II. — LES ÉLÉMENTS DE LA DÉDUCTION MATHÉMATIQUE

La déduction mathématique comporte trois sortes d'éléments

qu'il est facile de retrouver, en ouvrant un traité quelconque de géométrie, d'algèbre ou de mécanique :

1° Des définitions ; 2° des axiomes et postulat* ;3° des propositions proprement dites, articulations des démonstrations.

A . Les définitions mathématiques, leurs caractères. —

à) Théorie du rationalisme traditionnel. — Xousavons vu, en parlant dos définitions en logique formelle, qu'elles cherchaient à caractériser le défini, tout le défini et le seul défini, en exprimant son essence, c'est-à-dire ce qui le fait ce qu'il est, et différer de tout le reste.

On peut dire qu'une définition mathématique pour le rationalisme traditionnel est une définition quia atteint ce but. Kl le exprime la propriété essentielle, qui seule, déterminerait le défini.

On pourrait, ce semble, définir un fait mathématique, une figure géométrique, par exemple, de plusieurs manières. Le triangle serait défini par la propriété que possèdent ses angles d'égaler 2 droits; mais cette propriété, si on l'examine, constituerait une mauvaise définition, car, pour qu'elle s'appliquât au seul défini, il faudrait spécifier qu'il s'agit d'une figure plane formée pardeslignes droites, ou que les angles sont au nombre de trois. Tandis que la propriété essentielle du triangle, la relation, la loi qui l'engendre, à savoir trois lignes droites se coupant deux à deux dans un plan, ne réclame aucune explication supplémentaire, et permet d'en déduire toutes les propriétés subséquentes, y compris celle de la somme des trois angles. Il n'y a donc d'un défini qu'une définition possible qui puisse satisfaire à toutes les exigences de notre connaissance : c'est celle qui exprime la loi par laquelle se produit le défini; et cette définition par excellence est la définition que l'on rencontre dans les sciences à forme déductive, c'est-à-dire dans les sciences mathématiques. C'est même elle qui permet de leur donner cette forme, car ce n'est que lorsqu'on tient la propriété essentielle qui engendre le défini et toutes ses conséquences qu'on peut songer à en déduire ces conséquences elles-mêmes.

1° « Ce qui fait l'essence d'un nombre, d'une figure, c'est la limite déterminée soit dans une collection d'unités, soit dans l'espace continu, matières communes de tous les nombres et de toutes les figures.

MÉTHODE DÉDUCTIVK. SCIENCES MATHÉMATIQ1

Or celte Limite résulle de la loi génératrice de lel nombre ou de telle (igure. La définition de ce nombre ou de celle figure énon :era cette loi; elle se l'ail par génération. Ainsi je définis le nombre 10 i le nombre engendré en ajoutant l'unité au nombre (.> ; La circo rence ; la courbe engendrée par le mouvement d'un point <{ui se meut toujours à la même distance d'un point fixe intérieur. »

2° « Cette première propriété en entraîne une autre. La notion mathématique est pour ainsi dire engendrée d'un seul coup. Elle ne se forme pas graduellement par la reunion d'éléments différents. »

Par cette propriété, elle s'opposerait irréductiblement aux définitions empiriques dont « les éléments sont récoltés peu à peu dans le champ de l'expérience ; la notion d'homme, par exe m pie, ou celle de mammifère, n'a pas été formée toul d'une pièce ; elle est faite de morceaux qui ont été rapprochés et unis au furet à mesure des révélations de l'expérience, et elle n'est jamais close; toujours (die reste ouverte aux éléments nouveaux que la science pourra découvrir dans l'homme ou le mammifère » (Liard, Logique, 80), Jusqu'au jour où l'on tiendrait enfin les propriétés essentielles de l'homme ou du mammifère, les lois par lesquelles ils sortent de la matière vivante commune, par Lesquelles ils s'engendrent. Mais on aurait alors d'eux une définition qui aurait tous les caractères, bien que sans doute incomparablement plus complexe — et c'est pourquoi nous sommes loin de la tenir — tous les caractères des définitions mathématiques.

