CHAPITRE IV

L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIIiNIZ.

Nous vouons de décrire le procédé dialectique, ou l'induction, dans son application à la nature inanimée, et nous avons montré que cette application a été la création de la science.

Mais c'est surtout en mathématiques que ce grand procédé se montre dans toute sa précision , et avec tous ses caractères.

Essayons donc de faire connaître le procédé mathématique infinitésimal , et de montrer qu'il n'est que le procédé même par lequel la métaphysique démontre l'existence de Dieu.

Comme ce que nous avons à dire est précis;

comme il ne s'agit point ici d'une vague analogie (Mitre ces deux méthodes, mais d une entière identité ; connue le calcul infinitésimal n'est autre chose que l'application aux mathématiques du procédé dialectique général, il s'ensuit qu'il doit être facile de montrer cette identité. Aussi, ne demandonsnous que deux pages pour l'expliquer aux mathématiciens. Nous l'exposerons avec détail pour les autres lecteurs.

Parlons d'ahord aux mathématiciens.

Comme on pourrait craindre ici l'esprit de système, et soupçonner que, pour mieux établir l'identité dont il s'agit, nous accommodons à nos fins la description du procédé philosophique, laissons parler un auteur évidemment désintéressé, que cite * Dutens à propos de ce mot de Leibniz : « les perce fections de Dieu sont celles de nos âmes, moins « les limites. — Voici, dit cet auteur, la méthode « pour arriver à l'idée des attributs de Dieu. Je « considère dans l'homme les images des attributs « divins : je distingue dans les attributs humains « ce qui s'y trouve de réel, et ce qui tient de la li- « mite. Par exemple, dans l'idée que le sens intime « me donne de mon intelligence , je distingue la « réalité positive de cette faculté, et sa limitation. « .le supprime cette limite, que remplace aussitôt

a (par cela même) l'idée d'infinité. J'élève ainsi les « idées des attributs humains, jusqu'à les placer en « Dieu même. L'essentiel, dans ce procédé, est de « bien distinguer ce qui, quoique limité en nous, « est en soi-même concevable comme illimité. » En résumé, j'aperçois dans le fini quelque qualité positive , mais limitée. Je distingue cette qualité de cette limite. Par la pensée j'efface cette limite. Il reste cette même qualité considérée comme infinie. — Je demande si ce n'est pas là le procédé même qui est la base du calcul infinitésimal ?

En effet, pour connaître le rapport infinitésimal -~9 on considère le rapport des différences fi-

nies On trouve que ce dernier rapport égale f x -h X A .r, X étant une fonction de x et de A x. Cette expression est composée de deux parties , l'une /"' r, qui ne varie pas, quel que soit A<r, même si àx s'annulle, et l'autre X Ax, qui diminue avec A«r, et qui s'évanouit lorsque Ax s'annulle.

Mais quand àx s'annulle, le rapport *ï n'est plus un rapport de différences finies, c'est au contraire le rapport infinitésimal celui que l'on cherche à connaître. On pose donc que Ax est nul. Dès lors, le second terme du rapport f ^ + XAi' est nul aussi. Il ne reste que le premier terme

90 L'INDUCTIOlN APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ.

jf' x9 qui est précisément le rapport infinitésimal cherché.

Voilà le procédé infinitésimal.

Or, ou est la différence entre ce procédé mathématique et le procédé philosophique que nous avons décrit? De part et d'autre, pour connaître l'infini , on considère le fini correspondant. De part et d'autre , on trouve dans le fini deux éléments , un élément invariable et un élément variable Ce dernier caractérise le fini. Il s'anéantit dès qu'on sort du fini, et l'on sort du fini, par la pensée, dès qu'on le suppose anéanti. On l'efface donc, et on affirme que ce qui reste est vrai dans l'infini.

On le voit, c'est un seul et même procédé dans les deux cas.

Essayons maintenant de mettre cette explication à la portée de tout lecteur. Nous avons l'ambition de rendre intelligible à tous les esprits cultivés l'idée du calcul infinitésimal. Nous ne pouvons penser qu'il soit réellement impossible de rendre clair ce grand arcane de la science moderne, et nous en-

treprenons d'y réussir. Mais, pour cela, nous demandons de nos lecteurs plus qu'une lecture; nous demandons une étude attentive de deux heures sur les quelques pages qui vont suivre. Deux heures, pour comprendre le point le plus fécond et le plus important de la Logique et des mathématiques, ce n'est pas trop. Commençons par quelques préliminaires historiques qu'il suffira de lire attentivement, et dont il n'est même pas nécessaire de comprendre tous les détails. Nous avertirons le lecteur quand nous arriverons aux paragraphes qui doivent être étudiés.

