AÇ
Qoïo-
-Qi
En remplaçant, on obtient :
r Ql T„-T, Q, Tfl-T.
A T, - A To *
On a ainsi, en fonction des chaleurs absorbée ou fournie et des températures des sources, la valeur du travail produis On voit qu'il est proportionnel à T^^ — T^.
Donc : Le travail produit est proportionnel à la différence de température existant entre les deux sources chaude et froide.
C'est là la deuxième partie du principe de Carnot. Le principe de Carnot qui a été établi pour les gaz parfaits en le déduisant du principe de l'équivalence, a été démontré pour tous les corps par Clausius.
Théorème du coefficient économique. — La source chaude a fourni au corps une quantité Qo de chaleur; la quantité transformée en travail a été Q^, — Q,.
Le rapport ^^^^-rr — - de la chaleur utilisée à la chaleur
totale fournie sera donc le coefficient économique, et l'on aura :
Qo - Qi Tojuli.
Qo To '
<ron co 1lHM)n''mo :
Dans tout cycle tic Ccntol^ le cacfficicnt économique, ou
LA THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE AUX MACHINES 5i
fraction utilisée de la chaleur dépensée^ est égal au rapport de la chute de température à la température absolue la plus élevée.
C'est là la conséquence capitale et dominante du principe de Carnot pour les machines thermiques ; la fraction de chaleur utilisée sera d'autant plus grande que Técart des températures de révolution sera lui-même plus grand. Il faudra toujours se préoccuper de cette conclusion, quand on voudra améliorer le rendement d'une machine en utilisant le mieux possible la chaleur.
Le principe de Carnot fait connaître aussi l'équivalence de tous les corps au point de vue du rendement en travail, puisque la capacité calorifique n'intervient pas dans les formules.
Le travail produit est également indépendant de toutes les circonstances de révolution, excepté de la valeur des températures des deux sources.
Coefficient économique maximum. — Deux températures extrêmes étant données, parmi tous les cycles qui fonctionneront entre ces deux températures, le cycle de Carnot est celui qui donnera le coefficient économique maximum.
En effet, soit un cycle quelconque ABCD {fig, 16), parcouru par un gaz entre les températures Tq et T^.
Si Ton mène un cycle de Carnot tangent à ce cycle en abcd, A B et CD seront les deux isothermes à températures Tç et T,, et BC et AD les deux adiabatiques.
En décomposant les deux ^•^'- ^'>-
cycles en cycles élémentaires par une série d'adiabatiques, au cycle 1, 2, 3, 4 correspondra le cycle 5, 6, 7, 8. La température diminue de 6 vers c. Donc la température t^ en 5 est plus petite que Tq, et la température t^ en 8 est plus grande que T|.
Donc :
îfl <- îû ou Ifl-Zlll > kziJj . t,T, ^"^ To ^ to '
d'où le coefficient économique ^ ^ * = -*h= — ^ est plus
Vo *o
grand pour le cycle élémentaire du cycle Carnot que pour le
cycle inscrit. Cette inégalité, existant pour tous les cycles élémentaires, est vraie pour les deux cycles complets considérés.
Donc : Pour utiliser le mieux possible la chaleur fournie ^ il y a avantage, entre deux températures données d'avance, à faire évoluer le gaz, dont la dilatation doit produire le travail, suivant un cycle de Carnot,
Ceci termine les notions générales de thermodynamique dont on se servira dans le cours de l'ouvrage.
Connaissant la manière de déterminer le travail produit par la dilatation des gaz parfaits, on peut maintenant étudier l'application de ces principes à la vapeur d'eau, étude qui, tout en servant d'exemple, sera utile quand on s*occupera des machines à vapeur.
§6. — Évolution de la vapeur d'eau suivant un cycle
DE Carnot
Si Ton applique le cycle de Carnot à la vapeur d'eau, la quantité de chaleur nécessaire à la vaporisation est fonction de la température; il faut faire par conséquent une hypothèse sur le mode de formation de la vapeur ; on admettra que, pendant toute la période pendant laquelle on élève la température % à la valeur 6|, l'eau restera à l'état liquide, et que la vapeur ne se formera qu'à la température 6^ la plus élevée.
On tracera le cycle rapporté à deux axes rectangulaires oX et oY (fig, 17).
Au point 6, la vapeur est à la pression initiale bb' et à la température haute 64.
Pour avoir, à la suite de 6, une courbe isotherme, il faut nécessairement que la capacité dans laquelle se produit révolution de la vapeur soit en communication constante
Fio. 17.
avec le générateur de vapeur, qui seul peut maintenir la température constante ; on supposera, bien entendu, de la vapeur saturée, mais non surchauffée. On appellera donc période d'admission de vapeur celle qui correspond à l'isotherme 6c. La pression y sera constante, puisque ce sera constamment celle du générateur. La ligne 6c sera donc une parallèle à Taxe des x.
