I. Travaux publiés par F Académie royale de Belgique

1^ Analyse des lignes spiriques (Mém, couronnés, t. Y. 1825).

Les lignes spiriqaes ou sections annalaires sont, comme on sait, des courbes du 4« degré , formées par l'intersection d'un plan avec la surface du solide engendré par la circonvolution d'un cercle autour d'uo axe donné de position. On en attribue la dé-

(*) Pagani épousa M^i^ Waepenaert de Termiddel Erpen, d'Alost(i9 avril ^826;.

(*} Des démarches avaient été faites auprès de lui dès la fin de 1834, avant son départ pour l'Italie ; mais il n'avait voulu prendre aucun engagement.

(' ) Andries, un de ses meilleurs élèves,

mort en 1848, à peine âgé de 24 ans. Pagani fut très-sensible à cette perte. ^V. la Ùiographie nationale, art. ANDRIES).

(*) Le "ii mai 18S6, il avait été nommé membre de la Société Concordia, de Bruelles. (V. l'art. Lesbroussart).

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couverte au géomètre tecien Pertem ; chez les modernes, elles ont été particulièrement étudiées, sous le rapport de leurs propriétés usuelles, par Hachette, dans son Court de géométrie desenpth*e, L'Académie de Belgique ayant demandé l'équation générale des lignes spiriqucs , avec discussion complète, M. Vène, capiUine du génie en France, obtint une médaille d'argent en 4823 ; mais la question fut remise au concours l'année suivante. La médaille d'or échut à Pagani et la médaille d'argent à M. Demoor, ingénieur en chef du Waaterstaat. Le Mémoire dont il s'agit ici est très -soigné, surtout dans la seconde partie , consacrée è la discussion de l'équalion générale : cependant l'auteur s*y occupe des questions géométriques beaucoup plus que des questions de pratique, en dépit de son épigraphe : Ntst utile est quodfaeimuSf ttufta e»t gloria,

^ Sur la question : Vn fil flexible et uniformément pesant, étant sutpendu par Vune de ses extrémités à un point fixe , et soulevé par son autre extrémité à une hauteur et à une distance quelconques^ si Von vient à lâcher cette seconde extrémité, et à abandonner ainsi ce fil à Paction libre de la pesanteur, on demande les circonstances de son mouvement dans Vespace supposé vide, (Mém.

C4juronnés, îbid.)-

Il s'agit, dit Pagani, d'un véritable problème de calcul intégral, et sous un énoncé aussi simple, il faut voir ici an écueil, contre lequel viendront se briser longtemps encore les efforts de l'analyse actuelle. De tous temps, les plus grands géomètres se sont vusarrètés par des obstacles qui paraissaient insignifiants au premier abord, mais qui n'étaient pas moins invincibles par les forces actuelles de la science. Platon et tous les géomètres de premier ordre de l'antiquité se sont trouvés incapables de résoudre le fameux problème d«) la duplication du cube, et tout le savoir de Galilée a été insuffisant lorsqu'il s'est agi de déterminer la courbe de la chaînette. — L'ouvrage de Pagani n'est point remarquable par des aperçus nouveaux, mats en ce qu'il présente fait bien connaître les résultats obtenus jusqu'è lui. Ce qui l'a toujours distingué dans ses travaux de géométrie analytique, dit M. Quetelet, c'est moins l'invention de méthodes nouveUes, qu'une exposition claire et exacte de la méthode des grands maîtres ; c'est par là qu'il se faisait remarquer surtout, comme professeur des sciences mathématiques.

V" Mémoire 8ur le principe des vitesses virtuelles (Mém. des Membres de rAcadémie, t. III, 1936).

Résumé des travaux de Lagrange; remarquable par une grande élégance dans le choix des formules.

4*» Mémoire sur Téquilibre des systèmes flexibles (Ibid., t. IV, 1827).

