SÛTES

veinent sur la longueur 11 mesurer et sur un ('talon, il v a une variation de pression de la main sur les branches, qui peut tantùt augmenter, tantùt diminuer le résultat obtenu; mais l'événement correspondant à une variation de pression de la main capable de produire l'erreur o b ï£ de millimètre, est-il plus probable que l'événement capable de produire l’erreur T J 5 il ,-J T) de millimètre? Je ne pense pas que nous puissions l'affirmer à priori.

En résumé, je pense que, dans le cas le plus général, toute cause partielle et distincte d'erreur donne lieu à une courbe de possibilité des erreurs (ou si l'on aime mieux, des écarts autour de la moyenne), laquelle peut avoir une forme quelconque, courbe que nous pouvons être puissants «11 impuissants il découvrir , et qui , dans le premier cas, peut se déterminer soit par des considérations ù priori, sur la nature propre de celte cause, soit A posteriori, par l'observation, à la condition de l’isoler des autres causes d'erreurs concomitantes.

» Je vais essayer maintenant de rétablir en partie ce que je viens de défaire, et de faire reparaître la courbe ordinaire e‘ ‘‘* suivant laquelle semblent si souvent se coordonner les écarts observés autour du résultat moyen. Je crois que trois causes principales y contribuent.

> I" La courbe de possibilité des erreurs dont reste passible un résultat moyen se rapproche toujours beaucoup de la forme e~ lL ’’, et la courbe converge vers cette forme, à mesure que le nombre des résultats partiels concourant à la formation de la moyenne, augmente luimême. C'est en cela , si je ne me trompe , que consiste la loi des grands nombres. Je vais citer deux exemples de cette convergence. Reprenons le cas cité ci-dessus , où la courbe de possibilité de l'erreur se réduit ù deux points , l'erreur étant nécessairement égale à i ou il — i. Supposons que l'on répète la mesure, et voyons de quelle erreur sera susceptible la somme des deux mesures : on aura quatre combinaisons qui correspondront iit= + 2i, o, o, — 2t. Si l’on a trois mesures, on aura huit combinaisons que j'indique par -t- -r- -4- , - 4 - -v- — ,

-t , -+- , — -t , 1 -, . On

aura les quatre valeurs possibles c = 3i, = -i- i, = — i , = — Si,

avec les probabilités J, J, J, Dans le cas général de m mesures, on aura les erreurs possibles

-t- mi, s- (m — 2) i" — (m — 2) i, — mi

NOTES

avec les probabilités

> On rentre alors dans le cas que vous avez si bien discuté dans votre mémoire; la courbe des possibilités est discontinue, et correspond j> une série de points isolés , équidistants dans le sens des abscisses, et dont les ordonnées sont proportionnelles aux termes du développement

du binôme (1 -t- l )“ = I -+- etc La courbe continue qui

relie ces points entre eux, converge, comme vous le démontrez trèsbien , vers la forme e -t '*.

» Le second exemple est celui où la courbe des possibilités est une droite Alt, droite finie parallèle à l'axe des abscisses et coupée en deux parties égales, en C, par l'une des ordonnées, de sorte que l’on ait la possibilité p = constante, entre deux limites ±. i , et nulle hors de ces limites. Sur la figure, on a AC = Cli = i. Co doit être égal à -j-, pour que la surface du rectangle aAB6 soit égale il 1. Ce cas se présente lorsqu'on prend un nombre dans une table, par exemple, un logarithme dans une table de logarithmes; ainsi, si en cherchant log. 2, nous trouvons 0,50105 ; nous pouvons seulement affirmer que log. 2 est compris entre 0,301025 et 0,501035, toutes les valeurs intermédiaires étant également possibles. Si nous faisons la somme de deux logarithmes, quelle sera la courbe des possibilités des erreurs dont cette somme est passible? On trouve que cette courbe est alors représentée par la droite brisée a'Cb ' , o’o étant égal à — 2t et b'n à 2i. Pour la somme de trois logarithmes, on a un système de trois paraboles; l'une allant de a" jusqu'au point de rencontre de la ligne Aa et ayant pour

NOTES

équation

l'autre , allant de la ligne \a à la ligne 156 et dont l'équation est

ci U

la troisième, enfin, semblable à la première, qui vient se terminer en 6" à une distance ob" = oa" = Si, et a pour équation

p ~ ci ' T U — flij’

Pour quatre logarithmes , la courbe se composerait de \ paraboles du 3 m * degré, et commencerait à rappeler beaucoup, pour sa forme, celle de la courbe c A, \ Ainsi, en la comparant à l'exponentielle correspondante et douée de la même ordonnée maximum , les probabilités correspondantes à e = o, = ± 2i, = ± 4i seront, pour la courbe exponentielle ,

et, pour la courbe b quatre paraboles,

» La différence entre les deux courbes de possibilité est déjà de peu d'importance.