Comme celles-ci énoncent « la Ici génératrice d'un nombre ou d'une figure, elles sont complètes aussitôt que cette loi est con«;ue et posée par L'esprit; par suite, elles sont définitives et immuai Ari>{olc n'avait pas de l'homme la même idée que Hu/fon; de Buffon à Cuvier^ cette idée s'est modifiée, enrichie, complétée; elle é'est modifiée encore de Cuvierh Claude Bernard; elle se modifiera encore...; mais nos géomètres ne se font pas du cercle une autre idée que Platon ai Euclide » ld.).

3° La définition mathématique, nombre ou figure, contient plusieurs éléments, car elle est toujours une relation^ une loi scientifique, puisqu'elle est la loi qui détermine intégralement le défini; «c'est, dans le nombre, une somme définie d'unités; c'est, dans Les formes géométriques, un système de rapports entre les Limites la Ggure. Le lien de ces éléments (la relation elle-même ou la loi) I pas contingent, mais nécessaire. Étant posé le nombre 3, je ne puis, sans le détruire, y ajouter ou en retrancher une unité môme le point dont le mouvement entendre une ligne droite ne peut changer de direction sans qu'aussitôt la figure soit

autre. »

4" Par suite, « les définitions mathématiques sont absolument universelles » {ld.). Quel que soit le moment, le lieu où non i lérons un nombre donné, il aura toujours la même loi 'Je formation et les mêmes propriétés. De môme pour une figure géométrique. Si leurs éléments sont donnés, il sera toujours possible, et dans quelque univers que ce soit, en suivant la définition, de réaliser le défini

La thèse rationaliste consiste en somme à soutenir que l'esprit posant par une opération qui lui est propre, parune construction a priori, les notions ou concepts mathématiques, pose parla leur définition essentielle. Toutes les propriétés de ces notions peuvent être déduites ensuite par voie démonstrative de cette définition première. Comme elles se déduisent d'elle, elles sont également caractéristiques de la notion, et peuvent, selon la nature de la question, être prises à leur tour comme définition particulière de cette notion. Mais le mot définition n'a plus alors son sens plein. Il signifie plutôt connotation utile, pour des cas spéciaux. La véritable définition reste la définition essentielle dont toutes les autres se déduisent, car elle exprime la loi de conslruction, l'essence même du concept et reste par suite en droit et logiquement antérieure à elles toutes.

b) Théories empiristes et théories nouvelles. — Dans les théories empiriques qui rattachent étroitement les mathématiques aux autres sciences de la nature au point de vue de leur nature profonde, en en faisant des sciences sorties originairement de l'expérience, les définitions, on le comprend aisément, ne peuvent plus être caractérisées comme uniques immuables, engendrées d'un seul coup, exprimant l'essence, même du défini. Elles ne peuvent plus que suivre le sort commun des délini lions empiriques, constamment révisables, et évoluant avec le développement même de la science (cf. ch. xxxvn,

a) La plupart des mathématiciens actuels, bien moins rationalistes que leurs prédécesseurs, donnent, même quand ils sont comme H. Poincaré fort loin d'être empiriques, des théories des délinitions mathématiques qui présentent des traits analogues.

H. Poincaré en ferait des hypothèses, très différentes des deux genres d'hypothèses qui interviennent dans la méthode expérimentale (cf. p. 050 et 651). Ce troisième genre consisterait en conventions commodes posées par l'esprit pour des besoins scientifiques, et sans aucun rapport (au contraire des deux autres genres) avec l'expérience. Hypothèse en mathématiques signifierait donc : ce qu'on prend pour accordé, ce dont on part, — et serait toujours assez voisin de ce qu'on appelle hypothèse dans l'énoncé d'un théo-

MÉTHODE DÉDUCTIVB. SCIENCES MATHÉMATIQUES GOIi

rème. En dernière analyse la notion mathématique serait une construction de l'esprit, et la définition se bornerait à énoncer une propriété de cette notion, permettant de la reconnaître, et d'en déduire les autres propriétés. Comme on peut, lorsque plusieurs propriétés sont liées ensemble (rime façon nécessaire par.la construction de l'objet qui les présent»', choisir «l'une façon arbitraire celle que l'on prend pour point de départ, afin * I ' •* n déduire les autres, on voit que toute définition mathématique est une des propriétés du défini, choisie arbitrairement pour la commodité de l'exposition, et qu'il peut y avoir du même défini plusieurs définitions possibles, selon le point de vue où l'on se place, et des définitions nouvelles, à mesure qu'on

s'élève à des points de vue non \ e<i iix que la science n'avait pasjusque-

là considérés encore .