« Lagrange, dans sa Mécanique analytique, et Poisson, dans un mémoire lu à l'Institut de France en i Si 4, avaient traité ce sujet avec beaucoup de savoir : le chevalier Cisa de Grety, dans les Mémoires de V Académie de Turin (48i6), avait abordé un cas spécial, celui de l'équilibre des surfaces flexibles, qui semblait avoir échappé aux recherches de ses savants prédécesseurs. Pagani revint avec persévérance sur ce problème et crut rendre un service II la science, en cherchant è répandre quelque lumière nouvelle sur un sujet aussi délicat, que Lagrange lui-même ne semblait pas avoir complètement embrassé. La difilculté, en effet, ne consistait pas dans l'emploi du principe des vitesses virtuelles pour mettre ce problème en équation, mais bien dans l'usage de la méthode des variations, pour exprimer algébriquement les conditions qui dépendent de la nature du système. » (Quetelet, p. iOO).

5^ Mémoire sur le développement des fonctions arbitraires en séries dont les termes dérivent de la même fonction continue (Ibid,, t. V, 1829).

« Il importait ici de savoir comment Lagrange avait été prévenu par un autre géomètre, en introduisant dans sa méthode une notation nouvelle ; ainsi, il s'agissait de développer tous les coefficients des termes d'une série qui dérive d'une même fonction, d'après une certaine loi, de manière que la somme de tous ces termes fût égale à la valeur d'une fonction arbitraire donnée, pour toutes les valeurs de la variable comprises entre les deux limites connues. L'auteur décrit les tentatives de Lagrange fc cet égard, celles plus explicites de Pourier,et enfin, ce qu'il a essayé lui-m^me pour exposer la théorie des fonctions arbitraires d'une manière générale et Indépendante de toute question de ;)hysique » (Quetelet, p. iOl). — A l'occasion de ce mémoire, M. Quetelet insiste sur les idées qui préoccupaient alors Pagani, et fait remarquer que ce savant avait porté fort loin ses prévisions ; mais il s'entourait de difficultés de toute sorte, et c'est peut-être ce qui le força de s'arrêter de bonne heure dans la voie de l'analyse. En 4839, il exposa dans un cours public, devant un nombreux auditoire, un nouveau système de physique, dont il crut devoir donner une idée à M. Quetelet, afin de (^revenir le reproche de plagiat, au cas oii les Idées qu'il

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énetUii 86 retroa version l dans un travail da même genre qui venait d'être adres»(: par M. Parrot, médecin à Grenoble, à l'Académie des sciences de Paris. M. Quetelet ne put obtenir qu'une mention dans les Bulletins de l'Académie royale de Belgique. Nous reproduisons, d'après lui, la déclaration de Pagani :

> Depuis longtemps, tes physiciens tâchent de ramener l'explication des phénomènes naturels à des lois très-simples et fc an petit nombre de principes. Voici ceux que j'ai adoptés dans mon cours et au moyen desquels j'explique, de la manière la plus facile, tontes les lois générales et tous les phénomènes particuliers de la nature inorganique.

» i9 Je donne le nom d'atome à une étendve extrêmement petite en tous sens, dont la forme est invariable et dont la figure et la densité ne peuvent être déterminées à priori ;

» 99 Tous les atomes sont doués de Tinerlie et de l'impénétrabilité; ils sont, en outre, animés chacun do deux forces, l'une qui attire et l'autre qui repousse, en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance;

» 3« En séparant les atomes en deux classes, tous ceux de la première classe, que j'appelle pondirablea, se repoussent entre eux et attirent ceux de la seconde classe, que je nomme éthérés ; les atomes étht^rés se repoussent et attirent les atomes pondérables;

» 4» Tous les atomes pondérables n'ont pas la même ûgure ni la même densité; les variétés dans la forme et dans la masse de ces atomes établissent les divers éléments des corps. U est impossible de déterminer d'avance si tous les atomes éthérés sont identiques entre eux ; cette détermination, aussi bien que celle des variétés des atomes pondérables, dépend des pbénonoènes particulier» qui doivent la fixer, comme toutes les constantes arbitraires introduites dans le calcul par les intégrations sont déterminées par certains faits connus.

