MÉTHODE DÉDUCTIVE. SCIENCES MATH ÉMATIQ

L'opération x -f- a sera définie par l'égalité:

Nous saurons donc ce que c'est que x -)■• a quand nous saurons ce que c'est que x -\- (a — 1).

Et comme j'ai supposé au début que l'on savait ce que c'est que T l j? on pourra définir successivement et par récurrence les opérations : x -\-2, x-\-3< etc. Cette définition mérite un moment d'attention, elle est d'une nature particulière, qui la distingue déjà de la définition purement logique (c'est-à-dire dune pure déduction).

L'égalité 1 contient en effel une infinité de définitions distinctes, chacune d'elles n'ayant un sens que quand on connaît celle qui la précède. » (II. Poincaré, la Science et l'Hypothèse, p. 15.)

Ce genre de raisonnement consiste à vérifier analytiquement qu'une propriété est vraie pour le premier terme, dans la série des termes dont on affirme cette propriété, puis à montrer qu'en supposant cette propriété vérifiée pour un terme quelconque elle sera vraie pour le terme qui suit. Alors par récurrence on voit ({n'en remontant de terme en terme on est forcé de reconnaître qu'elle est vraie .l»> tous les termes possibles de la même l'orme. « Le jugement sur lequel repose le raisonnement par récurrence peut être mis sous d'autres tonnes. » Mais on ne peut se soustraire à cette conclusion « que la règle du raisonnement par récurrence est irréductible au principe de contradiction ». Ce n'est donc pas un raisonnement déductif. « On ne saurait méconnaître qu'il y a là une analogie frappante avec les procédés habituels de l'induction. »( Poincaré, la Science et l Hypothèse, p. 23 et 24).

L'esprit conçoit la repétition indéfinie d'unmême fait dès que celui-ci a été donné une fois. 11 y a toutefois avec l'induction ordinaire cette différence que, dans l'induction mathématique, le raisonnement, au lieu de rester toujours hypothétique, est absolument certain. Mais celte différence pourrait peut-être tenir à ce que les inductions mathématiques s'exerçant sur des données extrêmement simples et complètement claires pour l'esprit, on y aperçoit de suite le lien de la raison à la conséquence, qui, comme on lésait, est Le principe du raisonnement inductif. L'induction mathématique ne serait alors que

la forme la plus simple. cl pour cela parfaite, de l'induction ordinaire.

En résumé, définitions, axiomes et postulats, raisonnements par irrence sont des points de départ dont la déduction a besoin, mais qu'elle n'établit pas. D'où viennent-ils?

h; LOGIQUE