Kepler, quia si heureusement appliqué l'induction véritable à la science du monde visible, Kepler, près d'un siècle avant Leibniz, commençait à appliquer le principe infinitésimal à la géométrie. « Kepler le premier, dit Montucla, osa introduire « en géométrie, dans le langage scientifique ordi- « naire, le nom et l'idée de l'infini. Il affirme que •< les formes géométriques sont, en toute rigueur, « composées d'une infinité d'éléments infiniment « petits; qu'un cercle est composé d'une infinité « de triangles infiniment petits ayant leurs soin- « mets au centre, et dont les bases infiniment pe- « tites sont les éléments de la circonférence; que « la sphère est composée d'une infinité de pyra-

« m ides analogues aux triangles du cercle ; le cône « et le cylindre d'une infinité de pyramides ou de « prismes, et ainsi des autres figures géométriques, « et par cette notion , Kepler démontrait d'une « manière directe et très-claire les vérités qui exi- « geaient, chez les anciens, des détours si singuliers « et si difficiles à suivre. »

C'est cette méthode facile, directe et simple, surtout depuis Leibniz, que de nos jours un célèbre mathématicien appelait X unique méthode générale d investigation et de démonstration en mathématiques, et que, par l'influence de cet illustre maître, l'Université avait essayé de rendre obligatoire dans renseignement. Mais ce progrès , que tant de bons esprits ont réclamé, n'est pas encore obtenu dans la pratique. On s'attache, peut-être par une sainte horreur de T infini, comme s'exprimait Fontenelle, à la considération du fini tout seul ; on travaille lourdement, pour marcher plus où moins sur les traces de Lagrange, à se passer de l'idée de l'infini, et par là l'enseignement des mathématiques élémentaires est privé de la vie, de la lumière, et de la rapidité qu'on lui pourrait donner'.

4 Le lecteur est prié de ne pas croire que nous voulions ici , de notre autorité philosophique privée, nous mettre à gourmander les

Le x\n° siècle, qui avait une foi vive à l'infini, a, pour ainsi dise, créé les mathématiques, et, par elles, l'ensemble des sciences modernes, en y introduisant l'idée de l'infini. « On sait, dit Fontenelle, « que la découverte de Leibniz porte nos court naissances jusque dans l'infini , et presque au « delà des bornes de l'esprit humain , du moins « infiniment au delà de celles où était renfermée <( l'ancienne géométrie. C'est une science toute nou- « velle, née de nos jours, très-étendue, très-subtile, « très-sûre. Les solutions les plus élevées, les plus <( hardies, les plus inespérées naissent sous les pas « de ceux qui la pratiquent. »

géomètres, comme le fait Hégel dans ses digressions mathématiques. De ce que nous avons eu l'honneur de passer par l'École polytechnique, il ne s'ensuit pas que nous nous regardions comme un grand mathématicien. Notre prétention va tout au plus à l'espoir de comprendre , avec de l'attention et du travail, ce que nous enseignent les maîtres. Mais lorsque nos maîtres à nous , maîtres illustres entre tous, nous ont, dans notre jeunesse, enseigné une doctrine ; lorsque beaucoup d'excellents esprits la partagent pleinement; lorsqu'elle est celle des inventeurs, Kepler et Leibniz; lorsqu'elle a été partagée pendant au moins un quart de siècle par toute l'Académie des sciences, et par l'Europe entière; enfin, lorsqu'il s'agit uniquement du coté métaphysique de la science, il est clair qu'en présence de ce partage d'opinion parmi les maîtres, nous avons le droit, comme tout auditeur attentif, de nous rangera un parti, surtout si nous avons l'espoir de contribuer peut-être à concilier les deux partis.

9{| l/INDUCTION APPLIQUÉE PAU LEIBNIZ.

Nous lavons déjà dit, ce sont les saints et les théologiens de la fin du xvie siècle et du commencement du c'est la grande philosophie, pleine de l'idée de Dieu et de l'infini, sortie , à son insu, de la sainte impulsion des contemplatifs, c'est cette théologie et cette philosophie qui ont surtout préparé la voie à Leibniz, et lui ont presque donné la méthode qu'il n'a eu qu'à traduire en langue mathématique.

