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de génération. J'entends par là, précisément et simplement, la loi suivant laquelle un point succède à l'autre; en d'antres termes, le rapport de deux point contigus, rapport toujours le même entre tous les points contigus de la courbe, et qui fait justement l'unité, le caractère, la loi, ou l'élément de la courbe donnée.

Mais il semble que la difficulté augmente par ce que nous disons. Comment, en effet, analyser un élément, une loi qui n'est que le rapport de deux points, contigus ? Qu'est-ce que deux points géométriques contigus? Sont-ils distincts dans l'espace et séparés par un intervalle fini, quel qu'il soit? Non, puisque alors ils ne seraient pas contigus. Ils ne le seraient pas, car, entre deux, il y aurait, tout au contraire, une infinité de points — l'intervalle, quel qu'il soit, qui les sépare, étant toujours divisible à l'infini. Entre deux points contigus d'une courbe idéale et parfaite, il n'y a donc pas d'intervalle. Donc les deux points coïncident dans l'espace.

C'est ce rapport et cette distinction idéale , non réalisable par l'espace, ce rapport de deux points contigus qui sont inséparables et indivisibles, c'est là ce qu'il faut analyser. Et c'est pourquoi Leibniz appelle encore son procédé, « analyse des indivi-

L'INDUCTION APPLIQUÉE PAFi LEIBNIZ. 99

sibles » (analysis indivisibiliunî), en même temps qu'analyse des infinis [analysis infinitorum) .

Mais comment la géométrie, comment la raison peut-elle atteindre le rapport de deux points qui coïncident, ce qui revient à demander encore une fois comment analyser le continu , l'indivisible et l'infini ?

Voici comment Leibniz procède. C'est par l'analyse du fini, du divisible et du discontinu. Il analyse le fini, le divisible et le discontinu, qui correspond, comme signe, à l'infini qu'il veut analyser. Comme quand l'observateur, en pbysique, opère sur des phénomènes détachés, discontinus, en nombre fini, afin de trouver la loi qui, si elle est loi, est continue; de même Leibniz opère d'abord sur le discontinu, le divisible et le fini. Puis, quand il a trouvé les propriétés du fini, du* divisible, du discontinu, il cherche la propriété correspondante que suppose dans l'infini cette propriété du fini.

Il passe du fini à l'infini en vertu de ce principe : l'infini ressemble au fini, sauf son caractère d'infini ; principe qu'en théodicée il exprime ainsi: « Les ce perfections de Dieu sont celles de nos âmes, moins « la limite. » Ce principe est le ressort ; voici le procédé : « Pour passer du fini à l'infini, il suffit d'anéantir, dans toutes les propriétés du fini, ce

(jui constitue Le caractère même du fini ; ce qui reste est vrai dans l'infini. »

C'est cette hypothèse, ce principe, ou, si l'on veut, ce postulatum qui, en géométrie, se vérifie toujours. Ce procédé, dont, selon quelques-uns, on ne peut démontrer la légitimité, pas plus que celle des deux degrés d'induction dont parle Royer- Collard, ce procédé, selon tous, se vérifie toujours en géométrie par ses applications : il résout des questions que tout autre procédé est impuissant à résoudre; il résout, avec une merveilleuse facilité, ce que tout autre procédé résout péniblement et lentement.

C'est lui enfin qui, comme le dit Fontenelle, transforme la géométrie et en fait une science toute nouvelle, infiniment supérieure en puissance à l'ancienne géométrie.

C'est ainsi que Leibniz entendait le calcul infinitésimal, lorsqu'il écrivait à Varignon 1 : « Siquel- « qu'un n'admet point les lignes infinies et infini - « ment petites à la rigueur métaphysique et comme « des choses réelles, il peut s'en servir sûrement « comme de notions idéales. On peut dire que les « infinis et infiniment petits sont tellement fondés

1 Œuvres, t. m, p. 370.

