CHAPITRE PREMIER

Images d’une source ponctuelle.

4. Position du problème. — Notre premier objet, dans ce chapitre, est d'établir les règles géométriques qui permettent de construire l’image d’une source ponctuelle émettant, à l'intérieur d’un angle solide étroit, des particules de courbure magnétique donnée. Nous examinerons ensuite comment se distribuent dans le plan les images d’une même source dues à des courbures diverses.

Un cas très simple est celui où les trajectoires entières sont baignées dans un champ homogène. La focalisation se produit alors après rotation de 180° et la méthode a été utilisée depuis longtemps par maints expérimentateurs. Il est utile de noter que la largeur de l’image est, par rapport au rayon de courbure magnétique p, de l’ordre du carré de l'ouverture du faisceau. Soit, dans le plan perpendiculaire au champ, A la source (fig. 8), AMB la trajectoire circulaire moyenne, O son centre, ANB' un rayon incliné sur elle de l'angle « à l’origine; ce rayon coupe le diamètre AOB au point B’ tel que :

AB'— 2p cos «.

Tant que « est petit, BB' se réduit à :

BB'= pa?.

L'absence de termes en p« dans l’expression de la largeur de raie est caractéristique de l'angle de 180° pour lequel on dit précisément qu'il y a focalisation. Nous dirons de même, dans le cas le plus général, qu’il y a formation d'une image quand les trajectoires convergent en un point, aux termes en « près, et quand il nous arrivera de caractériser une telle image par un seul point, il sera sous-entendu que la position de ce point n'est définie, dans la direction perpendiculaire au rayon moyen, qu’à l’approximation du second ordre.

Fig. 8. — Formation des images dans la méthode classique de déviation à 1800,

Cette remarque n’est cependant valable que pour les particules qui se propagent dans le plan perpendiculaire au champ. Celles qui sont émises sous l’angle « par rapport à lui s’en écartent rapidement et restent à une distance de l’ordre de p« du rayon moyen, car leur vitesse est constante dans la direction du champ. Il y a tout de même pour elles formation d'une image en ce sens que, projeté sur le plan de symétrie, leur mouvement est identique à celui des particules médianes (avec cette restriction que leur rayon de courbure magnétique est diminué, comme leur vitesse, d’un terme en &?). Employant un langage qui néglige les termes du

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second ordre, on doit dire que l’image d’un objet ponctuel est un segment de droite parallèle au champ et non un point, mais la position de cette image est déterminée avec toute la précision possible par l'étude du mouvement plan que nous examinerons seul dorénavant. : |

Généralement objet et image sont en dehors du champ. Les particules traversent alors nécessairement, à l'entrée et à la sortie de l’électro-aimant, deux régions où le champ de fuites a une expression complexe et imprévisible. Pourtant la seule hypothèse de travail admissible est celle qui consiste à supposer le champ homogène dans un domaine nettement délimité (la projection du contour des pièces polaires) et nul à l’extérieur ; de la sorte les trajectoires passent brusquement de la forme rectiligne à la forme circulaire. Ce schéma est en désaccord évident avec les conditions d’une expérience pratique mais, dans la grande majorité des cas usuels, le champ est donné par un électro-aimant dont les pièces polaires sont larges et rapprochées de sorte qu’il est effectivement homogène dans la plus grande partie de l’entrefer et décroît rapidement à courte distance de celui-ci. Une petite zone de transition subsiste néanmoins au voisinage du bord des pièces polaires et il est important de savoir si la perturbation qu’elle apporte aux résultats du calcul théorique est, ou non, négligeable. Nous pensons qu’elle l’est, mais on ne peut songer à le montrer par un raisonnement rigoureux car la véritable justification des hypothèses faites ne saurait résulter que d'une confrontation directe des résultats avec l’expérience. Cette confrontation, quand elle a déjà pu être réalisée, se traduit par un accord (voir p. 74). En outre, une présomption en faveur de nos hypothèses peut être tirée des remarques suivantes, valables lorsque les pièces polaires possèdent la symétrie de révolution.

