CHAPITRE II
THERMIQUES
Préliminaires. — Les premiers inventeurs n'avaient vu, dans les roanifeslations des effets de la vapeur d'eau, que la puissance mécanique du feu. Cependant de nombreux faits physiques avaient fait reconnaître qu'il devait y avoir, entre la chaleur dépensée et le travail mécanique accompli, une certaine relation. On savait que, si le travail des machines a pour source la chaleur, inversement le travail mécanique, parle frottement, le choc, etc., produisait delà chaleur; Rumfort avait essayé même de déterminer la chaleur produite par le forage des canons. Au commencement du siècle, les physiciens pensaient que chaque fois qu'il y avait production de chaleur par le travail ou inversement, il y avait échange de chaleur d'un corj)S chaud à un corps froid, mais que la quantité de chaleur restait la même.
Mayer iVHeilbronn, en mai 1842 {Annales de Wôlher et Liebifj)^ posa clairement ce principe pour la première fois : Owe, toutes les fois qu'il y avait travail produit, une certaine quantité de chaleur disparaissait et que la quantité de chaleur disparue était proportionnelle au travail produit. Ce principe, comme on le verra plus loin, n'est autre que le premier principe delà thermodynamique dont les lois régissent toutes les machines thermiques.
La vérification de ce principe fut faite par Rcgnault, Hirn et surtout Joule qui, à l'aide d'appareils très précis, établit l'équivalent mécanique de la chaleur.
En 1824, Sadi-Carnot, né en 1*796, mort en 1832, dans son ouvrage intitulé Réflexions sur la puissance motrice du feu et
sur l'es machines propres à développer cette puissance y avait posé ce que Ton appelle aujourd'hui le deuxième principe de la thermodynamique, ou principe de Carnot, et qui était ainsi conru : Toutes les fois qu'il y a travail produit par révolution d'un corps, il se fait un passage de chaleur d'un corps chaud à un corps froid, et la quantité de travail produit correspond à la quantité de chaleur transportée : cette quantité ne dépend pas de la matière du corps évoluant, mais seulement des températures du corps chaud et du corps froid entre lesquels se fait révolution.
Les travaux de Clausius, de Hirn, de Zeuner ont depuis fait faire de grands pas à la théorie mécanique de la chaleur. Dans cette étude, on n'aura à considérer, en général, que ce qui a rapport aux machines thermiques.
§ 1. — Etat d'un gaz. — Evolution
L'état d'un gaz et, en général, d'un corps quelconque, est caractérisé par son volume, sa température et sa pression. Si l'on fait subir à ce gaz des modifications dans son état, la chaleur qu'il contient produit du travail, ou inversement. Une succession de ces modifications, opérée d'ailleurs suivant une loi quelconque, s'appelle évolution.
On admet en général que, pour tous les corps, il existe une relation
entre la pression, le volume et la température, de sorte que, quand on connaît deux des élémenLs, on peut déterminer le troisième et on connaît, par suite, l'état du corps.
Pour les corps solides ou liquides, la relation ci-dessus est inconnue; mais, pour les gaz parfaits, on peut la déduire des lois de Mariolte et de (iay-Lussac.
On sait que ces lois donnent la relation :
pv \ -•- g/
to 1 + «^0
pvt et PqV^Iq étant les pressions, volumes et températures pour deux états quelconques du corps différents, l'un de l'autre.
Cette expression peut s'écrire :
pV a
z est le coeflicient commun de dilatation de tous les gaz ; c'est donc une constante de la nature :
Donc : *
et Ton a :
On peut poser :
a H- f = 273 + < = T, a + <o = 273 + to z= To.
Les températures T et Tq seraient les températures du corps aux deux états considérés, comptées à partir d'un zéro fictif appelé zéro absolu, situé à '273° au-dessous du zéro normal (température de fusion de la glace). On les appelle températures absolues du corps.
La formule définissant l'état d'un gaz sera donc :
pv T Po^'o "* To"
La pression du gaz est, en général, celle du milieu qui l'entoure de toutes parts, et exerce sur sa surface une tension par mètre carré, contre laquelle le corps réagit avec une intensité égale.
Le volume v est, en mètres cubes, le volume de i kilo-
gramme du gaz étudié. C'est le volume spécifique v = -r^
6 étant le poids spécifique, ou poids de Tunité de volume.
Si Ton suppose que :
«0 = 0, que :
Po = H, « pression atmosphérique = 10.334^^,00 par mètre carré, et
que:
§0 étant la densité du gaz à 0^ sous la pression H, l'expression (1) ci-dessus devient :
d'où :
pv H
pv —
Boa
Mais la valeur r— est une quantité fixe et connue jlour
chaque gaz et qui n'est fonction que de la densité de ce gaz. On peut donc poser ; — = R.