« que tout se fait dans la géométrie, et même dans « la nature, comme si c'étaient de parfaites réa- « lités ; témoin non-seulement notre analyse géo- « métrique des transcendantes, mais encore ma loi « de la continuité, en vertu de laquelle il est perce mis de considérer le repos comme un mouvement « infiniment petit, et la coïncidence comme une dis- « tance infiniment petite, loi dont je remarquai de- « puis que toute la force n'avait pas été assez con- « sidérée.

« Cependant on peut dire, en général, que toute « la continuité est une chose idéale, et qu'il n'y a « jamais rien dans la nature qui ait des parties « parfaitement uniformes (continues); mais, en « récompense, le réel ne laisse pas de se gouverner « parfaitement par l'idéal et l'abstrait ; et il se « trouve que les règles du fini réussissent dans « l'infini, et que, vice versa, les règles de l'infini « réussissent dans le fini, comme s'il y avait des

« infiniment petits métaphysiques c'est parce

« que tout se gouverne par la raison, et qu'autre- « ment il n'y aurait point de science ni de règles, « ce qui ne serait point conforme avec la nature « du principe souverain. >»

Poursuivons donc. Nous disons que pour connaître l'essence des formes mathématiques, ou, si

m L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ.

l'on vont, l'essence des lois de la nature, c'est-àdire pour analyser le continu, l'indivisible, l'infini, le procédé infinitésimal analyse d'abord le discontinu, le divisible, le fini. Puis, par un procédé d'élimination, qui chasse, qui anéantit tout ce qui lient du fini dans le résultat obtenu, il modifie ce résultat, et enfin il affirme que ce résultat ainsi modifié est vrai pour le continu, l'indivisible et l'infini. Ce qui revient aux deux principes de saint Thomas d'Aquin, par lesquels, dit-il, on peut s'élever à la connaissance de Dieu, à partir de la nature et du créé, double principe que voici : « Pour connaître Dieu, il faut user d'un procédé « d'élimination. - — Tout ce qu'il y a, en toute créa- « ture, de perfection, de bonté, d'être, est en « Dieu infiniment. »

Venons au fait et à l'application. Ce qui précède ne demandait qu'à être lu attentivement. Ici commence l'étude que nous nous permettons de demander à nos lecteurs.

Il s'agit d'une ligne géométrique définie. La dé-

L'INDUCTION APPLIQUÉE Px\R LEIBNIZ. 103

finition d'une ligne ou courbe quelconque se donne par son équation. Une équation est une véritable proposition, un énoncé qui exprime et formule, en langue algébrique, le genre et le caractère de la courbe. Les équations définissent les courbes, en faisant connaître les distances de tout point de la courbe à deux lignes fixes, nommées les axes. On appelle y la distance du point à la ligne AB {voir la figure ci-dessous) et x la distance à la ligne AC. Ces deux distances, on le comprend immédiatement, font connaître la position de ce point. Or, la position de tous les points de la courbe est ainsi donnée par l'équation.

En effet, soit, par exemple, la courbe dont la définition, — qu'on veuille bien ne pas s'effrayer, — est donnée pas l'équation

ce qui se prononce^ égale x deux, et veut dire que, pour tout point de la courbe donnée, la distance à la ligne AB, distance qu'on nomme r, est le carré de la distance à la ligne AC, ou de la distance x : ce qui veutdire encore, — puisque le carré d'un nombre est ce nombre multiplié par lui-même, — que, si la distance x d'un point de la courbe est 2, la distance^ sera 4 ; qil(> *h pour un autre point, la

m L'LNDIjCIION Al'PLIQUÉL: 1W11 LEIBNIZ.

distance x est 3, la distance y sera o, ; si la distance ;jc est 4j la distance y sera 16 ; et ainsi de suite. On va voir que cette définition suffit pour faire

connaître la courbe et la tracer. Tout lecteur, muni d'un double décimètre, peut la tracer lui-même Prenez pour unité le demi-cenlimèlre. Tracez

su rie papier les deux lignes rectangulaires Ali, AC. Divisez ces deux lignes en parties égales au demicentimètre que l'on a pris pour unité. Numérotez ces points de division, et par ces points menez des lignes horizontales et verticales, qui seront comme des degrés de longitude et de latitude, pour y rapporter les différents points de la courbe.

