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en mathématiques, puisque, pour lui, toute proposition mathéma tique est une création arbitraire de L'esprit.

On pourrait alors demander comment il se fait, >i les mathématiques sont tirées toutes entières de l'esprit, qu'elles rendent d<

grands services dans les sciences expérimentales et qu'elles se prêtent d'une- façon si remarquable à traduire les résultats de

l'expérience et à les prévoir par le calcul. Les philosophes idéalistes font en général cette réponse : si les formules mathématiques peuvent s'appliquer à la réalité, c'est qu'au fond la pensée et la

réalité sont identiques.

b) Empirisme mathématique. — Les philosophes empiriques, Comte, Stnart Mill, Spencer, Taine, et la plupart des mathématiciens partent d'un point de vue tout opposé, il s'accorde d'ailleurs avec tout ce que nous savons de l'histoire des mathématiques, et tout ce que nous avons dit de leur méthode jusqu'à présent : « Nomhres et ligures ne font pas exception à cette loi générale d'après laquelle toute connaissance dériverait soit directement, soit indirectement de l'expérience sensible. » (Liard : Définitions géométriques, 76.)

Les mathématiques sortent de l'observation et de l'induction expérimentale, tout comme les sciences qui ne sont pas encore déductives. Les définitions mathématiques ont donc une origine expérimentale lointaine, mais réelle.

1° Empirisme pur et simple. — Mais il faut s'entendre sur la façon dont elles ont été tirées de l'expérience, d'autant plus que, d'après la thèse de certains logiciens empiriques, toutes les autres sciences tendant à la même forme, ce travail s'opère, ou s'opérera tôt ou tard pour toutes, si toutefois il ne dépasse point les forces humaines.

On a souvent représenté l'empirisme d'une manière assez grossière et qui le rend inacceptable. En voyant des fils très fins, par exemple, l'esprit aurait peu à peu imaginé la droite; en voyant des troncs d'arbre, le cylindre et les sections de ces troncs, la représentation du cercle. On a beau jeu pour répondre que la droite, par définition, n'ayant ni largeur ni épaisseur, la nature n'a jamais pu peindre en nous son image, qu'il n'y a dans le monde ni cylindre, ni cercles parfaits, etc., et que, d'autre part, certaines ligures géométriques (un polygone d'un millier de cotés). n'ont jamais pu, môme approximativement, nous être présentées par l'expérience.

2° Empirisme rectifié. — Les définitions mathématiques, suggestions de V expérience. — Admettre que les sciences mathématiques