Comme, d'autre ])art, on a :
a -\- 1 rz^T, température absolue,
il en résulte que l'expression générale des lois de Mariotte et de Gay-Lussac peut se mettre sous la forme :
pc — RT.
Pour les gaz qui, se rapprochent le plus des gaz parfaits, les valeurs de R sont les suivantes :
LA THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE AUX MACHINES 2v)
Air
TALXDRB DB Sq
TALBURl 1>I R
Azote
Oxygène
HydrogèBe
Acide carbonique
Oxyde de carbone
1 Cette râleur m rapproche beaacoop de celle de Téquivaleot mécanique de U chaleur (424).
Représentation graphique de révolntion d'un gas. — I/état d un gaz pouvant être déterminé par deux éléments, la suite des modifications qu'il subit en son évolution peut être représentée graphiquement comme Ta indiqué Clapeyron.
Sur les deux axes rectangulaires ox, oy ifg. 9), on porte en abscisses les volumes, et en ordonnées les pressions. A deux valeurs déterminées de V et de p correspond un état du corps déterminé par le point M. l/état se modifiant, le corps évolue, et le point M se déplace
suivant une courbe, d'ailleurs quelconque, qui est la reproduction graphique de révolution. Cette courbe prend le nom de q/cle, et on dit que révolution $e fait suivant le cycle MM'.
Parmi tous les cycles, il en est qui sont dignes de remarque ; tels sont :
!• Le cycle de volume constant ^ représenté par une parallèle à Taxe des y; et le cycle de pression constante, représenté par une parallèle aux x ;
Fio. 9.
2° Le cycle isotherme^ ou de température constante : pour les gaz, Téquation générale étant pv = RT, si T est constant, la ligne représentative de révolution sera une hyperbole équilatère ;
3° Le cycle de chaleur constante, ou ligne adiabatique, suivant l'expression due à Rankine : dans cette évolution, Tétat du gaz se modifie sans perdre ni gagner de la chaleur.
Son équation, comme on le verra plus loin est : pv^ =: C***-.
§ 2. — Chaleur absorbée par une transformation
ÉLÉMENTAIRE QUELCONQUE d'uN GAZ
L'équation générale définissant Tétat d'un gaz étant :
pv =z RT,
on a, en prenant la différentielle,
RrfT = pdv 4- ^f^Pf ou :
Une variation quelconque rfT de température est donc accompagnée de deux phénomènes : une variation de volume et une variation de pression.
La quantité de chaleur nécessaire pour produire une varialion de température à pression constante est, pour Tunité, représentée par C, chaleur spécifique à pression constante; et la quantité de chaleur nécessaire pour produire une variation de température à volume constant est c, chaleur spécifique à volume constant.
Pour la variation partielle de température ^-j^ pour
laquelle le volume varie et la pression est constante, la quantité de chaleur sera donc :
Cpdv R '
et pour la variation partielle de température rrfp, pour laquelle le volume est coustant et la pression varie, la quantité de chaleur sera :
cvdp^ R '
d'où il résulte que la variation totale de température sera produite par une variation de chaleur dç ayant pour valeur :
. . , Cpdv , cvdp
Cette équation peut se mettre sous d'autres formes. En effet :
vdp =1 RcTT — pdv ; d*où :
dq = ^ + l(mT-pdv),
ou bien
(2) dq — cdT + — rr- pdv.
pdv = RdT — vdp.
dq = I {MT - vpd) + ^^,
D autre part:
Donc on a :
ou bien :
(3) dq = CdJ ^ vdp.
Telles sont les trois formes, (l), (2), (3), par lesquelles on peut exprimer la valeur de dq, chaleur absorbée par la transformation élémentaire d'un gaz.
L'équation (2), qui est la plus intéressante, montre qu'une quantité de chaleur dq, communiquée au gaz, sert, d'une part, à produire une variation de température et, d'autre part, une variation de volume qui demeure disponible pour produire un travail externe.
On a vu, dans le traité de Mécanique, Hydraulique et Thermodynamique, qu'en communiquant une certaine quantité de
32 r.ÉNÉR ALITÉS SUR LES MACHINES THERMIQUES
chaleur à un corps quelconque une première partie est employée à élever la température : c'est ki chaleur setisible ; une deuxième partie est employée pour fournir un certain tra\:ail interne à^&imé à modifier les forces moléculaires d'agrégation. L'ensemble de ces deux parties constitue Vénergie interne. Enfin une troisième partie de la chaleur transmise provoque une dilatation de la masse susceptible d'être employée utilement : c'est le travail externe.