Cela posé, essayez de déterminer un premier point, celui, par exemple, dont la distance x, — distance à la ligne AC, — est égale à i. Ce point évidemment se trouvera quelque part sur la seconde verticale. Mais à quelle hauteur? L'équation l'indique; car y — x~ veut dire, nous l'avons vu, que, si la distance x est 2, la distance y doit être le carré de 2, c'est-à-dire L\. Donc le point cherché se trouvera sur la quatrième ligne horizontale. Ce sera donc le point m.

Mais, de même, le point dont la distance x est 3 se trouvera sur la 3e verticale et sur la 9e horizontale. Ce sera le point n. Le point dont la distance x est 4 se trouvera sur la 4° verticale et sur la iGe horizontale. Ce sera le point o. Le point dont la distance x est 5 se trouvera sur la 5e verticale et sur la 25e horizontale. Ce sera le point p. Quant au point dont la distance x est 1, comme sa distance y doit être 1 multiplié par 1, ce qui fait 1,

il devra se trouver et sur la il£ verticale et sur la [re horizontale. Ce sera Je point i. Et le point dont la distance x est zéro, c'est-à-dire le point de la courbe qui se trouvera, s'il s'en trouve, sur la ligne ÀG elle-même, ce point aura aussi zéro pour distance jr, puisque zéro multiplié par zéro donne toujours zéro. Ce sera donc le point A lui-même, puisqu'il doit se trouver à la fois à une distance nulle de ces deux lignes, c'est-à-dire sur les deux ensemble, c'est-à-dire sur le point A , où elles se rencontrent. On déterminerait de même tous les autres points de la courbe.

Reliez maintenant tous ces points par un trait. La courbe prend figure. Il est inutile d'expliquer comment, de l'autre coté de la ligne AC, elle prendrait justement la même forme. Cette courbe se nomme la parabole.

On voit, d'ailleurs, que cette courbe est indéfinie dans ses deux branches, car en donnant à x toutes les valeurs possibles dans la série indéfinie des nombres, il y aura toujours une valeur de y correspondante : ce sera le nombre x multiplié par lui-même; ce qui veut dire que le point en question sera toujours possible, toujours réel et déterminé.

On comprend qu'il n'en est pas de même de

toutes les courbes et de toutes les équations. Car i par exemple, l'équation du cercle exprime qu'au delà d'une certaine valeur de x il n'y a plus de valeur pour jr, et que, par conséquent, la courbe ne va pas au delà.

Quoi qu'il en soit, le lecteur doit avoir compris comment l'équation ou formule algébrique j=x 2 définit sa courbe géométrique. Ceci n'est pas encore le calcul infinitésimal : c'est ce qu'on appelle l'application de l'algèbre à la géométrie ; découverte admirable, due à Descartes. Mais voici ce que Leibniz y ajoute : et c'est à quoi nous en voulions venir.

Étant donnée une courbe quelconque, celle, par exemple, que nous venons de tracer, l'analyse infinitésimale prétend trouver la loi intime de sa génération, c'est-à-dire la loi de passage d'un point au point suivant, en d'autres termes, la relation de deux points continus, c'est-à-dire de deux points qui coïncident. Et pour cela, comme nous l'avons dit, elle étudie la position relative de deux points

séparés par une distance finie quelconque, et elle y découvre ce qu'est la relation de deux points successifs que ne sépare aucune distance.

Soient deux points m et m' , dont les distances sont x et y pour m , et x et y pour tri . On veut

connaître d'abord leur position relative, quand ils sont séparés, c'est-à-dire la longueur et la direction delà ligne m m' qui les joint. La longueur, il est vrai, n'importe point ici, puisque bientôt on va la supposer nulle ; il s'agit donc seulement de la direction.

