RT

Donc on a, en remplaçant ju et Po par leur valeur — * et

d'où Ton tire :

HT^iJ-* zzzRVoT-^

C'est Téquation qui relie les températures et les volumes. Elle peut s'écrire :

ou bien, on général,

Trï-* =CM.

LA THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE AUX MACHINES 4i

Comme y nn i,4i, y— I i=0,4l.

Donc :

TtjO'" = Cf.

Si on cherchait la relation entre les lerap<^ratures et les pressions, on trouverait do même :

'o VPo/ \Po/

qu'on peut également écrire :

lui Izi

ou plus généralement :

Tp ï rn C^ .

Travail des gaz dans leurs diverses érolntions. — i"* A volume constant. — Dans ce cas il n'y a pas de travail externe. La relation :

donne, pour expression du travail interne :

Comme, d'autre part, on a :

c cR A C c

et comme :

on a :

Donc le travail

2^ A pression constante. — Le travail externe seul disponible

pdv.

Gomme p est constant, c'est :

Î5 = p (Va — u<).

Or:

pr, =: RT< et ' pv^ = RT^.

Donc :

3® A température constante {évolution ùothermique), — Dans ce cas il n'y a pas de chaleur sensible et, par suite, de travail interne. Tout le travail est externe.

Les relations :

donnent

Q = ART log nép %

S = RT log n^p î^.

" ' Vi

T étant la température absolue constante de l'évolution.

On peut aussi, en réduisant les logarithmes népériens en logarithmes vulgaires, écrire :

ç =1 2,3026RT log ^'

4° A chaleur constante {évolution adiabatique), — Pendant cette évolution, dans laquelle le gaz doit travailler sur luimême sans donner ni recevoir de la chaleur, il transforme en travail externe une certaine quantité de son énergie interne pour passer de la température Tq à la température T^.

On sait que Ténergie interne dans les gaz est représentée par :

c'est-à-dire qu'elle se confond avec la chaleur sensible, puisqu il n'y a pas de travail interne de désagrégation des molécules.

Le travail aura donc pour valeur :

ç = J (T„ - T,) = ;^ (To - T,).

Et comme on a eu pour relation entre les températures et les volumes ou les pressions les deux équations suivantes : .

i=fêr'=(r

0 \Po/ W

ce qui peut s'écrire :

il s'ensuit qu'on aura, en fonction des volumes,

- è ^- [- en-

ou bien, en fonction des pressions,

Yariation de .la température dans la détente adiabatique. — Les équations ci-dessus permettent de déterminer la variation de température pendant la détente adiabatique.

En effet de ces équations on lire :

^.-.-.[-(r]--['-(sr}

Celte chute de lempérature ne pouvait se calculer avant que la théorie mécanique de la chaleur fût étiiblie.

Pendant la détente, il y a refroidissement du gaz. Dans certains cas, ce refroidissement est tel qu'il peut congeler la vapeur d'eau de Tair.

ÉTOlntion sniTant on cycle fermé. ^ Une évolution ayani été accomplie suivantun cycle ACB(/!(/. 13), on peut ramener le gaz

à son état initial A, en lui faisant parcourir en sens inverse un cycle BGA. A chaque instant, le signe de la pression étant égal et de signe contraire à celle qui avait lieu dans le cycle primitif, le travail externe — final est nul. Mais on peut ramener le corps à Tétat initial A par une autre évolution BDA. Dans ce cas, le travail externe est égal à la différence de surface des deux aires ACB et BDA, c'est-à-dire précisément égal à l'aire ACBD du cycle fermé.

Gomme on revient à la température initiale, la chaleur sensible est nulle et, par suite, le travail interne aussi.

Si Qq est la chaleur fournie dans l'évolution ACB ; et Q<, la chaleur restituée suivant BDA ; on a donc :

Qo — Q< ~ f A r= A r pdv = AS,

S étant la surface du cycle.

Un cycle étant donné (fig, 14), on peut connaître les volumes limites d'évolution, (m) menant doux tangentes parallèles aux y.

Fio. 13.

De même, deux tangenles parallèles aux x donneront les priassions limites.

Fio. U.

On obtient les températures limites, en menant deux isothermes T^ et Tq tangentes au cycle, de sorte que la température augmente suivant abc et diminue suivant cda,

EnGn, si on mène deux adiabatiques Cq et G^ tangentes au cycle, le corps reçoit de la chaleur suivant ebcf et en res^ litue suivant fdae.

