I. - MÉTHODE DES SCIENCES MATHÉMATIQUES

La méthode des sciences mathématiques est caractérisée, pour la plupart des logiciens, par sa marche exclusivement déductive. Comme on délinit d'ordinaire la déduction un raisonnement qui va du général au particulier, il en résulterait encore que les ma thématiques ne nous apprendraient rien et ne feraient faire aucun progrès véritable à l'esprit, puisqu'elles se borneraient à tirer des propositions générales qui leur serviraient de point de dépari, les propositions particulières qui y étaient enfermées.

Mais tous les mathématiciens n'ont pas de peine à faire remarquer que les mathématiques généralisent constamment, et constammentnous apprennent, à mesure qu'on avance dans leurétude, • les vérités qui nous étaient auparavant inconnues; constamment encore elles s'enrichissent de découvertes nouvelles. C'est ainsi que l'algèbre a été une généralisation de l'arithmétique, que la notion

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de nombre s'est généralisée à chaque grande découverte des mathématiciens. C'est encore ainsi qu'en géométrie nous nous avançons progressivement de l'examen d'un ras particulier, comme l'examen du triangle ou delà circonférence, à des cas beaucoup plus généraux, comme l'étude d'un polygone quelconque ou L'étude des coniques. La conception courante de la méthode mathématique n'est donc pas exai I

On peul remarquer d'abord que la déduction n'est pas exclusivement un raisonnement du généra] au particulier; cela n'est vrai que de la déduction formelle, du syllogisme verbal dont on use dans le discours ordinaire Mais la déduction scientifique, I qu'elle puisse s'exposer sous forme de syllogismes, va le plus souvent d'une proposition à une proposition équivalente, c'est-à-dire d'extension semblable.

Le raisonnement mathématique, qui est la véritable déduction scientifique se présente toujours comme une suite d'égalités.

Aussi a-t-on remarqué, en psychologie, <|u'il valait mieux définir la déduction par cette formule : le raisonnement quivade la rai son à la conséquence, que par cette autre formule : le raisonnement qui va du général an particulier. Il n'en reste pas moins que si l'on se bornait dans le raisonnement mathématique à aller du même au même et de la raison à la conséquence, sans pouvoir faireappe) à d'autres éléments que ceux que nous donne la proposition donton part, le champ des mathématiques serait singulièrement Limité.

Mais les mathématiciens (notamment //. Poincaré) oui insi-té sur ce t'ait que constamment le cours de la déduction est eu quelque sorte rompu par des propositions nouvelles qui sont des définitions et des raisonnements par récurrence ou inductions mathématiques. Ces éléments qui viennent s'insérer au milieu de la déduction, s». ut ce qui donne à la mathématique sa fécondité et ce qui lui permet de faire sans cesse progresser notre connaissance. La déduction ne s'établit qu'à partir de ces éléments, qui issitent vraisemblablement, pour être établis, d'autres opérations mentales, comme on le verra tout à L'heure. La méthode mathématique semble se présenter, par conséquent, comme une série indéfinie de propositions dont La déduction épuise le- cou quences, mais qui en elles-mêmes ne sont pas établies par la déduction.

L'étude de la méthode mathématique comportera donc, d'une p irt l'étude de la déduction et de la démonstration mathémai d'autre

part L'étude des éléments qui viennent s;m> cesse alimenter la déduction en apportant à notre connaissance 'le- données nouvelles qui n'étaient pas contenues dans Les données antérieures.