» Ces quatre principes posés, je puis dé* finir d'une manière claire et rigoureuse les mots corp$^ corps simple, corps compote ^ corps homogène f corps hétérogène, Vétat solide^ l'étût liquidé et gazeux d'un corps ; la eohésiiM, la viscotUé et ÏHasticité.

» Une molécule corporelle étant un corps dont les dimensions sont très- petites, doit être considérée c^omme un assemblage de plusieurs atomes pr»ndérables et éthérés. Deux molécules placées à une dislance trè»grande comparai vement aux dimensions des atomes, s'attirent toujours en raison directe des masses et en raison inverse du carré de la distance entre les deux centres d'action.

Cette force, connue sous le nom de pesanuur universelle, n*est que l'excès de la force attractive des atomes pondérables d'une molécule relativement aux atomes éthérés de l'autre, et réciproquement, sur la force répulsive des atomes pondérables et des atomes éthérés d'une molécule par rapport aux atomes de même nom de l'autre molécule. Cette loi explique, comme on sait, tous les phénomènes à distance^ ce qui comprend toute la mécanique céleste.

» La théorie des phénomènes capillaires, la théorie des vibrations des corps élastiques, les compositions et les décompositions chimiques, etc., s'expliquent par l'analyse des forces attractives et répulsives des atomes, en ayant égard à leur figure et à leur dureté; ce qui peut donner des résultats tout opposés à ceux que fournirait la simple loi de la gmvilation universelle.

» Enfin, la lumière consiste dans le mouvement vibratoire des atomes éthérés, la chaleur, dans la condensation de ces atomes; le froid, dans leur raréfaction. L'électricité vitrée n'est autre chose que le fluide éthéré rendu libre à la surface des corps ; l'électricité résineuse se manifeste lorsqu'une certaine quantité de fluide éthéré est enlevée è la surface d'un corps. L'électro -magnétisme et les phénomènes magnétiques s'expliqneat par la considération des mouvements de transport des atomes éthérés et quelquefois des atomes pondérables ; lequel mouvement est une conséquence nécessaire de la rupture de l'équilibre entre les atomes pondérables et les atomes éthérés. >

Pagani termine en annonçant qu'il se propose d'écrire un traité complet de physique basé sur ces principes. — L'Académie cmt devoir garder le silence; il lui parut, malgré la grande confiance que lui inspirait l'auteur du système, que l'hypothèse de nouvelles forces devait être justifiée autrement que par des raisonnements. Pagani ne se découragea point; seulement, dans ses cours ordinaires, il s'abstint pour le moment de s'écarter des idées reçues. — La révolution, comme nous l'avons dit, interrompit ses études.

6« Mémoire sur la théorie des projections algébriques (Ihid. t. VU, 1832).

Non seulement l'auteur se proposait de donner les principaux théorèmes relatifs aux projections ; mais il voulait présenter une solution nouvelle de l'important problème où il s'agit de déterminer le mouvement de rotation d'un corps solide. Il avait fait à Paris, en 48^8, la connaissance du baron Foorier : on reconnaît ici l'influence de ses entrevues avec ce savant , par sa tendance à traiter plus spéeialemeBt les questions relatives à la constitution de noire univers*

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7"* Recbercbessur rinlégration d'une classe d*équalions aux différentielles partielles linéaires, relatives au mouvement de la chaleur (7^td. t. VIII, 1854;.

QuelqneB parties de ce travail avaient déjà paru dans la Correspondance maihémiHique de M. Quetelet. Pagani soogeait toujours il traiter successivcmeat des diflérenles parties de TéquRibre et du mouvement, pour reprendre ensuite toutes ces éludes spéciales et en former un corps de doctrine. Son analyse est habile; mais il vit plutôt des pensées des grands maîtres que des siennes propres. On voit qu'il tourne volontiers autour des difflcultés scientifiques pour se donner la satisfaction de les vaincra, plutôt que pour se faire un nom (Quetelet, p. 106 .