Soit À le rayon des faces terminales des pièces polaires, et d leur distance, faible vis-à-vis de R. La figure 9 est dessi-

née dans le plan central; on y a représenté la projection P

de la circonférence des pôles, son centre C et un point M situé à la distance d de P. Quand une particule, venant de l’intérieur de l’entrefer selon une trajectoire circulaire, parvient en M'avec une direction Mz que nous supposerons confondue avec un diamètre pour simplifier le langage, elle est sur le point d'aborder la zone de transition continue qui nous intéresse. Sous l'influence du champ de fuites cette particule poursuit son chemin en s’écartant un peu de M£, mais l’angle

Fig. 9. — Trajectoire d’une particule dans le champ de fuites de l’électro-aimant.

qu’elle fait avec cette direction est faible vis-à-vis de 1, puisque c’est la déviation dans l’ensemble de l’entrefer qui est de l’ordre du radiaa. 8 vaut alors, en première approximation, au moment où la particule frappe la plaque placée à la distance D du point M (cf. p. 11) :

mo 0 Cette valeur de 0 détermine à elle seule le point d'impact de la particule — avec une incertitude de l’ordre de la largeur d'image — car la majeure partie de la déviation est acquise au voisinage de M, de sorte que, ici aussi :

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Plutôt que 6, d’ailleurs, il est avantageux d'introduire une grandeur physique qui lui est proportionnelle : le flux d'induction à travers la zone extérieure à la circonférence de rayon CM. Ce flux + vaut :

por [(s+R—d)H(:)d£.

Tant que la plaque n’est pas très proche de l'électroaimant, on peut borner l'intégration à £ — D. D'autre part, des trois termes entre parenthèses R est prédominant, au moins dans la région où H a une valeur notable : pour une décroissance exponentielle de H, par exemple :

H()=He ©,

la part d’intégrale due au terme en £ est à celle qui est dueau terme en R comme z, à R. v se réduit donc à :

p— 27R J'H@d: — .Cte

et la seule question qui se pose est la suivante : ce flux est-il, en pratique, évalué avec une bonne approximation dans l'hypothèse théorique où l’on ferait subir au champ une chute brusque à la limite des pôles? Nous répondons par l’affirmative, car c’est un fait d'expérience assez généralement vérifié que le champ contre le fer des pôles garde une valeur voisine de H,; sur tout le diamètre des pièces polaires, même à des distances des bords nettement inférieures à la largeur de l'entrefer. Cela revient à dire que le nombre des tubes d’induction qui quittent les pièces polaires est peu modifié par l'existence du champ de fuites alors que, comme nous venons de le montrer, leur déformation n’a aucun retentissement réel sur la position de l’image. Il y a compensation approximative entre la diminution du champ à l’intérieur des pôles et son accroissement à l'extérieur.

Ce point acquis, une dernière simplification s'impose. Il n’est pas nécessaire, pour déterminer la position de l’image, de préciser complètement la forme du domaine où règne le champ homogène. Il suffit de connaître les points d’entrée et de sortie du rayon moyen, H et K, ainsi que les tangentes au contour du domaine en ces deux points, Hx et Ky (fig. 12). En déformant ie contour sans changer son orientation on ne déplace pas l’image, car les longueurs des trajectoires incluses dans le domaine, et par suite leur inclinaison dans les parties rectilignes, ne sont perturbées de ce fait que d’une quantité du second ordre, négligeable. Ces diverses remarques permettent de donner une solution géométrique simple au problème posé.

2. Construction d’une image. — Nous supposerons d’abord la trajectoire moyenne normale au contour du domaine (fig 10). À étant la source et B l’image, AH est perpendicu-

Fig. 10. — Construction de l’image B du point A pour .une incidence et une émergence normales.

laire à Hx, BK et Ky. O est le centre du cercle HK. Il est légitime d'imaginer que le domaine est limité en H et en K par deux cercles centrés respectivement sur A et B. Les tangentes menées de À aux trajectoires circulaires HK, H'K';, etc., sont alors égales. Comme le rayon de courbure p de.ces

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trajectoires est constant, À est à égale distance de tous leurs centres qui se placent sur un petit arc de cercle passant par O et de centre A. Ces centres se placent aussi bien, au second ordre près, sur un arc de cercle passant par O et de centre B. Les deux arcs sont confondus, à l’approximation voulue, s’ils sont tangents : A et B sont alignés avec O (!).