Or, il est facile de connaître la direction de la ligne miri, car la géométrie nous apprend que, dans un triangle m'mp, tel que celui-ci, on connaît l'angle en 7/z, qui est la direction cherchée de la ligne mm' 9 si l'on connaît les deux côtés du triangle mp et m! p. Cet angle est mesuré par le rapport des deux côtés, c'est-à-dire qu'il égale mp divisé par mp.

C'est un théorème géométrique que le lecteur admettra comme un fait.

Mais par la définition de la courbe, c'est-à-dire par son équation, nous connaissons les deux cotés cherchés mp et m'p; car mp est évidemment la distance x' moins la distance «r, ce que l'algèbre explique ainsi mp = x' — x [tnp égale x p rime moins x). De même m'p c'est y — -y, et l'algèbre dit : m'p =y — -y (m'p égale ) prime moins y). Or, la géométrie nous dit que l'angle cherché égale m'p divisé par mp , ou, ce qui est même chose, y — y divisé

par x' — x, ce que l'algèbre écrit ainsi :

/y' <ii

L'angle = ^rr^ (L'angle égale y prime moins y, divisé par x prime moins x. La barre horizontale signifie divisé par.)

Mais cet angle est ainsi exprimé d'une manière générale pour toute espèce de courbe. Quel est-il en particulier pour la courbe que représente l'équation y=x2 ?

Un calcul algébrique très-simple1 montre que

1 Pour mieux parler aux yeux, désignons par la lettre d, initiale du mot différence, la différence x'— x , c'est-à-dire la ligne mp. Cela voudra dire évidemment que x' égale x + d.

Or, puisque pour tout point de la courbe il est vrai que y égale x élevé au carré, il s'ensuit que y' égalera x' élevé au carré,

no l'induction appliquée par leibniz.

n l / /il

l'angle qui en général est se trouve représenté,

pour notre courbe, par la quantité 2x-\-d, en appelant d la différence x' — x.

Ainsi ix-\-d est la valeur de l'angle cherché. Cette quantité fait donc connaître la direction relative des deux points m et nï , puisqu'elle donne l'angle que fait avec l'horizon AB la ligne qui les joint.

Comprenons bien où nous en sommes. Nous voulons connaître la direction relative de deux points m et ni séparés par une distance finie , afin d'arriver à connaître la relation de deux points que ne sépare aucune distance, ou une distance infiniment petite, comme s'exprimait Leibniz.

Or, nous touchons au but, car il nous suffit maintenant de considérer avec attention ce que veut dire la quantité ix \-d

c'est-à-dire égalera x + d élevé au carré, ou x + d multiplié par lui-même.

Par la règle de la multiplication algébrique, que le lecteur admettra comme un fait, on trouve que x + d multiplié par lui-même, cYst x - + 2 x d + f/2. C'est la valeur de y' et on devra écrire : y' z= x- + 2 x d + d*. Mais alors que vaudra y' — y? Il suffira évidemment de retrancher x2 de x2+ 2 x d + d- , ce qui donnera

-i , i> ^ i v' — V ixcl + d* . , Zxd + d2. Des lors sera ^ — ou 2œ + d.

Cettp quantité se compose de deux parties : l'une ix ne varie évidemment pas quand le point nï se rapproche du point mf puisque/72 restant en place, sa distance x demeure la même, ainsi que 2x. Par conséquent l'autre partie d, qui égale x — x, diminue manifestement dans ce cas ; car x': diminue, et la différence x' — x ou d diminue nécessairement alors. Donc le rapport ou la position relative de deux points séparés par une distance Unie s'exprime par deux termes , l'un qui ne varie pas, quand l'un des points se rapproche, quel que soit le rapprochement ; l'autre qui diminue alors, et qui de plus s'anéantit rigoureusement lorsqu'ils viennent à coïncider. Donc, pour avoir le rapport de deux points lorsqu'ils coïncident, il suffit de connaître ce rapport tel qu'il est lorsque les points sont séparés, et d'effacer dans ce rapport ce qui caractérise la distance finie. Ce qui reste est vrai lorsqu'il n'y a plus de distance, ou que les points sont infiniment rapprochés , comme s'exprime Leibniz Or, nous l'avons vu, ce rapport ix-\-d représente l'angle que fait la ligne qui joint les deux points m et nï \ en d'autres termes, cette quantité exprime ou détermine la direction de la ligne droite indéfinie qui passe par les deux points. Quand les deux points sont séparés, cette ligne indé-