8"" Note sur l'équilibre d'un système dont une partie est supposée inflexible, et dont Tautre partie est flexible et extensible (Ibid., t. VlU, 1854).

A Fappui de la dernière observation que lai a suggérée le mémoire n^ 7, ]|||. Quetelet cite la déclaration suivante de Paguni : «Dans les derniers mois do l'année 1828, je rédigeai sur le môme sujet (le sujet de la présente note) un essai qui fut présenté à l'Académie de Bruxelles, et qui mérita les encouragements de cette savante compagnie. Duns mon travail, je supposai, comme tous les géomètres qui s'étaient occupés de ce point de statique, que la forme du système est invariable, et après avoir établi à priori que la somme des carrés des pressions doit être an minimum, je fis voir que ce principe conduisait fc l'hypothèse d'Euler. Je me propose maintenant do revenir sur le même objet , en ayant égard cette fois à la déformation du système t ce qui fait disparaître l'indétermination qui existe efTectivcmcnt dans le cas général où la forme du système est supposée invariable. »

9" Problème relatif au cilcul des variations (BulL de l'Acad-, t* 11» p- ^i, 1855).

10^ Note sur un point de mécanique analytique (Ibid^, t. lii, p. 262, 4836.

1 i^ Sur la forme d'un corps doué de la plus grande attraction (Ibid,, p. 505).

12" Rapport sur deux mémoires de M. Uartynowski (Ibid,, t. IV, p. 81 et 155, 1857.

1 5° Mémoire sur Téquilibre d'un corps solide suspendu k un fil flexible (Mém» de VAcàd,, t. X, 1857).

I Ce Mémoire, dit M. Quetetat» renferma

encore un exemple bien frappant du changemenlqui s'était manifesté dans notre con* frère, k l'égard des théories mathématiques. On y trouve une nouvelle preuve qu'il a quitté les méthodes générales pour s'occuper de problèmes qui attiraient ratlenlion. J'avais décrit dans la Correspondance mathématique une expérience asses curieuse de M. Gregory, professeur de mathématiques à Woolwich.

Il s'agissait, entre autres, de l'équilibre d*un corps attaché par un point & l'extrémité inférieure d'un cordon, dont l'autre extrémité est fixée à l'axe vertical d'une roue qui tourne avec une vitesse constante. M. Pagani avait étudié avec soin les différents mouvements que prend le corps, et en avait fait Tol^eL de notes qui avaient excité l'attention de M. de Salys, jeune officier do génie, nouvellement sorti de l'Ecole polytechnique, qui présenta ses observations dans le même recueil ( * ). Pagani, en s'attachant à répondre aux objections qui lui avaient été faites, était parvenu à faire un travail assez complet; c'est ce mémo travail qu'il reprend plus tard avec plus d'ensemble, mais sans trop se soucier de la distance qu'il met entre ses études sur la mécanique en général (p. 107). •

14" Mémoire sur Téquation A" «=C (/Wi., t. XI, 1858).

Cette difllcullé avait déjà préoccupé Euler; Pagani s'attache à en développer l'interpréta* tion.

15^ Note relative à l'équation binôme A» «= C iJBM. de l'Acad., t. lY» p. 587 et 455, 1857).

1 6® Note sur la théorie algébrique des logaritbmes (/i».,t. VI, 1'* partie, p. 256, 1859).

17" Quelques considérations mathématiques sur les vents alizés (/^., p. 442).

18** Note sur une nouvelle manière de parvenir aux équations fondamentales de r hydrodynamique (It.y t. VI , 2'' p.,

19"^ Nouveau théorème de statique, qui comprend le (U^lébre théorème de Leibniz (!b,, p. 497).

20" Mémoire sur quelques transformations générales de Téquation fondamentale de la mécanique ()/éiit. de l'Aa<(/.,t.Xll, 1859).

Ecrit substantiel, oii l'auteur s'attache sur-

( * ) M. le général Nerenburger . parent de M. de Salys, prit pari à celte di:i€Uâsion, dont

les résultats ne furent pas sans intérêt.