A partir de c on supprime la source de chaleur, c'est-àdire la communication avec le générateur; la vapeur va se détendre suivant Tadiabatique crf, dont on déterminera plus tard le tracé. On a donc, suivant cd, une période de détente.
Au point rf, la vapeur communique avec le réfrigérant qui se trouve à la température Oq constante et qui maintiendra également constante la pression de la vapeur. L'isotherme oâ sera donc une parallèle à l'axe des x\ et l'on aura une période d'échappement.
Puisque Ton a supposé que l'eau restait liquide entre les températures 0^ et 6, et que la vapeur ne se produisait qu'à
cette dernière température, on pourra négliger la variation de volume que subit l*eau pour passer de 6^ à 0^. Il s'ensuit que, suivant a&, le volume sera constant, c'est-à-dire que ab est une parallèle à Taxe des y. La pression et le volume augmenteront de a à 6. Ce sera la deuxième adiabatique.
Le cycle de Carnot est ainsi réalisé.
Il reste à tracer cd. Théoriquement, pour les gaz, c'est une courbe adiabatique d'équation :
pvY — C*«.
Mais, pour la vapeur d'eau, le problème est plus complexe, car il s'agit d'une vapeur saturée pour laquelle il existe une relation entre la pression et la température ç (p, t) = 0 indépendamment de la relation y (Pi v, f) = 0 commune à tous les gaz.
De plus, l'eau liquide, qui est toujours entraînée par la vapeur, vient, par sa présence, compliquer encore le problème. Il devient très difficile d'expliquer strictement, dans ce cas, les principes de la thermodynamique. D'ailleurs on verra que cela n'est pas indispensable.
En réalité, on ne connaît pas la forme réelle de la fonction 9(p, t) =: 0. Mais M. HegnauU, par des expériences très nombreuses et très exactes, faites jusqu'à une pression de 27 atmosphères et 230° de température, a déterminé les valeurs correspondantes de p et de t,
Uegnault relia les résultats obtenus par la formule empirique :
log F = a — bcL^ — cp*.
Dans cette formule F est la pression cherchr^e :
a = 6,2640348, log 6 irz 0,1397743, loge — 0,6924351, log a =1,99404929, log p= 1,99834386,
x — t + 20°, t étant la température à la pression considérée.
Celte formule est applicable dans les limites des expériences faites, c'est-à-dire jusqu'à la pression de 27 atmosphères et la température de 230®.
Biot a transformé la formule de Uegnault en la suivante :
log F = a 4- 6i' -f- cV.
Les valeurs de cp' y sont d'ailleurs très petites, et Ton peut se contenter de la formule suivante :
log F r= rt + /ja',
dans lac^uelle on a r
a— 5,4233177, 6 = — 4,81015, log a— 1,9072311,
F est donné en millimètres de mercure. La pression en kilogrammes par mètre carré s'obtiendra donc en multipliant par 13,39.
Ces calculs sont très longs. Aussi a-t-on dressé une table des valeurs de F et de t d'après les expériences de Uegnault. On trouvera ces résultats consignés dans le tableau ci-après, qui donne les pressions et les températures de la vapeur. Les pressions y sont absolues, c'est-à-dire qu'on part, à l'origine, d'une pression nulle. Les températures sont comptées en degrés centigrades.
Le volume spécifique V de la vapeur, ou volume de 1 kilogramme de vapeur, a longtemps été calculé avec la formule
pv = RT,
déduite poiir les gaz permanents des lois de Mariotte et de Gay-Lussac.
On trouvera, dans le tableau suivant, les valeurs calculées d'après cette méthode, qui n'est qu'approchée.
La formule précédente donne :
TABLEAU BIS TEMrillATURES,DI8 PRESSION S.DBS VOLUMIS SKCinoUES i ET DES DENSITES DE LA VAPEUR D'EAU RATUREE .
(]oinme :
on a :
R=M0 et „„= 1 = 5^5^ = 1,2437.
11 vient donc déllnitivement :
Les résultats de cette formule sont exacts pour les faibles pressions. Mais, dès que la pression devient plus forte, on doit calculer le volume spécifique par les formules exactes de la Ihermody nami que .
Le résultat de ces calculs est consigné dans la colonne 6 du tableau précédent. On peut constater que, pour la même pression, le volume calculé par la loi de Mariotte est plus grand que le volume calculé par la théorie mécanique de la chaleur. 1^ courbe déterminée par la loi de Mariotte se tiendra donc toujours au-dessus de Yadiabatique théorique.