Leibniz lui-même emploie, en parlant de sa découverte , une comparaison toute théologique , lorsqu'il dit (121 et 122 de la Théoclicéé) : « S'il « est vrai que nous ne soyons rien au prix de rince finité de Dieu, c'est justement le privilège de « son infinie sagesse, qu'il peut très-parfaitement « prendre soin de l'infiniment petit. Et encore qu'il a n'y ait aucune proportion assignable entre les « petites choses et son infinie grandeur, elles garce dent entre elles l'ordre, et servent au plan que ce Dieu leur a marqué. Et les géomètres imitent ce presque Dieu en cela par l'analyse infinitésimale, ce tirant de la comparaison des infiniment petits ce et des grandeurs inassignables des vérités plus ce grandes et pins utiles qu'on ne le croirait au « calcul des grandeurs assignables. »

Quoi qu'il en soit de cette filiation, nous avons,

en tout cas, montré, dans notre traité De la Connaissance de Dieu, que la droite voie de la prière, telle qu elle a été définie par l'Eglise, contre les faux mystiques, que le procédé métaphysique qui démontre l'existence de Dieu , et le procédé infinitésimal de Leibniz semblent calqués l'un sur l'autre.

Le procédé géométrique consiste véritablement dans un passage du fini à l'infini, fondé aussi sur ce principe que ce qui est dans le fini se trouve dans l'infini, moins les limites.

Quel est le but de l'analyse géométrique ? C'est de connaître l'essence des formes, leur nature, leur caractère. Qu'est-cequ'une forme géométrique ?Une forme géométrique, — je parle d'une forme absolue, continue, rigoureusement mathématique, — c'est d'abord une idée dans notre esprit. Chacun sait qu'il n'existe dans la nature aucune forme mathématique absolue, aucuneligne droite, aucun cercle, aucune figure parfaite et continue. Dans la nature, les lignes et surfaces des cristaux, par exemple, ne sont ni absolument droites, ni absolument planes, ni surtout continues, mais formées de points espacés, en nombre fini approximativement rangés en surfaces planes et en lignes droites. Rien donc, sans aucune exception, ne saurait être ni absolu, ni par-

<)6 L'INDUCTION APPilQtJÉE PAU LEIBNIZ.

fait, ni continu dans la nature; car absolu, parfait et continu sont tics synonymes d'infini. En effet, si une courbe d'une longueur finie est vraiment continue, il s'ensuit qu'elle renferme un nombre actuellement infini de points. Or l'infini, le parfait, l'absolu, n'existent qu'en Dieu. Un cercle parfait et continu est donc , non une réalité naturelle, mais une idée, idée abstraite pour notre esprit , mais qui a sa réalité en Dieu et en Dieu seul, en qui seul est tout ce qui est parfait et absolu. Et, pour nous, ces idées des figures parfaites et absolues sont, comme le reconnaissent tous les théologiens et tous les pbilosophes (je ne parle jamais des sophistes), ces idées ne peuventêtre qu'une certaine connaissance de Dieu, une certaine vue de Dieu, non pas directe et immédiate, comme le croyait Malebranche, mais indirecte et médiate : vue de Dieu, toutefois , qui , toute médiate et indirecte qu'elle est, ne saurait avoir lieu, si Dieu ne la produisait en nous, s'il n'en était la cause première, si les réalités correspondantes n'existaient pas en Dieu. Et c'est pourquoi Kepler, après Platon, saint Augustin et tous les philosophes chrétiens, disait : « La géo- « métrie est éternelle en Dieu. » (Geometrià ante rerum ortum menti ; divin ce plane coœterna .)

Ces idées absolues, ces figures parfaites, dont

l'objet réel n'est qu'en Dieu, qu'on ne peut voir qu'en Dieu ; ces idées qui portent sur toutes les faces et sous tous les points de vue le caractère de l'infini, voilà ce qu'il s'agit d'analyser. Et, en effet, Leibniz nomme son calcul : « Analyse des ini finis » [Analyste infniitoriinî) ; analyse qui était un chapitre de son ouvrage si al tendu, dont Maiebrance réclamait si instamment l'apparition , et dont nous n'avons que le titre : De Scientia in/î- 7? iti 1 . Ma i s corn m e n t pe u t-o n a n al y se i \ ' i n fi n i ? Co m ment entrer par la pensée dans la nature intime de ces formes parfaites, qui, si elles sont parfaites et absolument continues, renferment à la fois, de toute nécessité , et l'infiniment simple et l'infiniment grand , c'est-à-dire une infinité d'éléments infiniment petits, ne constituant qu'une seule forme, en d'autres termes, une seule idée?

Comment atteindre cet élément simple , qui est l'unité , la loi , le caractère de cette forme ou de cette idée, en qui se trouve toute la nature et toute la loi de la forme donnée ?

Que peut être la loi d'une forme, d'une courbe déterminée? Rien autre chose assurément que sa loi

i Aujourd'hui , grâce aux recherches heureuses de M. le comte Foucher deCareil , nous en possédons des fragments.