Dans les gaz parfaits, les forces d'agrégation sont nulles, et, par suite, la de^lxième partie n'existe pas. Vénergie interne ne se compose alors que de la chaleur sensible^ et son équation différentielle se compose de la première partie de l'équation (2) :
dq = crfT,
ou, en intégrant entre les limites Tq et T^ par exemple,
Q=:c(To-T<).
La deuxième partie de l'équation (2) traduit la dilatation de la masse.
Ezpreuion dn travail d'un gaz qui se dilate. — Soit un cylindre (/?</. 10), dans lequel se meut un piston imaginaire
soumis à une pression extérieure p par unité dc'surface. Soit s la surface du piston ; si l'on examine le travail élémentaire, en appelant dz le déplacement élémentaire du piston, on peut, pendant ce déplacement, considérer la pression p comme constante. La pression sur le piston sera p,s, et le travail sera par suite psdz^ c'est-à-dire le produit de la force par le chemin parcouru.
sdz est l'augmentation infiniment petite do volume résultant du déplacement élé-
Fio. 10.
mentaire dz] donc on peut écrire :
sdz =r dv.
Par suite, le travail élémenlaire rf(F a pour valeur :
f/ê =z pdv ;
d'où on tire, en intégrant,
= I pdv.
Si la variation de volume a lieu entre les limites v^ et t?|, on a d'une façon générale :
= j pdv.
Cest l'expression générale du travail des gaz dans les machines thermiques.
Représentation graphique dn travail externe. — Si un gaz évolue suivant un cycle MM' (fig. 11), à un certain moment son volume est v=op, et sa pression p = Pp.
Pour une variation infiniment petite, son volume augmente de dv =.pp, et l'on sait que le travail externe produit a pour expression pdv ; c'est donc Taire du trapèze Wp'p, Pour révolution totale de M
en M', le travail / pdv sera
représenté par Taire du rectangle MM'm'm.
On remarquera, en outre, que ce travail externe est fonction de la forme de la courbe d'évolution, et, par suite de la manière dont celle-ci s'effectue, puisque la surface du trapèze PP'pp varierait si la courbe affectait une autre forme entre M et M'. Il faut donc connaître la loi d'évolution pour connaître le travail externe.
Fia. 11.
Le travail interne, au contraire, comme on l'a vu plus haut, n'est fonction que de Tétat initial et de l'état linal et ne dépend pas du tout de la voie employée pour passer d'un état à l'autre.
Un cycle quelconque peut être parcouru par un gaz ; il suffit, en faisiint varier son volume, de déterminer dans la masse la pression correspondante du cycle en lui donnant ou lui enlevant de la chaleur.
§3. — Premier principe de la thermodynamique
En comparant l'équation du travail (4) avec l'équation (2) de façon à chercher le rapport existant entre le travail produit et la chaleur dépensée, on a:
dq = cdT + -^ f/Ç,
puisque d^ = pdv.
Si l'on suppose que toute la chaleur transmise soit transformée en travail, il faut admettre, par là même, que la température du gaz ne s'élève pas ; car, sans cela, une certaine quantité de chaleur serait employée à élever la température.
Par suite, il faut que rfT = 0 et que Ton ait :
dq =: — jT — dir.
On a donc, en intégrant :
ou:
Le deuxième membre de cette équation est une constante. On peut donc poser :
R d'où :
c'esl-à-dire que le rapport entre la quantité de chaleur dépensée et la quantité de travail produite est une quantité constante.
Inversement :
E est Véquivalent mécanique de la chaleur ; A, Véquivalent calorifique du travail.
Une moyenne des expériences de Joule, Hirn, etc., a donné pour valeur de E le nombre 424.
Donc:
Il en résulta que 1 kilogrammètre exige 0^*^^0023585.
D'autre part, il faut 424 kilogrammètres pour produire I calorie.
On peut donc énoncer le premier principe de la thermodynamique.
Chaque fois que la chaleur, agissant sur un corps, donne lieu à un travail mécanique, il disparaît une quantité de chaleur proportionnelle à ce travail. Inversement, chaque fois qu'un travail mécanique est opéré, il doit apparaître une quantité de chaleur proportionnelle à ce travail. Le rapport existant entre le travail. produit ou absorbé et la chaleur consommée ou produite est constant et ne dépend aucunement de la nature des corps soumis à la chaleur ou à l'action mécanique.
L'équivalent mécanique de .la chaleur peut se déduire, d'ailleurs, de la formule précédente par le calcul.
