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NOTES

Lettre XXVI.

Pour compléter, autant que possible, la théorie des moyennes, je donne ci-après trois lettres que m'a fait l'amitié de m'adresser M. Bravais, professeur à l'école polytechnique de Paris, au sujet du mémoire sur f appréciation des documents statistiques et en particulier sur l'appréciation des moyennes . que j'avais inséré dans le t. Il du Bulletin de la commission centrale de statistique de Belgique. Dans ce mémoire, je n'avais eu en vue que l'examen du cas où les causes accidentelles n'ont pas de tendance à agir dans un sens plutôt que dans un autre. Peut-être n’avais-je pas suffisamment expliqué l'objet de cet écrit ; je le regrette d’autant moins aujourd'hui, qu'il a donné lieu à des lettres très-intéressantes de la part d'un savant qui s'est occupé avec un grand succès de la théorie des probabilités et de scs applications aux sciences d'observation. Je ne reproduis pas ici les lettres auxquelles M. Bravais fait allusion, parce que je ne ferais que répéter en partie ce que contiennent plusieurs lettres imprimées dans cet ouvrage.

Paris le 17 janvier 1845.

« J’ai lu avec beaucoup d'intérêt vos recherches statistiques; vous y rendez très-sensible pour tout le monde la nature de la loi de possibilité des diverses sortes de résultats que peut amener une série prolongée de tirages. Cette loi de possibilité a pour limite e~ kJ ', lorsque les nombres de tirages deviennent très-grands. Mais doit-on admettre que, dans la nature, la courbe de possibilité des écarts x plus ou moins grands dune quantité physique, autour de sa moyenne, soit toujours et n écessairement une fonction de ce genre? C’est ce que je ne pense pas qu’on puisse admettre à priori, quoique l’observation « posteriori justifie le plus souvent cette vue de l'esprit. Far exemple, pour la taille, ne pourrait-on pas concevoir qu'il existe des causes spéciales qui portent un certain nombre de tailles humaines de préférence vers ("’.ioo, tandis que d’autres causes portent d’autres tailles vers i" , ,m>o, de manière à ce que la courbe des possibilités olfrtt deux maxima, l'un vers t™,ooo, l'autre vers i”,ioo?La possibilité maximum correspond-elle toujours à la moyenne? Les deux branches de la eonrhe sont-elles toujours

NOTES

symétriques? Il me semble que l'on pourrait citer bien des exemples où cela n'est pas. En voici un seul. On sait que les plus grands écarts du baromètre vers le haut de la colonne, ne sont guère que la moitié ou les * s des écarts du baromètre vers le bas; de sorte que l’on aura une courbe de possibilité de la forme

dont les deux moitiés ne seront pas symétriques ; seulement l'ordonnée moyenne doit toujours partager le segment total en deux aires égales. Ne pourrait-on pas concevoir à priori que, dans la taille humaine, il se passe quelque chose d’analogue à ce qui se présente ( passez-moi lemot) dans la taille delà colonne barométrique?

Je me borne à vous signaler mes scrupules, etc. »

Paris le 27 janvier 1845.

a Je suis vraiment presque honteux qu’une simple remarque que m’avait suggérée la lecture de vos lie cherches statistiques, vous ait inspiré autant d'intérêt, et vous ait engagé à me demander, d’une manière aussi flatteuse pour moi , ce que je pense des courbes de possibilité en général. Et d’abord, permetlei-moi de vous dire qu’avant relu avec plus de soin la page 67 de votre travail, j'y vois clairement que vous n’ètes aucunement tombé dans la faute que j’avais cru pouvoir me permettre de vous indiquer, puisque vous dites, article 1 : a Dans le second cas, il n’existe entre les résultats aucune loi de continuité nécessaire. o

» Quant à la première partie de votre proposition, je suis à me demander si elle n’est pas encore énoncée d’une manière trop générale, et si elle n'a pas besoin, pour être vraie, de subir des restrictions importantes.