Cycles rérenibles. — Le sens de révolution dépend du sens de la différence des pressions et des températures. Si le corps évolue à une pression ou à une température plus faible que celle des corps extérieurs, il se comprime ou il reçoit de la chaleur. Si c^est le contraire, il se dilate ou il donne de la chaleur.

On peut concevoir que les pressions et les températures du corps évoluant et des corps extérieurs soient bien peu différentes Tune de Tautre, de sorte qu'il suffira d'un très léger excès d'un côté, pour provoquer révolution dans un sens plutôt que dans Tautre. On dit alors que le cycle est réversible, c'est-à-dire qu'il peut être parcouru indifféremment dans un sens ou dans l'autre.

Entropie. — Si l'on reprend Téquatiou (1) :

. Cpdv , cvdp' '^= R + R ' OU bien :

Rrfg =z Cpdv + cvdp,

et qu'on la divise par RT = pv, on a : ou, en intégrant,

-^ -= c . log. nép pv'f.

Celte fonction I -^ des variables p et v, qui ne dépend que

des valeurs extrêmes de révolution et nullement des états intermédiaires par lesquels a pu passer le corps évoluant, a été désigné par Clamius sous le nom d'entropie.

En intégrant entre les limites p^v^, p^r^, on a pour un cycle quelconque :

= c loc nép "— f-'

Psl'2

Or, pour un cycle fermé, pai?^ n= P<v<. Donc on a pour un cycle fermé :

-^ ziz c log nép 1 =r 0.

C'est Téquation de Clausius,

Elle démontre que, pour les gaz parfaits évoluant suivant un cycle fermé quelconque, V entropie est nulle.

II faut remarquer aussi que, tout le long d'une adiabatique, on a : f/g = 0, puisqu'il n'y a pas de variation de chaleur. Donc, pour ces sortes de courbes, Tentropie est aussi Dulle.

Cycle de CSamot. — Sadi-Garnot fait subir au corps un cycle particulièrement remarquable connu sous le nom de cycle de Carnot, et qui est le plus important de tous les cycles.

Il est composé de deux lignes isothermes et de deux lignes adiabatiques.

Soit a {fig. 15) Tétat initial déterminé par le volume Vq et la température pQ, de sorte qu'on ait:

oa' =z vq, aa =z Pq.

On fournit au corps une certaine quantité de chaleur Qq au moyen d'une source de chaleur supposée indéfinie et à température Tq, Le corps se dilate suivant une courbe isotherme, de telle façon qu'en un certain point b sa pression est devenue p^ = bb\ et son volume v^ =z ob\ sa température restant égale à T^.

A partir de ce moment, on supprime Faction de la source . chaude ; le corps continue à se dilater et, pendant cette dilatation, il ne reçoit ni ne donne aucune quantité de chaleur. Son évolution se fait donc suivant une courbe adiabatique bc.

Sa pression diminue jusqu'à une valeur p^ = cc\ et son volume augmente jusqu'à ^2 —-■ oc ; la température en c est devenue Ti-

On comprime ensuite le corps, en le maintenant à la température constante T^, à l'aide d'une source absorbante de chaleur (c'est-à-dire Un réfrigérant), supposée indéfinie et à

Fio. 15.

48 GÉNÉRALITÉS SLA LES MACHINES THERMIQUES

la température T^. Le corps évolue suivant une ligne isotherme. On continue la compression jusqu'à la rencontre de cette isotherme avec Tadiabatique ad menée par le point a.

Le volume et la pression en d sont devenus p^ = dii' et t'3 =zz od, La chaleur absorbée parla source sera Q|.

Enfin on continue à comprimer le corps, suivant Vadiabatique daj c'est-à-dire sans lui enlever ni lui fournir de la chaleur ; il revient donc en a, avec sa pression et son volume initiais.

•Le cycle est donc fermé ; c'est, de plus, un cycle réversible^ car il peut être parcouru par le corps indifTéremment dans un sens ou dans l'autre.

§5. — Deuxième principe oe la thermodynamique

ou PRINCIPE DE CaRNOT

Le cycle de Carnot appliqué aux gaz parfaits donne les résultats suivants :

i^ Suivant l'isotherme ab, les équations établies en étudiant les diverses lignes d'évolution donnent pour expression de la chaleur fournie au gaz :

(a) û«-= ARTo lognépj^.

2^ Suivant l'adiabatique 6c, la chaleur fournie est nulle, et Ton a pour relation, entre les températures T© et T| et les volumes r< et i'2 :