36 GÉNÉRALITÉS SLR LES MACH[Nl!:S THERMIQUES
En eiTet, si Ton envisage l'air, par exemple, on a vu que : H -z 29,272.
Or la chaleur spéciiiquc à pression constante C a pour valeur, pour Tair :
C ir: 0,2375.
Le rapport y =^ ~ des deux chaleurs spécifiques est, pour
les gaz parfaits, une constante générale de la nature, qui a
été pratiquement trouvée égale à 1,41.
Donc :
Par suite, l'équivalent mécanique de la chaleur a pour valeur :
E = - = ^— ^ =z j^5^ = 424 kilogrammetres,
§4. — Des diverses lignes d'évolution
On peut, à l'aide des équations différentielles (1), (2) et (3), établies précédemment, étudier les cycles ou lignes d'évolution à volume coîistanty pression constante^ isotherme et adiabatiqiic, dont il a été parlé plus haut.
1° Ligne de volume constant, - D'après l'équation (2) on a:
dq =z cdT + — - — pdv.
Or, comme v est constant, dv est nul, et Ton a :
dq = cdT ; d'où, en intégrant,
Q = c(Ta-T^),
LA THERMODYNAMIQUE APPLLgLÉË AL'X MACHINES 37
T4 Cl T.J étaot les températures limites entre lesquelles se fait révolution.
La ligne de volume constant est évidemment une parallèle
aux y :
2* Lifj/ne de pression constante. — l/équation (3) donne :
dq =: CdT — ^-^ vdp.
Comme p est constante, dp = 0.
Donc :
dq = CdJ ; d oùf en intégrant,
La ligne de pression constante est une parallèle aux .r :
3* Courbe isotherme ou de température constante, — Pour maintenir la température constante, il faut fournir ou absorber une certaine quantité de chaleur pendant révolution. C'est cette quantité que Ton va calculer.
L^équation (2) donne:
dq = cdT -(- ^-=^ pdv.
Puisque T est constant, on a rfT = 0; d'où :
dq - —^ pdv.
Or on a, d'autre part :
pv = UT ;
d'où :
RT
d'où, en substituant,
et comme :
on a :
. C — c RT .
T étant constant, le produit ART est constant. Donc, en intégrant, on a-:
= ARTrf.
Si Ton fait l'intégrale entre les volumes limites v^ et Vj» on a :
Q =z ART log nép ^-^'
C'est la quantité cherchée en fonction des volumes limites. Si maintenant on remplace AR par G — c, qui lui est égal, et
-2 par — (loi de Mariotte), on a :
Vf P2
Q=(C-c)T log nép g.
C'est la quantité de chaleur nécessaire pour faire passer 1 kilogramme de gaz de la pression P2 ^ la pression p^ à température constante. L'équation des courbes isothermes ^st pv =: RT, quand T est constant ; c'est donc une hyperbole équilatère.
4** Courbe adiabatique ou de chaleur constante, — Équation de Laplace. — Dans ce cas, l'évolution se fait sans addition ni soustraction de la chaleur au corps.
Par suite :
Q z= C*«, dq=0,
l/équation {i) donne :
, Cpdv , cvdp '^9= R + R •
Donc, dans le cas considéré, on a :
Cpdv cvdp
R "^ R "" • ou bien :
Cpdv + cvdp = 0.
En divisant par pvc^ on a :
En intégrant et en remarquant que - = y, on a :
!og nép p + log nép v^ = C**, ou bien :
log nép pvt = C^,
ou bien encore :
Cette équation est connue sous le nom d*équation de Laplace ou de Poisson. Elle est analogue à la loi de Mariotte et lie les volumes et les pressions d'une masse gazeuse, quand la quantité de chaleur reste constante. C'est l'expression de la détente sans variation de chaleur.
Cette équation pv^ =i C*" est donc Téquation des courbes adiabatiques.
Si, pour certaines variations de volume, on calcule les pressions d'abord par l'équation pu z= RT = C* (courbe isothermique), ensuite par l'équation pt?T =: C'« (courbe adiabatique), on remarque que la pression baisse plus rapidement
dans la courbe adiabatique que dans la courbe isothermique.
On a donc, pour les deux courbes comparées, la figure i2.
La courbe adiabatique se trouve donc toujours au - dessous de la courbe isothermique.
On peut se proposer de rechercher quelle relation il y a entre les températures et les pressions ou entre les températures et les volumes dans révolution adiabatique.
L'équation de Laplace peut s'écrire évidemment :
pour deux états quelconques du gaz p^r, el PqVq ; ou bien :
Or:
P4V|i'J"'=PoVo^"'
PiV^ = RT4
et
PqVq =: RTo.