Si donc on calcule le travail de la vapeur en admettant la loi de Mariotte, on obtiendra un travail plus grand que le travail réel produit, et la machine sera, par conséquent, trop faible.
En réalité, il n'en est pas ainsi, et le problème de la détente de la vapeur d'eau dans une machine à vapeur est beaucoup plus complexe et va être examiné de plus près.
Détente adiabatique de la vapeur. — D'une façon générale, on sait que la quantité de chaleur X à fournir à 1 kilogramme d'eau à 0« pour le vaporiser à 6° est donnée par la
formule :
C'est donc la chaleur contenue dans la vapeur à celte température.
Cette quantité de chaleur se décompose en deux parties : i« La chaleur nécessaire pour chauffer l'eau de 0^ à 0°. Soit q cette quantité de chaleur.
Dy'après Regnault, on a :
. Elle difTère peu de 0 jusqu'à iOG^.
En difTérenciant, on obtient la chaleur spécifique de Teau :
\iOO/
2^ La chaleur nécessaire pour faire passer Teau de Tétat
liquide à Tétat gazeux, à la température constante 0<».
Soit p cette quantité de chaleur.
On a:
pr=X — ç, ou:
Dans la pratique on se limite aux deux premiers termes.
C'est la chaleur totale de vaporisation.
Cette quantité , de chaleur connue, on peut se rendre compte de ce qui se passe dans la détente adiabatique.
Pour cela, on exprime, en l'appliquant à la vapeur d'eau, que pour le cycle de Carnot l'entropie est nulle,*" c'est-à-dire que:
ou bien
fe=«-
Il suf at d'établ ir la valeur
de — *-: pour chacune des
lignes du cycle et d'établir que leur somme est nulle.
Tout le long de l'isotherme bc (fig, 18), la température est constante et égale à 6^ . Soit pi la valeur correspondante de p.
Si Pi est la quantité de vapeur saturée sèche employée
^^rf
fl
Fio. 18.
LA THERMODYNAMIQUE APPLIQUÉE AUX MACHINES 5tf
dans révolution, on a :
dq PiPi
Elle est positive, car il s'agit de chaleur fournie. Suivant Tadiabatique cd, on sait que Ton a : dg = 0 ; par suite:
Suivant risotherme da, la source réfrigérante recueille une quantité de chaleur pq. Si pq est le poids de vapeur sèche saturée qui,a fourni la chaleur, on a :
a 4- 0 û + Oq
Elle est négative, car il s'agit de chaleur absorbée.
Enfin, pour a6, on a supposé que Teau conservait Tétat liquide, depuis le moment où Teau est prise à 0^ jusqu'au moment on la vapeur- se forme à la température 64.
Ici:
dq / dq
et Ton aura :
On peut faire une application de cette équation à une ma- •:hine à vapeur en prenant des chiffres moyens:
Soit 1 kilogramme de vapeur sèche saturée à 5 kilogrammes
dépression absolue, se détendant à 1 kilogramme de pression ;
on a:
x^ =z i kilogramme.
La température 0, correspondant à 5 kilogrammes, sera :
On déduit de la formule (1) (p. 58) :
Pi = 500"»,!.
La température 6^, correspondant à i kilogramme de pression absolue, sera:
Oo = 99°,l a + ^0 = 273 4- 99,1 = 372«,1.
On en déduit comme précédemment :
En effectuant rintégrale / ^"^î on trouve : 0**',135. De la formule précédente (2) (p. 59) on tire :
Il y a donc 0'*s,09 de vapeur sèche qui ne se retrouvent plus: cela prouve que, pendant la période adiabatique, il y a eu une certaine quantité de vapeur condensée.
Ce fait a été démontré analytiquement par Clausius et expérimentalement par Hirn. 11 est vrai pour tous les cas dans lesquels fonctionnent pratiquement les machines à vapeur.
Expérience de Hirn, — Pour démontrer expérimentalement la condensation pendantla détente, M. Hirn prit un manchon
en verre A {fig. 19), muni iRoi* d'une tubulure T d'admission de vapeur et d'une tubulure T' d'échappement.
Ces deux tubulures sont munies chacune de robinets r Fig. 19. et r' . Les robinets r et r étant
ouverts, la vapeur introduite se condense d'abord sur la paroi froide et lui fournit de la chaleur; puis, la température de la paroi étant devenue
Là THERMODY^'AMIQUB APPLIQUÉE AUX MACHINES 61
égale à celle delavapeur, celle-ci de vient translucide et sèche, et la condensation cesse.
On ferme alors le robinet r d'admission et on laisse le robinet r ouvert. La détente se fait immédiatement et Ton constate que la vapeur devient nuageuse, preuve manifeste dune condensation partielle.
