DE LA DÉDUCTION

Rôle de l'intuition en mathématique : A. Rejet de l'intuition. — Première forme de l'idéalisme mathématique, théorie formaliste. — Les critiques de la méthode mathématique ont répondu à cette question de deux façons opposées.

Pour les uns (idéalisme mathématique), Jes mathématiques sont uniquement le développement de certaines idées de la raison. Ce développement se fait d'après les lois de l'esprit, qui sont, comme on le sait, les lois de la logique formelle. Les mathématiques seraient ainsi l'œuvre .de la pensée pure. Elles se constitueraient à l'aide des seules lois de la raison, sans faire appel à d autres éléments, et ne seraient qu'une promotion de la logique formelle.

En combinant les notions immédiates et très simples qui forment le contenu de notre raison (notions qui, peut-être, se réduisent toutes à l'idée abstraite et générale de relation, lorsqu'on élimine absolument toute considération des objets qui soutiennent la relation et lui donnent une forme particulière), on forme les notions de groupe et de classe, d'où l'on peut déduire les notions de nombre, d'ordre et de grandeur. Ainsi la raison tire d'elle-même (en ne retenant que la forme des relations et en éliminant leur contenu, les objets sur lesquels elles portent), toute la science mathématique, d'où le nom de formalisme mathématique donné à cette doctrine.

Dans cette théorie, définitions, axiomes, postulats, inductions complètes ne sont que les combinaisons formées, avec une inlassable puissance, par la raison qui combine selon ses lois propres (les lois de la logique formelle) le très petit nombre d'éléments qu'elle a d'abord créés. Le progrès des mathématiques n'est dû qu'à la complexité indéfiniment croissante de ces combinaisons rationnelles. La mathématique est une promotion de la logique, a dit Leibniz.