Si l'émergence n’est plus normale mais que l'incidence le reste, nous imaginerons que le cercle de sortie du domaine est centré sur le point B, placé à l'intersection de AO avec

ig. 11. — Construction de l’image pour une émergence Fig Construction de l” e quelconque (incidence normale).

la normale à Ky en K (fig. 11). B, reste ainsi à égale distance de tous les centres. Les segments B,K, B,K', etc., ne sont plus tangents aux trajectoires maïs, comme ils sont encore égaux entre eux, ils coupent celles-ci sous un angle constant, égal d’ailleurs à l'angle d’'émergence :". L’image B peut alors être considérée comme le point de rencontre d’une série de demi-droites menées à partir des points K, K', etc., d'un petit arc de cercle, sous l’inclinaison fixe «” par rapport aux rayons de l’arc. La comparaison des triangles BB,K et BB,K' montre que le sinus de l’angle en B est constant, ce

(") Ce résultat géométrique a déjà été obtenu par Barber [25].

qui n’est possible, au second ordre près, que quand cet angle est droit. l

La généralisation au cas d’une incidence oblique est immédiate ; d’où la construction de l’image dans le cas généra] (fig. 12). Par l’objet A, on élève la perpéndiculaire sur le rayon moyen AH. Cette perpendiculaire coupe en A, la normale en H au contour d’entrée. On joint A, au centre O du cercle moyen décrit dans le champ. A,0 coupe en B, la normale en K au contour de sortie. L'image B est le pied de la perpendiculaire abaissée de B, sur le rayon émergent central.

Fig. 12. — Construction de l’image dans le cas général.

Les raisonnements faits ne préjugent rien sur la position de l’image par rapport au contour de sortie. Il peut arriver qu’elle tombe en avant de lui et que le faisceau émergent diverge (image virtuelle). La construction précédente reste, néanmoins valable, etil en est de même quand c’est l’objet qui est virtuel. Notre construction ne serait en défaut que dans les cas intermédiaires où objet ou image seraient très voisins des limites du champ : il ne serait plus légitime de négliger l'influence du champ de fuites, dont le flux ne serait coupé qu’en partie par les trajectoires. Mais on retrouve aisément, en pratique, un dispositif calculable en élargissant un peu les pièces polaires jusqu’à ce qu'elles envelop-

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pent largement le faisceau, au delà de son point de concentration : À, A,, H ou B, B,, K sont alors confondus.

- 3. Lieu de plusieurs images — Pour un faisceau incident donné, il correspond une image de la source à chaque rayon de courbure magnétique, donc à chaque masse ou à chaque énergie séparée par le champ ; il est nécessaire, pour déterminer le lieu géométrique de ces images, de connaître sur une grande longueur la forme exacte du contour des pôles à la sortie du champ. Nous n'avons pas l'intention d’entrepren-

Fig. 13. — Lieu des images quand elles sont à l’intérieur du champ.

dre ici cette étude, mais seulement de faire remarquer qu'à moins d’un choix opportun de toutes les données, le lieu des images a une forme compliquée et ne se confond nullement avec une droite, sur laquelle il suffirait d’aligner la plaque photographique pour jouir d'une focalisation parfaite tout au long du spectre.

Ce choix des configurations particulières qui réduiraient le lieu à une droite est généralement difficile. Il est aisé, cependant, dans un cas : celui où l’extension du champ est

assez vaste pour que toutes les images se placent à son inté-

rieur. Chacune de ces images se déduit de la source fictive A, en joignant À, à un point O d’une droite fixe perpendiculaire à AH (fig. 13), puis prolongeant A,0 d’une longueur p égale à OH. Le lieu des images passe nécessairement par le point d'incidence H. Il est rectiligne si l'angle de rotation D des particules dans le champ est indépendant de p, ce qui n’est possible que quand A, est confondu avec H ou indéfiniment éloigné. Dans le premier cas, nous retrouvons la source à l'intérieur du champ et la rotation à 1800. Dans le second cas, le faisceau incident est parallèle et, désignant par © l’angle d'incidence :

C’est l’arrangement proposé par Mattauch et Herzog en