ES z=: pSr ( t — cos 6) — QRe

Or, pour la périodicité du mouvement, il faut que, pendant

un tour, le travail moteur soit égal au travail résistant, c'est^-

dire que :

pS ."Zr — Q . 2j:R ou

pSr = r.Q\\

(cette équation permet de c^^lculer la section du piston ou la pression de la vapeur).

On a donc :

VCF,^ = r.QR (i — cos 0 — ^Y La dérivée par rapport à 8 donne :

a. SGj =r sQR /^sin 0 — ^ V

ORGANES DE LÀ MACHINE A VAPEUR 171

Pour qu'elle soit nulle, il faut que :

smO =1-1

et Ton voit que :

se- est minimum pour 6 z= 18° 33' 36* = frj SÇ est maximum pour 0 = 180° — ôj =: Oj ;

donc :

a ou :

SSmiQ = JîQRf 1 — cos8^ -y

Or:

î?„ = 27:QR.

Par suite, la valeur a (p. 170) devient :

— \U cose4 + ^^-^^)x 44.140

Finalement on a :

PV« zrz 24.300 ^. .

il reste à se donner le diamètre, à en déduire V et à calculer P, poids de la jante.

2° Calcul d'un volant d'une machine à double effet. — Eu suivant la même marche que pour le cas précédent, on a :

ÎTp := pSr ( I — cos 0)

i-Gj =z pSr(i — cosO) — QHO.

Or, puisque, dans un tour, îs,« =: CFr, on a :

pS . 4r = Q . 2nR, ou:

pSr = i QnR.

Donc :

Cette expression est minimum pour :

et maximum pour :

Par suite :

et :

S^iiMx — -^Gmio

et :

PVa = 4.645

3* Calcul du volant (Tune machine à double effet avec deux

FiG. 104.

manivelles calées à 90° (/îr/. 104).—- La même méthode donne :

ç;,, = pSr [(1 — cos 6) + (1 + sin 6)J Ç^ = Q . 2;cR,

et, puisque îr,n =^ ÎFr :

8pSr = Q . 2rH ;

donc :

ORGANES DE LA MACHINE A VAPEUR

2ÎB5 =r. 5^|^2 + sin 8 - cose - ^l

Cette expression est minimum pour :

et maximum pour

d'où :

PV« = 468 ^.

4** Calcul du volant (Tune machine quelconque. — On examine, d'après le genre de machine considéré, quelle est celle de la puissance ou de la résistance qui a la plus longue période; puis, pendant cette période, on calcule TefTort moteur et TefTort résistant à chaque instant, en les supposant appliqués au manneton de la manivelle.

Fio. 105.

Alors sur deux axes rectangulaires 0/ et Of {fig. iOlS) on porte en abscisses les angles décrits ou les chemins parcourus par le manneton et en ordonnées les efforts ; on obtient deux courbes, ABCDE, abcde, dont les aires représentent le

travail moteur et le travail résistant pendant la période consid(*rée. Ces deux aires sont évidemment égales.

Ces deux courbes se coupent en un certain nombre de points M|, Mj; M3, M{, ... Lorsque la courbe de la puissance est au-dessus de celle de la résistance, le travail ^ est positif, et inversement il est négatif, puisque :

le maximum de (r correspondant à Tun des points M2 et M4, car à droite de ces points la somme Ç,» — t?,. va en augmentant, tandis qu'à gauche elle va en diminuant.

De mt'me, le minimum de (r correspond à Tun des points M| et M3.

On évalpe donc chacune des aires comprises entre les deux courbes. Soient — 84, + 82» — 83, -j- S.» et — 83 ces aires prises avec leurs signes.

Jusqu'en M^ on a :

^miir '-^^-^ -~- o| -p Sj — 03 -p o^. Soit A la plus grande de ces deux sommes :

SÇ^max = A.

Jusqu'en M, on a :

sç-^ — S,.

Jusqu'en M3 on a :

ilê" =^ — Sj + S2 — S3.

Jusqu'en M-, on a :

IC = S^ -[- ^2 "" S3 r Si S;;.

Soit B la plus grande de ces trois sommes :

ORGATiES DE LA MACHINE A VAPEUR 175

D'autre part, le travail utile est représenté par Taire de la résistance :

tr» = aire OabcdeG,

Par suite, on a :

tsu aire OabcdeG

Puis on applique la formule générale.

Régnlatenrs ou modératears. — Les régulateurs ou modérateurs de mouvement sont destinés à faire varier la puissance motrice de la machine, de façon à la maintenir constamment égale au travail résistant qu'elle doit vaincre.

Une machine développant une force donnée, si Tonaugmente la charge qu'elle supporte, elle tend à s'arrêter; inversement, si l'on diminue sa charge, elle tourne de plus en plus vite, ou, pour mieux dire, elle tend à s'emballer. On évite l'arrêt en augmentant la pression ou la quantité de vapeur fournie par tour, et l'on évite l'emballement en les réduisant. Quand la machine est sans détente, on ne peut agir que sur la pression, et pour cela on étrangle plus ou moins la vapeur en un point de sa conduite à l'aide d'une valve ou d'un papillon; quand elle est à détente, on augmente ou l'on diminue la détente, ce qui revient à diminuer ou augmenter la quantité de vapeur admise.

