CHAPITRE IV

h INDUCTION APPLIQUEE PAR LEIBNIZ.

Nous venons de décrire le procédé dialectique, ou l'induction, dans son application à la nature inanimée, et nous avons montré que cette application a été la création de la science.

Mais c'est surtout en mathématiques que ce grand procédé se montre dans toute sa précision, et avec tous ses caractères.

Essayons donc de faire connaître le procédé mathématique infinitésimal^ et de montrer qu'il n'est que le procédé même par lequel la métaphysique démontre l'existence de Dieu,

Comme ce que nous avons à dire est précis;

L1NDUCTI0N APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ

ranime il ne s'agit point ici d'une vague analogie entre ces deux méthodes, mais d'une entière identité ; comme le calcul infinitésimal nVst autre chose que l'application aux mathématiques du procédé dialectique général, il sVnsuit qu'il doit être facile de montrer cette identité. Aussi, ne demandonsnous que deux pages pour l'expliquer aux mathématiciens. Nous l'exposerons avec détail pour les autres lecteurs.

Parlons d'abord aux mathématiciens.

Comme on pourrait craindre ici l'esprit de système, et soupçonner que, pour mieux établir l'identité dont il s'agit, nous accommodons à nos fins la description du procédé philosophique, laissons parler un auteur évidemment désintéressé, que cite Dutens à propos de ce mot de Leibniz : « les per- « fections de Dieu sont celles de nos âmes, moins ff les limites. — Voici, dit cet auteur, la méthode « pour arriver à Fidéi» des attributs de Dieu. Je « considère dans l'homme les images des attributs i( divins : je distingue dans les attributs humains « ce qui s y trouve de réel, et ce qui tient de la li- « mite. Par exemple, dans l'idée que le sens intime « me donne de mon intelligence, je distingue la « réalité positive de celte faculté, et sa limitation. « Je supprime celte limite, que remplace aussitôt

L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ

« (par cela même) l'idée d'infinité. J'élève ainsi les « idées des attributs humains, jusqu'à les placer en « Dieu même. L'essentiel, dans ce procédé, est de « bien distinguer ce qui, quoique limité en nous, « est en soi-même concevable comme illimité. » En résumé, j'aperçois dans le fini quelque qualité positive, mais limitée. Je distingue cette qualité de cette limite. Par la pensée j'efface cette limite. Il reste cette même qualité considérée comme infinie. — Je demande si ce n'est pas là le procédé même qui est la base du calcul infinitésimal ?

En effet, pour connaître le rapport infinitésimal -^ , on considère le rapport des différences finies ^. On trouve que ce dernier rapport égale

f\i' -h XA.r, X étant une fonction de x et de A.r. Cette expression est composée de deux parties, l'une /'.t', qui ne varie pas, quel que soit A.r, même si àx s'annule , et l'autre X A.r, qui diminue avec A.r, et qui s'évanouit lorsque A.r s'annule.

Mais quand A.r s'annule , le rapport ~ n'est

plus un rapport de différences finies, c'est au contraire le rapport infinitésimal-^ , celui que l'on

cherche à connaître. On pose donc que A t est nul. Dès lors, le second terme du rapport /\v + XA^ est nul aussi. Il ne reste que le premier terme

M L-INOUCTION APPLIQUÉE PAR l-EIBNIZ-

/'., qui est précisément le rapport infinitésimal

cherché.

Voilà le procédé infinitésimal.

Or où est la différence entre ce procède matlie- „,atique et le procédé philosophique que nous avons décrit? De part et d'autre, pour connaiU^ l-.„fioi, on considère le fini correspondant. De part et d'autre, on trouve dans le fini deux éléments, un élément invariable et un élément variable. Ce dernier caractérise le fini. Il s anéantit

des qu'on sort du fini, et l'on sort du fin., par la pensée,dèsquonlesupposeaneanti,iui,cetelement

vanable qui caractérise le fini. On l'efface donc, et on affirme que ce qui reste est vra. dans m-

On le voit, c'est un seul et même procède dans les deux cas.

Essayons maintenant de mettre cette explication à la portée de tout lecteur. TSous avons Tambition de rendre intelligible à tous les esprits cultivés l'idée du calcul infinitésimal. Nous ne pouvons penser qu'il soit réellement impossible de rendre clair

L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ

ce grand arcane de la science moderne, et nous entreprenons d'y réussir. Mais, pour cela, nous demandons de nos lecteurs plus qu'une lecture ; nous demandons une étude attentive de deux heures sur les quelques pages qui vont suivre. Deux heures, pour comprendre le point le plus fécond et le plus important de la Logique et des mathématiques, ce n'est pas trop. Commençons par quelques préliminaires historiques qu'il suffira de lire attentivement, et dont il n'est même pas nécessaire de comprendre tous les détails. Nous avertirons le lecteur quand nous arriverons aux paragraphes qui doivent être étudiés.