En principe, cette condensation est favorable, puisque toute la chaleur de volatilisation, mise en liberté par la partie condensée, est rendue disponible dans le cylindre de la machine et travaille sur le piston.
En pratique, il peut n*en pas être ainsi, car le fait se complique, dans les moteurs industriels, de plusieurs circonstances étrangères.
On a en effet supposé jusqu'ici que les parois étaient d'une adiabaticité parfaite, c'est-à-dire inertes ou imperméables à la chaleur, en un mot, ne pouvant ni en absorber ni en céder. Il est loin d'en être ainsi en pratique.
Dès que la vapeur pénètre dans le cylindre, elle rencontre des parois à température basse et se condense de suite. Quand les parois ont acquis une température égale à celle de la vapeur, la condensation cesse. On évacue l'eau accumulée ^n purgeant le cylindre; mais l'eau n'est jamais complètement entraînée. Dans la course rétrograde, le cylindre communique avec le condenseur pendant l'échappement, l'eau restant dans le cylindre va se vaporiser, et cette vaporisation enlève de la chaleur aux parois en fonte du cylindre. A l'admission suivante, une condensation nouvelle aura donc lieu, afîn de remettre la paroi en équilibre avec la température de vapeur, et la chaleur absorbée par la paroi sera égale à celle fournie par la paroi à l'échappement précédent.
Pendant la détente, le phénomène de condensation signalé plus haut va se produire ; mais, d'un autre côté, la pression et la température diminuant, une partie de la vapeur condensée pendant l'admission va se vaporiser de nouveau en empruntant, bien entendu, de la chaleur aux parois. Cette vaporisation est donc préjudiciable ; elle équilibre en partie l'effet produit par la condensation.
Il peut donc y avoir vaporisation au lieu de condensation pendant la détente; il se peut aussi que la condensation con-
tinue à se produire au sein de la masse, et que la vaporisation se fasse près des parois.
On conçoit qu'il est nécessaire, autant que possible, de diminuer la condensation pendant l'admission et, par suite, le refroidissement des parois pendant Téchappement. C'est dans ce but qu'on emploie les enveloppes de vapeur que Watt a mises en usage le premier; mais elles ne donnent, en général, d'économie que pour les détentes peu étendues (9 fois le volume introduit environ). Au delà, il y a perte.
On voit, en résumé, que la courbe réelle de détente de la vapeur n*est pas du tout la courbe adiabatique théorique; Texpérience seule peut l'établir.
Fio. 20.
Les courbes adiabatiques réelles, relevées directement sur la machine à l'aide d'appareils spéciaux, se tiennent audessus de celles établies par la loi de Mariotte, de sorte que les positions respectives des courbes de détente diverses peuvent 6tre représentées par la figure 20.
On voit que la courbe A de la loi de Mariotte se rapproche plus de la vérité que Tadiabatique théorique B. On voit aussi que l'emploi de l'enveloppe de vapeur relève la courbe de
LA THBRMODTNABnQUE APPLIQUÉE AUX MACHINES 63
détente pi-atique G jusqu'en C et augmente, par suite, le travail.
On calculera donc la détente dans les machines à vapeur eo employant la loi de Mariotte ; les machines ainsi établies seront susceptibles de développer un travail plus grand que celui pour lequel elles auront été calculées, ce qui n'est pas un inconvénient.
Cela revient, dans la formule générale des adiabatiques, pu* = C^, à faire l'exposant k=: \.
Formules approximatives et renseignements utiles. — On a cherché à établir des relations plus précises que la loi de Mariotte entre les pressions et les volumes pendant la détente de la vapeur.
Rankine propose pour valeur de k :
Zeuner fait dépendre l'exposant k de la proportion m de vapeur sèche, et il donne la formule :
*=: ^,035 +0,100m, avec la condition :
m compris entre 0,70 et 1,
m étant le poids de vapeur par kilogramme de mélange à Torigine.
Mais, en général, on se sert plus volontiers de la loi de Mariotte.
Zeuner donne, d'autre part, la formule approximative suivante pour le calcul du volume spécifique de la vapeur d'eau saturée :
pv« — 1 ,704,
p, pression en atmosphères ; r, volume spécifique ; arzj,0646.
Le tableau suivant donne quelques coeflicients numériques relatifs à divers gaz usuels se rapprochant des gaz parfaits : dy densité, celle de Tair étant prise pour unité ; V, volume spécifique à 0® et 76 centimètres de merctire ; c, chaleur spécifique sous pression constante.
Air
Azote
Oxygène
Hydrogène
Acide carbonique.
Oxyde de carbone
DENSITto
VOLOliBS
CBALECRS