» Si, au lieu des sommes de ni termes, nous considérons maintenant les moyennes des mêmes m termes, il est visible que la loi de possibilité des erreurs serait la même, en remplaçant dans les résul-

NOTES

tats précédents l’erreur e sur les sommes, par la fraction £ qui est l'erreur correspondante sur les moyennes.

» Il existe dans la Théorie des probabilités de Laplace, vers les pages 360 à 365 de cet ouvrage, une méthode générale pour obtenir la loi de possibilité des erreurs d’une somme de nombres, lorsque l’erreur sur chaque nombre isolé a une loi de possibilité connue, qui peut être la même pour tons ces nombres, ou variable d'un nombre !> l’autre. Je n'ai pas en ce moment cet ouvrage sous les yeux, ni ceux de MM. Poisson et Cournot.

» Mais dans tous les cas, à mesure que la somme augmentera, la courbe tendra à se rapprocher de la forme c - * 1 *. On voit que le cas le plus défavorable à une convergence rapide est celui où la courbe est renfermée entre deux asymptotes verticales; mais ce ras poussé à l'extrême nous mène ;i une courbe représentée par deux verticales, ou, ce qui revient au même, représentée pardeux points situés à droite et b gauche de l’axe des ordonnées. Ainsi ce cas, qui est un cas déjù examiné, est précisément celui où la convergence est la moins rapide. Donc la courbe des possibilités de l’erreur commise sur une moyenne convergera toujours vers la forme e -tl * à mesure que le nombre des tirages augmentera, et cela, avec une convergence supérieure à celle de la série

mlm — 1) m(m — 1)

1, tu. — , m, 1.

vers la forme e -4 **.

NOTES

> Ainsi voilà une première cause qui tend à ramener souvent dans l’observation la courbe de possibilité e - ***; c’est la formation des sommes ou des moyennes.

• 2“ Dans le cas mèmcoù l'on considère nn résultat isolé, un nombre provenant d’une observation unique, la forme tend encore à se présenter, à cause de la multiplicité des cause/ d’erreur de diverse nature qui interviennent; l'erreur totale K est réellement la somme e - 4 - tf -s- e" e'" . . . d’une multitude d'erreurs différentes, qui se compensent en partie et auxquelles correspondent des courbes de possibilité f{e), \p{e ') , yjc") etc., lesquelles tendent à donner une

courbe de possibilité s>(E) des erreurs E, d’autant moins différente de la forme e -1 '*, que les courbes de possibilité des erreurs partielles seront plus nombreuses et moins dissemblables entre elles. Le cas où toutes les courbes seraient les mêmes, refltre dans le cas examiné cidessus : à mesure que l'énergie de ces causes devient au contraire de plus en plus dissemblable, la forme de la fonction correspondante è la cause la plus énergique tend à prédominer dans la forme de «(E).

» 3" Enfin, je crois que, dans la nature, les courbes de probabilités des écarts sont le plus souvent concaves vers l’axe des abscisses, ce qui revient à dire qu’ordinairement les plus grands écarts sont les plus rares; cela est surtout, je crois, vrai |»our les erreurs d'observation. Il semble ri priori que cela doit être ainsi , et ce que nous savons du groupement des erreurs ou des écarts dans le cas où ce groupement a été effectivement observé, ne dénient pas cette supposition.

» La question de la possibilité des erreurs est extrêmement importante dans les sciences d'observations, telles que l’astronomie, la géodésie, etc. Je ne pense pas qu’elle ait été traitée jusqu’ici ex professa dans un ouvrage spécial avec la clarté désirable et les développements nécessaires. Il me semble me rappeler que M. Hagen a essayé de démontrer que, dans la mesure d’une grandeur naturelle invariable, la possibilité de l’erreur suivait l’exponentielle e - ***; mais je crois aussi me rappeler que cette démonstration ne m’avait pas paru suffisamment rigoureuse. Dans certains cas, par exemple , dans l'astronomie et la géodésie de précision, chaque résultat est toujours déduit d'un assez grand nombre de mesures, et rentrant dans la classe des moyennes, son erreur probable doit suivre la loi e - ***.

