MÉTHODE DÉDUCTIVE SCIENCES MATHÉMATIQUES

exemple, sont de l'avis de Kani. Les mathématiques ne fonl p appel à l'expérience mais elles ne se développent pas non plus par le seul raisonnement déductif. Elle9 ont besoin d'intuitions a priori^ d'actes spéciaux de l'esprit. Ces actes sont : en géométrie, les constructions des ligures qui entraînent les définitions de ces mêmes ligures et impliquent une intuition de l'espace, en arithmétique et en algèbre les décompositions cl les combinaisons faites Bur les nombres, et dans toutes les mathématiques, les raisonnements par récurrence. Le ressortdece raisonnement auquel, d'après Poincaré, les mathématiques sont redevables de tous leurs progrès ne peut nous venirde l'expérience. Celle-ci pourrai! bien nous apprendre que la proposition qu'il s'agit de démontrer est vraie d'une portion plus ou moins longue, mais toujours limitée, de la série indéfinie di termes que nous considérons, mais oe pourrait jamais épuiser celle série indéfinie : « Cette règle, inaccessible à la démonstration analytique et à l'expérience, est le véritable type du jugement synthétique a priori... Pourquoi donc ce jugement s'impose-t-ii à nous avec une irrésistible évidence? C'est qu'il n'est que l'affirmation de la puissance de l'esprit, qui se sait capable de concevoir la répétition

indéfinie d'un même acte, dès que cet acte est une l'ois possible.

L'esprit a do cette puissance une intuition directe, et l'expérience ne peut être pour lui qu'une occasion de s'en servir et par là i\'^i\ prendre conscience...

« L'induction appliquée aux sciences physiques est toujours incertaine, parce qu'elle repose sur la croyance à un ordre général de l'univers, ordre qui est en dehors de nous. L'induction mathématique, c'est-à-dire la démonstration par récurrence, s'imp au contraire nécessairement, parce qu'elle n'est que l'affirmation d'une propriété de l'esprit Lui-même. » (/</., Poincaré, p. 23

Bien qu'elles soient île la même Camille, il y a entre les conceptions cartésiennes, kantiennes et les conceptions analogues à celles de Poincaréi cette différence que l'objectivité de la mathématique y \ a en décroissant.

1° Dans la conception cartésienne, l'intuition intellectuelle nous fait connaître des propriétés réelles que les sens sont impuissants à nous r"\ éler ;

2° Avec Kani le jugement synthétique a prit- simplement

une relation nécessaire selon laquelle notre esprit se représente le donné, mais qui par elle-même n'a rien de réel ;

3" Enfin, pour Poincaré la notion mathématique est une convention de l'esprit qui, en soi. n'a plus rien de réel, ni de néci saire : c'est en cesensque Poincaré insiste sur te rôle de Chypotln