 'apres l'oMltinw.

mnb

dan*

ta mu.

BANC d’apres le nun.

i -p"' u nui.

BOBBRR

calculé.

Ponrrs.

wma

Le tableau qui précède est formé exactement de la même manière que relui qui concerne les mesures des ascensions droites de la polaire; je crois donc pouvoir me dispenser d'entrer dans de nouveaux détails sur les indications de chaque colonne.

Je remarquerai que les groupes d’observations procèdent par différences de I pouce anglais, et que les nombres qui leur correspondent dans la table calculée, se présentent à huit rangs de distance. Pour 51 rangs, on aurait donc proportionnellement 2 f “ ,, ''*,623 ou C6 n ’ m ,C74. L’écart probable est donc de 33'""'. 31 environ. Cet écart peut paraître

NOTES

assez grand; il tient du reste moins il la précision des mesures qui paraissent bien faites, qu'à la nature des éléments à mesurer qui étaient tris-divers.

Lettbe XXI, page 140.

Taille des conscrits français.