Kepler, qui a si heureusement apphqué l'induction véritable à la science du monde visible, Kepler, près d'un siècle avant Leibniz, commençait à appliquer le principe infinitésimal à la géométrie. '< Kepler le premier, dit Montucla, osa introduire « en géométrie, dans le langage scientifique ordi- (( naire, le nom et l'idée de l'infini. Il affirme que « les formes géométriques sont, en toute rigueur, « composées d'une infinité d'éléments infiniment c( petits ; qu'un cercle est composé d'une infinité <c de triangles infiniment petits ayant leurs som- « mets au centre, et dont les bases infiniment pe- « tites sont les éléments de la circonférence ; que

L'INDUCTION APPLIQBÉE PAR LEIBNIZ

« la sphère est composée d'une infinité de py.a- « mides analogues aux triangles du cercle ; le cône . et le cylindre d'une infinité de pyramides ou de . prismes, et ainsi des autres figures géométriques, „ et par cette notion, Kepler démontrait d une

• Jî-fl^tP et très-claire les vérités qui exi- « manière directe ciiresci.ui .

, geaient, chez lesanciens, des détours si singuliers

« et si difficiles à suivre. »

C'est cette méthode facile, directe et simple, surtout depuis Leibniz, que de nos jours un célèbre mathématicien appelait X unique mélhode grnrrnh din^esli^alion et de démonstration en mathématiques, et que, par l'influence de cet illustre maître, l'Université avait essayé de rendre obligatoire dans l'enseignement. Mais ce progrès, que tant de bons esprits ont réclamé, n'est pas encore obtenu dans la pratique. On s'attache, peut-être par une sainte Iwrreur de l'infini, comme s'exprimait Fontenelle, à la considération du fini tout seul ; on travaille lourdement, pour marcher plus ou moins sur les traces de Lagrange, à se passer de l'idée de l'infini, et par là l'enseignement des mathématiques élémentaires est privé de la vie, de la lumière, et de la rapidité qu'on lui pourrait donner '.

« U lecteur est prié de ne pas croire que nous \oulions ici, de

l/INDtCïlON APPLIQUÉE PAU LKIBNIZ.

Le dix-septième siècle, qui avait une foi vive à l'infini, a, pour ainsi dire, créé les mathématiques, et, par elles, l'ensemble des sciences modernes, en y introduisant l'idée de l'infini. « On sait, dit Fon- « tenelle, que la découverte de Leibniz porte nos « connaissances jusque dans l'infini, et presque au- « delà des bornes de l'esprit humain , du moins « infiniment au-delà de celles où était renfermée « l'ancienne géométrie. C'est une science toute nou- « velle, née de nos jours, très-étendue, très-subtile, « très-sûre. Les solutions les plus élevées, les plus « hardies, les plus inespérées naissent sous les pas « de ceux qui la pratiquent. »

imtrc autorité philosoplii<iuc privée, nous mettre a gourmander les f:éomètres,comH.c le faitHégeldanssesdiî,'ressions mathematifiues. De G., que nous avons ru l'honneur de pa^s.v parl'Ecole polyteehnique.il ne s'ensuit pas que nous nous r.gardions comme un grand mathématicien. Notre prétention va tout au plus à Tespoir de commendre avec do l'attention et du travail, ce que nous enseignent les maUres. Mais lorsque nos maîtres à nous, maîtres illustres entre tous, nous ont, dans notre jeunesse,euseigné une doctrlne;lorsque beaucoup d'cxcellenls esprits la partagent pleinement; lorsqu elle est celle des inventeurs, Kepler et Leibniz; lorsqu'elle a ete partagée pendant au moins un quart de siècle par toute 1 Académie des sciences, et par l'Europe entière; enfin, lorsqu'il sag.t uniquement du côté métaphysique de la science, .1 e t clair qu en présence de ce partage d'opinion parmi les maîtres, nous avons le droit, comme tout auditeur attentif, de nous ranger a un parti, surtout si nous avons l'espoir de contribuer peut-être a concilier les deux partis.

. If

LINDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ

L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ

Nous l'avons déjà dil, ce sont les sa.nts et les .héologiensde la fin du seizième siècle et du commencement du dix-septième, c'est la grande plulosopine, pleine de l'idée de Dieu et de l'infin,, sortie, à son insu,de la sainte impulsion des contemplatifs, c'est celte théologie et cette philosophie qui

^ ^ r.,.Aon, ;. Il voie à l.eibnitz, et lui ont ont surtout prepai ( la \uit ^

presque donné la méthode qu'il n'a eu qu'a traduire en langue matliématique.