NOTES

» Ainsi , et en premier lieu , il me semble que si la quantité à mesurer (bien entendu , correspondante ;i un concret réellement existant) est susceptible de varier en vertu de causes inconnues, la possibilité nedevrapas toujours suivre la même loi. Je prendrai avec vous, comme exemple, l'étoile polaire; seulement je prendrai un exemple un peu plus simple que le vfitrc, et je supposerai qu'il s'agisse d'obtenir la hauteur vraie de cette étoile, à son passage au méridien inférieur ou supérieur, élément d'où dépend la déclinaison de l'étoile, la latitude étant connue. Pour simplifier encore, ‘je supposerai qu'on ail tenu compte de la précession, de l'aberration et de la nutation. Mettons de côté les causes d'erreur qui peuvent provenir d’une inexacte application de ces corrections ; il reste encore plusieurs autres causes d'erreur qui pèsent sur chaque détermination isolée '. La parallaxe de déclinaison d'abord : ( supposons-la de 1" ). Si la hauteur obtenue est 43° 30' , on voit que, par cette cause seule, la hauteur observée pourra varier entre 45” 29' 59” et 45° 30' 1"; mais il est de plus facile de voir que les hauteurs seront plus souvent observées près de ces deux extrêmes que près de la valeur médiane. En effet, l’équation de la parallaxe sera de la forme de a sin (a-t-6), a. étant la longitude du soleil , a et 6 deux constantes; soit pour simplifier a = 1 , b — o; l'équation se réduit à sin i , quantité susceptible de toutes sortes de valeurs entre -+- I et — l . En nommant e l'erreur correspondante ù «, e ■+- de celle correspondante à x ■+■ dx, on aura c = sin s, de = cos xdx. Soit P la possibilité que l'erreur tombe entre o et e, et que la longitude du soleil tombe entre o et a, on aura P = y (e), y étant une fonction inconnue. On aura ensuite

dP dy de

dx de dx

Or , on a évidemment

x , de

P = 2 — , donc — 2 t de

r COS x

xVl—e'

* L» parallaxe de déclinaison , iVxcealrieilê dans le rercle répétiteur, la réfradion, eJc., ne seraient pa» de* erreur» accidentelle». mai» devraient être traitée* comme de» erreur* conilanles ou variable*. < omine M. Bravai» a liieu voulu le reronnallre lui-même dan» la lettre suivante (A. Q.)

NOTES

» On voit que la courbe des possibilités des erreurs e est

P ~ tV\ — e’’

en appelant p le coefficient différentiel de P, c'est-à-dire la possibilité de l'erreur e. La courbe a la forme (ci-dessus) d'une sorte de parabole contenue entre les deux asymptotes e = 1 , e = — 1. D'ailleurs si on intègre

de, de — I i +1,

on retrouve 1 pour l’intégrale, ce qui est conforme à ce que l'on doit obtenir ù priori. Dans ce cas, l'aire comprise entre la courbe et l'axe desabscisscs est finie quoique les ordonnées soient infinies pour e = ± J .

» Voilà donc une première cause qui tend à faire dévier la courbe générale des possibilités de la forme exponentielle normale e et à lui donner deux moxima correspondants aux deux plus grandes digressions parallactiques de l'étoile.

» Je sup|iosei'ai maintenant que l'on se soit servi d'un cercle répétiteur, dans lequel l'erreur d'excentricité i étant l'excentricité et R le rayon du cercle, ne soit pas convenablement éliminée; l'erreur d'excentricité sera, sur chaque lecture /, de la forme ^ sin (l -t- a), a étant une constante. Comme il y a deux lectures I, ï, dont la différence est la double distance 7.énitale, soit 2Z, l'erreur définitive est

NOTES

— sin (i'+o) — — siu (f-m) = — sin Z sin [/ ■+■ {z + n)].