finie mni a La direction que présente la figure, et une partie finie d'elle-même est comprise entre les deux points. Lorsque les deux points se rapprochent, cette ligne tourne sur le point m et se rapproche de la direction mo. Lorsque les deux points coïncident, la partie de la ligne comprise entre les deux points est rigoureusement nulle ; mais cependant la ligne demeure déterminée par ces deux points, distincts dans l'idée, quoique confondus dans l'espace. Elle a précisément la direction mo que détermine la quantité 2.r, valeur de l'angle om.

On a donc analysé le fini pour connaître l'infini* ment petit. Dans ce que donnait le fini on a effacé le caractère du fini; ce qui reste s'est trouvé vrai pour l'élément infinitésimal, c'est-à-dire pour l'analyse et la connaissance de l'indivisible et de l'infini. On a analysé ledisconlinu, le divisible, le fini, et on y a trouvé la loi du continu, de l'indivisible, de l' infiniment petit.

Il est bien entendu aussi que tout ce raisonnement ne dépend en aucune sorte de l'exemple part iculier que nous avons pris; car, dans tous les cas, quelle que soit l'équation donnée, l'expression qui représente la direction relative des deux points se compose toujours de deux parties, l'une qui ne va-

^'INDUCTION APPLIQUÉE PAPx LEIBNIZ. 113

rie pas, l'autre qui diminue avec la distance des deux points, et s'annulle lorsqu'ils coïncident. C'est ce que l'algèbre exprime par cette formule générale, applicable à toutes les courbes possibles : f'x -f- XA«r. Le lecteur n'a pas besoin de la comprendre : il suffit qu'il voie de ses yeux qu'elle est composée de deux termes, l'un fx, et l'autre XA.r. Le premier terme fx ne varie pas lorsque les deux points se rapprochent; le second XA.r diminue toujours dans ce cas, et s'annulle rigoureusement lorsqu'ils se touchent : desorteque, dans tous les cas, l'anéantissement du second terme transporte notre pensée dans l'invariable, dans l'infiniment petit, en dehors de la discontinuité, dans la continuité, en dehors de la quantité variable, dans l'infini.

Et il faut bien comprendre que quand nous montrons l'analyse infinitésimale s'élevant de la considération du fini à l'idée et à la connaissance de l'infiniment petit, nous pouvons dire simplement qu'elle s'élève de la vue du fini à celle de l'infini, soit de l'infini en simplicité , soit de l'infini en grandeur.

L'idée géométrique infinitésimale implique en effet toujours indivisiblement ces deux faces de l'infini ; car elle consiste, comme nous l'avons vu, à considérer les lignes, les surfaces, les solides

If. 8

If A L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ.

eommê composés d'une infinité d'éléments infiniment petits. Du moment où l'esprit sort du fini, de La quantité qui peut toujours croître on décroître, il entre des deux cotés dans l'infini, qni ne peut ni décroître ni croître; il entre dans les deux infinis, comme s'exprime Pascal; il entre, comme le dit Leibniz, dans ces deux extrémités de la quantité, en dehors de la quantité, dans l'infini, en simplicité et en immensité.

Maintenant, le lecteur peut comprendre l'identité de ce procédé infinitésimal mathématique et du procédé logique général , que nous nommons le procédé fondamental de la vie raisonnable, et par lequel tous les grands philosophes ont démontré l'existence de Dieu et de ses attributs.