Leil>niz lui.ménie emploie, en parlant de sa decouverte , unc^ comparaison toute théologique, lorsquïl dit-i.i et 122 delà Théodœée):«>^^i a est vrai que nous ne soyons rien au prix de l m- « tinite de Dieu , c'est justement le privilège de ce son infinie sagesse, qt.'il peut très-pariaitemenl « prendre scnii de rinfiuiment petit. Kt encore qu il « n'y ait aucune proportion assignable entre les « petites choses et son inlinie grandeur, elles garce dent entre elles Tordre, et serv ent au plan que « Dieu leur a maniue. Et les géomètres imitent « presque Dieu en cela par l'analyse infinitésimale, a tirant de la comparaison des infiniment petits a et des grandeurs inassignables des vérités plus ce grandes et plus utiles qu'on ne le croirait au ce calcul des grandeurs assignables. »

Quoi qu'il en soit de cette filiation, nous avons.

en tout cas, montré, dans notre traité De la connaissance de Dien, que la droite voie de la prière, telle qu'elle a été définie par l'Église, contre les faux mystiques ; que le procédé métaphysique qui démontre l'existence de Dieu, et le procédé infinitésimal de Leibniz semblent calqués l'un sur

l'autre.

Le procédé géométrique consiste véritablement dans un passage du fini à l'infini, fondé aussi sur ce principe que ce qui est dans le fini se trouve dans l'infini, moins les Hmites.

Quel est le but de l'analyse géométrique? C'est de connaître l'essence des formes, leur nature, leur caractère. Qu'est-ce qu'une forme géométrique? Une forme géométrique, —je parle d'une forme absolue, continue, rigoureusement mathématique, — c'est d abord une idée dans notre esprit. Chacun sait qu'il n'existe dans la nature aucune forme mathématique absolue, aucune ligne droite, aucun cercle, aucune figure parfaite et continue. Dans la nature, les lignes et surfaces des cristaux, par exemple, ne sont ni absolument droites, ni absolument planes, ni surtout continues, mais formées de points espacés, en nombre fini approximativement rangés en surfaces planes et en lignes droites. Rien donc, sans aucune exception, ne saurait être ni absolu, ni par-

^ L-1NDUCT.0N AI'PUUUÊK .>AK LKIBNIZ.

fait ni continu dans la nature; car absolu, parfait

. .IP. svnonvmes d'infin.. Eu effet, et continu sont des sjnonyï»

Si une courbe d'une longueur finie est vraiment continue, il s'ensuit qu elle renferme un nonjbre lelie^en. inf,nU. point», or rinr,„i,ep,rf..

rabsolu,nexistentquenDieu. "n -rcle par^^^ et continu est donc, non une reaUte naturelle H^ais «ne idée, idée abstraite pour notre espnt mais qui a sa réalUé en Dieu et en Dieu seul en qui seul est tout ce qui est partit et absolu Et,

pour nous, ces idées des figures parfaites et absolues sont, comme le reconnaissent tous les theolo- ^ens et tous les philosopbes (je ne parle jamais des Sophistes), ces idées ne peuvent être qu'une cerUune connaissance de Dieu, une certaine vue de Dieu, non pas directe et immédiate, comme le croy aU Malebranche, mais indirecte et médiate : vue de Dieu, toutefois, qui, toute médiate et indirecte qu elle est, ne saurait avoir lieu, si Dieu ne la produisait en nous, s'il n'en était la cause première, si les realités correspondantes n'existaient pas en Dieu. Lt c'est pourquoi Kepler, après l>laton, saint Augustin et tous les philosophes chrétiens, disait : « La geo- « métrieest éternelle en Dieu.» {Geomeiria anie rerum orlum menti dmnœ plane coœicnKu)

Ces idées absolues, ces figures parfaites, dont

L'INDUCTION APPLIQUÉE PAR LEIBNIZ

l'objet réel n'est qu'en Dieu, qu'on ne peut voir qu'en Dieu ; ces idées qui portent sur toutes les faces et sous tous les points de vue le caractère de l'infini, voilà ce qu'il s'agit d'analyser. Et, en effet, Leibniz nomme son calcul : a Analyse des in- « finis » {Analyds Uifinitomm) ; analyse qui était un chapitre de son ouvrage si attendu, dontMalebranche réclamait si instamment l'apparition, et dont nous n'avons que le titre : De scieutia injiniùK Mais comment peut-on analyser l'infini? Comment entrer par la pensée dans la nature intime de ces formes parfaites, qui, si elles sont parfaites et absolument continues, renferment à la fois, de toute nécessité, et l'infiniment simple et l'infiniment grand , c'est-à-dire une infinité d'éléments infiniment petits, ne constituant qu'une seule forme, en d'autres termes, une seule idée ?

Comment atteindre cet élément simple, qui est l'unité, la loi, le caractère de cette forme ou de cette idée, en qui se trouve toute la nature et toute la loi de la forme donnée?

Que peut être la loi d'une forme, d'une courbe déterminée ? Rien autre chose assurément que sa loi

• Aujourd'hui, grâce aux recherches heureuses de M. le comte Foucher de Careil, nous en possédons des fragments.