Or, comme Z, a, t, R sont constantes et que l peut avoir toutes les valeurs possibles de 0° à 360°, on voit que l'on retombe dans le cas précédent, sauf la valeur des deux constantes, qui sera généralement différente.

> Considérons maintenant les erreurs de réfractions. On suppose la réfraction dans son état moyen qui correspond à une valeur 0,08 du coeflicient de la réfraction terrestre. Or, connaissons-nous la loi des écarts de ce coeflicient en dessus et en dessous de cette valeur moyenne? Cette loi dépend des variations du décroissement de densité dans les couches inférieures de l'atmosphère. Ces variations ne peuvent-elles pas être telles que la loi de possibilité des valeurs de ce coeflicient autour de la moyenne 0,08 soit différente de la loi générale c**' 1 ? Cest ce qui arrive entre autres pour la pression de l'air considérée dans ses variations autour de sa moyenne (TGO"” environ au niveau de la nier). Y aurait-il une cause pour que les variations du décroissement de densité des couches soient o priori plus régulières et plus symétriques que celles de la pression barométrique? Je ne crois pas que l'on puisse l'aflirmer. Dans les deux ras, il y a oscillation autour d'une certaine position d'équilibre.

» Quant aux erreurs de graduation dn cercle, erreurs que l’on doit supposer variables si le cercle est répétiteur (je me borne & considérer ce cas, parce que, dans le cercle non-répétiteur, ces erreurs sont des erreurs constantes dont nous n'avons pas à nous occuper ici), au lieu d'avoir pour l'erreur

e = sina, ou e= — sin Z cos (l ■+■ Z -f- a) ,

on a dans ce cas e = f[l), la fonction f étant quelconque, par conséquent inassignable à priori; toutes les lectures l étant également possibles de o à 2r; la loi de possibilité sera de la forme t - r ■

» L’erreur de lecture suit des lois très-différentes; elle est très-faible lorsquo la division du vernicr est précisément en face de celle du limbe ;

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elle est plus forte lorsqu'aucune division du vernier n'est en face de celles du limbe; elle dépend du reste que laisse la division de la lecture / divisée par l'arc que le vernier permet d’apprécier.

» I, 'erreur de parallaxe dans la lecture, ainsi que l'erreur de coïncidence de l'étoile sous le fil , proviennent de causes encore plus difficiles à analyser.

» Cest la réunion de toutes ces causes qui donne naissance à l'erreur définitive, et par suite à la loi de possibilité que l'observation fait découvrir à posteriori.

» 11 en serait à peu prés de même dans la mesure de la taille d'un homme isolé, faite à diverses reprises. La taille s'allonge par le repos et se raccourcit par la fatigue; les variations vont au moins à I centimètre; mais l'état moyen se présente-t-il le plus fréquemment de tous? c'est ce dont il est permis de douter.

a L’équerre mobile qui sert h la mesure peut n’êtrc pas horizontale. Si les faces antérieure et postérieure du couloir vertical (qui permet :1 l'équerre mobile de glisser de haut en bas et de bas en haut) ne sont pas bien parallèles entre elles, on aura deux inclinaisons différentes selon celle de ces deux faces qui appuiera sur la face correspondante du pilier immobile qui sert à la mesure; de sorte qu’il pourra en résulter ou une correction égale à s- e, ou une correction égaleà — c. La courbe de possibilité se réduit à deux points symétriquement placés par rapport à l'axe des ordonnées de celte courbe.

a Heslc maintenant le cas d'une quantité parfaitement invariable dans la nature. Je crois que, dans ce cas même, la courbe des erreurs possibles pourra être très-variable, quoique ces erreurs, dans ce cas, proviennent toutes de l'observation. Mais nos instruments, et aussi nos sens, portent eu eux des causes d erreur. Ainsi, dans le cas trèssimple d'une longueur que l'on mesure en portant un compas altcrnati-