» C’est ce cas spécial que j’ai traité dans un mémoire communiqué,

NOTES

en 1837, à l'académie de Paris; ce mémoire étant actuellement imprimé, je pourrai vous en adresser prochainement un exemplaire.

» J'ai assez souvent dirigé mes réflexions sur ce sujet; mais je n'ai jamais eu le temps de rien mettre au net; aussi j'ai saisi avec plaisir l’occasion de vous soumettre quelques-unes de mes idées, cette lettre m'imposant l'obligation de leur donner un corps qui, jusqu'ici, leur manquait. Je ne sais si j'aurai été constamment clair dans l'exposition qui précède ; ce serait un plaisir pour moi d'entrer dans tous les développements ultérieurs que vous pourriez désirer.

» Pardonnez-moi cette longue lettre, en raison de l intérét que vous prenez à ces questions. Lorsque vous me ferez l’hunueur de m'écrire, veuillez me dire si vous êtes de mon avis, ou en quoi vous en différez. Il y a là une utilité pratique plus grande qu'on ne le pense communément; c'est en m'occupant d'un problème tout pratique dont voici l'énoncé : « A quelle distance de la côte doit se tenir un navire qui se propose de lever, sous voiles, le plan de cette côte?» ( Eh bien, celte distance dépend de la loi de possibilité des erreurs des instruments, etc.) (Test, dis-je, en m'occupant de cette question , que j'ai été conduit à m'occuper des probabilités dans les sciences naturelles.

j> Veuillez, etc. »

Pans le 15 février 1845.

« Je suis bien loin de regretter la publication de votre mémoire, qui renferme de si excellentes choses, et qui a, considéré au seul point de vue théorique, l'avantage de faire toucher au doigt bien des choses qui devraient, si c'était possible, entrer dans l'éducation de tout homme s'occupant, à quelque titre que ce soit, de l'étude de la nature : en France nous ignorons trop ces principes; nous avons eu dernièrement ici un essai de l'application des grands nombres à la statistique médicale; la plupart des médecins ont jeté les hauts cris, en partie sans doute par suite d'une crainte vague et instinctive du danger des généralisations, et par sentiment du besoin de flexibilité de la thérapeutique suivant l'organisation spéciale du malade; mais aussi en grande partie à cause de la difficulté de comprendre les lois des moyennes, et parce que le sujet n’a point été exposé avec la clarté désirable. J’aurais désiré seulement que, dans votre mémoire, les restrictions que vous

NOTES

avez faites, et que vous avez si bien développées dans vos deux lettres, fussent mises un peu plus en évidence : je serais loin d'avoir été compris , si vous aviez pu croire que mes remorques allaient au délit.

» Je souscris d’avance à la distinction à faire des causes variables et des causes accidentelles; mais j'avoue (pic cette distinction me parait difficile 1 bien établir, de manière à ce que la cause accidentelle , attentivement examinée, ne passe pas en tout ou en partie au rang des causes variables. Ce que vous dites des causes que l'on peut regarder comme constantes pendant assez longtemps, et qui varient ensuite, me parait fort juste; elles sont les analogues des équations séculaires de l'astronomie; elles sont ordinairement les plus difficiles à démêler, et jettent souvent leur incertitude sur les résultats finaux.

» Lorsqu'on détermine l'erreur à craindre d'un résultat, on peut se demander deux choses : ou bien de déterminer uue limite inférieure de cette erreur, ou une limite supérieure. Si , prenant le premier de ces deux points de vue, on conclut seulement de scs calculs que le degré de précision dont on peut répondre, est ou plus égal au degré de précision qu'assigne le calcul , je crois que le physicien est tout à fait dans son droit , et qu'il est inattaquable sur ce terrain. Dans le ras contraire, où l'on croit pouvoir poser une limite supérieure à l'erreur possible, il faut le faire, je crois, avec beaucoup de prudence, attendu que l'on a à redouter contre une affirmation trop absolue, et les erreurs constantes encore inconnues, et toutes ecs erreurs variables à longue période dont vous parliez ci-dessus. Mais poser une limite inférieure, c'est déjà quelque chose : si ou eût pris dés longtemps ce parti, bien des résultats n'eussent pas été admis trop complaisamment pour être bannis plus tard. Par exemple la diminution de l'intensité magnétique horizontale avec la hauteur ne me paratt pas encore pouvoir être admise comme un fait démontré, quoique I on commence déjà à ne plus oser la révoquer en doute. »