Un rôle prépondérant donné' à l'expérience dans les sciences mathématiques permet d'aller plus loin.

1° Dans certains cas, les notions qui font l'objet des mathématiques étant tirées d'une expérience a la vérité fort déguisée par les rectifications de l'abstraction, laquelle finit par ne plus retenir des chosesque des rapports, presque entièrement dépouillés de tout résidu concret et réel (rapports d'ordre, de grandeur et de situation), sont suscej tibles cependant d'être modifiés par tout enrichissement de l'en pé rien ce et par toute considération de rapports encore inaperçus. La mathématique, pour déductive qu'elle soit dans chaque démonstration spéciale, procède dans L'ensemble par généralisations successives, grâce aux nouvelles constructions mentale-; que L'esprit élabore à L'aide des éléments qu'il a déjà à sa disposition, ou grâce encore à L'intuition de nouvelle- relation- réelles ou possibles.

Les différentes définitions nouvelles que l'on est ainsi conduit i poser d'un même « objet o mathématique, d'un même - fait ■ thématique pour employer une expression de ./. Tannery qui convient bien aux théories nouvelle-, ne sont pas, bien qu'elles puissent évidemment s'y relier par voie de démonstration synthétique, de simples déductions de la définition antérieure. Cesontles résultats d'un point de vue nouveau, de la découverte de relations nouvelles,

d'une « intuition » nouvelle, pou n'ait -on encore dire. Ml elle- c tituent un enrichissement positif des conception- préliminai Elles les renouvellent tout comme une découverte dans le domaine des sciences de la nature enrichit la conception que nous nous faisions des faits qu'elle concerne et leur donne parfois un sens tout à l'ait nouveau. Par exemple, la définition de la circonférence comme section conique L'apparente aux autres coniques; de même sa définition par son équation analytique. Ainsi se trouve facilitée

!;i solution de toute une série <l<' questions, ou s'entrevoienl dea aperçus nouveaux .

2° Dans les autres cas, les plus fréquents, on ne peut pas dire que la définition nouvelle modifie la notion ou l'enrichit, car l'en semble des propriétés connues reste le même. Mais si elle emploie telle propriété de cette notion, de préférence aux autres, \><>\\r la définir, c'est pour des raisons de commodité. Comme b-s propriétés caractéristiques d'une notion mathématique peuvent se déduire les unes des autres, et cela de plusieurs manières, elles sont évidem-: ment interchangeables, et c'est la commodité qui décide de celle dont on part en la choisissant comme définition. La définition, et nous le verrons à propos des définitions dans les sciences expérimentales, est le plus souvent en effet une opération dans l'élaboration de laquelle les raisons d'utilité et de commodité jouent un très grand rôle. Kl le n'est plus le but et le terme des opérations scientifiques. Elle est un moyen nécessaire, c'est vrai, mais seulement l'un des moyens nécessaires que la science emploie pour atteindre son but essentiel : l'enrichissement de la connaissance.

Il faut rapprocher ces deux classes de définitions des deux classes de définitions que nous distinguerons dans les sciences expérimentales. La seconde se rapproche beaucoup des dé finitions préliminaires en usage dans ces dernières sciences pour délimiter l'objet de la recherche en le dénommant par une propriété ou un ensemble de propriétés bien caractéristiques de façon à éviter toute équivoque. — Le : premiergenrededélinition, au contraire, est une condensai ion de connaissances, et représente en quelque sorte notre façon actuelle de comprendre et de concevoir le défini.

En résumé, les théories nouvelles considèrent les sciences mathématiques comme beaucoup plus ouvertes et mobiles, beaucoup moins arrêtées, cristallisées et définitives que ne le croyait la théorie traditionnelle. Les mathématiques sont rapprochées, par là, des autres sciences, tout en restant véritablement plus assises et moins imparfaites. Elles ne cessent comme elles d'évoluer, bien que dans une mesure plus restreinte; elles restent toujours perfectibles.

B. Axiomes et postulats. — On définit d'ordinaire les axiomes: desvérités évidentes par elles-mêmes ; les postulats: des vérités, qui sans être évidentes, ni démontrables, sont cependant nécessaires an développement de la science.

En général, on rencontre, en chemin, les postulats, tandis que les axiomes sont énoncés dans les préliminaires de la science.