On voit comment Leibniz a précisément la même méthode en théodicée et en géométrie, lorsqu'il dit d'un côté : « Les perfections de Dieu sont celles de « nos âmes, moins la limite, » et que de l'autre il dit : « Les règles du fini réussissent dans l'infini et « réciproquement, » et qu'il applique cette règle en affirmant de l'infini géométrique ce qu'il voit dans le fini, après avoir effacé la limite, ou le caractère du fini.

Le lecteur peut donc juger lui-même si ce que nous venons d'exposer du calcul infinitésimal n'est

L'INDUCTION APPUOUKF PAR LEIBMZ. 115

pas exactement le même procédé que celui par lequel nous avons démontré l'existence de Dieu et de ses attributs. El pour que cette comparaison entre le procédé géométrique et le procédé métaphysique ait toutes ses données , nous reproduisons encore ici , avec le texte latin , la description du procédé métaphysique1 , formulé non par nousmêtîie , mais par un auteur évidemment désintéressé.

« Voici , dit cet auteur, la méthode pour arriver « à l'idée des attributs divins. Je considère dans « l'homme les images des attributs divins; je dis- « ti ngue dans les attributs humains ce qui s'y trouve « de réel et ce qui tient de la limite. Par exemple, « dans l'idée que le sens intime me donne de mon « intelligence , je distingue la réaîilé positive de « cette faculté et, sa limitation. Je supprime cette « limite , que remplace aussitôt l'idée d'infinité. « J'élève ainsi les idées des attributs humains juste les placer en Dieu même. — - L'essentiel dans ce « procédé est de bien distinguer ce qui, quoique « limité en nous , est en soi-même concevable « comme illimité. »

1 Bîlfingerius, Bilùciê.phiïmoph. , spcL iv, § 118. Modus iuïvestigandi notiones âttributorurfi divinorurn hic est Ad pxempla

Regarder le fini pour connaître l'infini; prendre le fini pour exemple ou signe de l'infini ; distinguer dans ce fini ce qui est essentiel, réel et positif, comme l'explique aussi Descartes , de ce qui n'est que la limite limite qui s'évanouit à mesure que la pensée s'élève vers l'infini , et qui s'annulle quand elle y touche; limite qui, en s'annulant, introduit par cela même le caractère de l'infini dans la notion qu'on avait tirée du fini : voilà tout le procédé métaphysique.

Or, le procédé infinitésimal, lui aussi, regarde le fini pour analyser l'infini ; prend le fini pour exemple de l'infini ; distingue dans ce fini deux termes, l'un essentiel, invariable [fx); et l'autre

illorum inter homines obvia attendendum est. Operam dabo ut in exemplis discernam quid proprie reale sit, quid limitât ioni debitum. Sic in idea quam de intellectu et conscientia interna sollicite institut a hausi, distinguere oportetid quod reale est, in ea facultaie, ab eo quod limitatum esf.Tunc vero vicelimitationis adjungo ideam infinitudinis. Ita licet attributorum nostrorum ideas evehere ut et Deo tribui illas non indecorum sit. Prseeipuum igitur hoc puto in omni hac causa , ut indagem quid in attributis nostris sit quod etsi in nobis limitatum sit , in sese tamen ideam infinitudinis admittat.

1 Les géomètres comprendront qu'ici le mot limite a un tout autre sens qu'en -géométrie. De notre point de vue métaphysique, nous appelons ici limite, non plus le terme extrême vers lequel converge la quantité croissante ou décroissante, mais au contraire l'intervalle qui sépare de ce terme final la quantité qui s'en approche.

accidentel et variable (X qui diminue à mesure que l'on approche de l'infini , et qui s' an nulle quand on y touche, ou plutôt qui, annulé par hypothèse, introduit par cela même le caractère de l'infini dans la notion qu'on avait tirée du fini. Tel est le procédé géométrique infinitésimal.

L'identité de procédé, pour la métaphysique et la géométrique, est manifeste.