Tous les régulateurs employés sont basés sur l'action de la force centrifuge. On sait, en efTet, qu'un corps tournant autour d'un axe tend à être écarté de cet axe par une force qu'on appelle la force centrifuge, dont l'intensité est proportionnelle au carré de la vitesse du corps.

Un bon régulateur doit maintenir constante la vitesse de la mc^chine, tout en équilibrant le travail moteur et le travail résistant. Mais il doit être insensible aux variations de puissance tolérées par le volant; sinon, il fonctionnerait pendant chaque tour et contrarierait la régularité de la marche.

Régulateurs à force centrifuge,— y^ ait est le premier qui ait imaginé un appareil conçu dans ce sens; il inventa ce qu'il

appela le gouverneur (fig, i06) ou pendule conique. Cet appareil comprend deux boules fixées à deux tiges T et T', suspendues à une articulation O placée sur un axe vertical.

Deux tringles F, F relient ces tiges de suspension au manchon M, qui peut ainsi monter et descendre le long de Taxe vertical, si les boules s'écartent par suite de la force centrifuge. Ce mouvement de va-eUvient est utilisé, à Faide d'une tige à fourche, pour ouvrir ou fermer la valve d'admission, suivant que la vitesse se ralentit ou s'accélère.

Dans le régulateur de Watt, la position des boules est indépendante de leur poids et ne dépend que de leur vitesse angulaire.

En efTet, soient :

Q, le poids du manchon;

p, la résistance à l'ouverture de la valve d'admission; P, le poids d'une boule; w, la vitesse angulaire du régulateur.

Dans une position d'équilibre, la vitesse angulaire est constante, et les boules sont uniquement soumises à Taction de la force centrifuge :

Fia. 106.

Régiil&teur ou gouverneur de Watl.

et à leur poids, car l'accélération tangentielle -j- est nulle. D'après le principe du travail virtuel, on a :

2P«0D + 2 - ti^r^r + (Q zt p) 80D {Jig, 107),

ORGANES DE LA AlÂCIUNE A VAPEUR

ou, en simplifiant,

— 2Pa -4- 2-w«anos^— (Q dbp)fe(i + --= ^^^^* )— 0; 9 \ V c^ — b^ sin^ «/

d'où :

^ ' yacosay 2Po \ vc* — 6*sina/'

en développant en série, on a très sensiblement :

V a cosa I

a cosa I 4Pa

\ I v^c» — 6=»sin2a/J

Or, dans le régulateur de Walt, on a :

Q zi= 0 (sensiblement) ;

Téquation (A) devient donc :

y a cosa L

Lorsque la vitesse de la machine est constante, le régulateur

MACHIICES A VAPEUR. 12

n'agit plus sur la valve, donc p = 0, et Ton a :

^ ' Va cosa

On voit donc bien que, dans le' cas où la machine a une allure régulière, la position des boules ne dépend que de leur vitesse angulaire.

Le poids des boides n'influe que sur la^sensibilité du régulateur.

On appelle sensibilité le rapport de la variation de vitesse que peuvent subir les boules sans manœuvrer la valve à la vitesse normale correspondant à la position de ces boules. Soit wq la vitesse angulaire correspondant à une position o^, w-i la vitesse minima qui pourra être atteinte sans ouvrir la valve, ti;4 la vitesse maxima à atteindre pour la fermer,- la sensibilité est donnée par le rapport :

Wn n

Or:

On a donc :

V a cos otg

et, comme c = b, (E) !£i^:i«!ï^£ft=i,

^ ' «^0 Pa n

Pour que le volant n'influe pas sur le régulateur, il faut

que son coefficient de sensibilité, -• soit plus grand que celui

—, du régulateur, ou :

Ces équations permettent de calculer le régulateur.

On se donne Tangle a (40 à 45^) correspondant à la vitesse

ORGANES DE LA MACHINE A VAPEUR

normale de la machine ; Téquation (G) donne la vitesse angulaire w correspondante, et Ton en déduit le nombre de tours par minute.

Puis on se donne le coefficient de sensibilité :

et, à Taide de Téquation (E), on calcule le poids P des boules.

Pour déterminer les positions d'ouverture et de fermeture complète de la valve, on se donne les vitesses angulaires w' et w' correspondantes, et Ton calcule les angles a" et a qui en résultent, à Taide de la formule (A), en y faisant Q zz: 0.

La résistance de Tair agit fortement sur les boules du régulateur, aussi a-t-on d'abord cherché à diminuer cette résistance en faisant des masses pesantes de forme lenticulaire, telles

Fio. 108.

FiG. 109. — Régulateur Porter.

est ainsi considérablement réduit.

que celles indiquées dans la figure 108. Ces boules occasionnent évidemment moins de frottement que les boules sphériques.

Régulateur Porter, — Dans le modérateur Porter {fi(j, 109), les deux boules du régulateur sont de faible volume, et une masse additionnelle pesante, placée concentriquement à Taxe, s'élève et s'abaisse avec elles. Le frottement de l'air

180 MACHINES A VAPËDR

Isochronisme. — Les régulateurs de Watt et de Porter ont rinconvénient de ne pas maintenir constante la vitesse de la machine. En effet, si, la machine fonctionnant à sa vitesse de régime, la résistance vient à augmenter, la vitesse diminue et les boules se rapprochent jusqu'à ce que l'admission de vapeur ait augmenté sufflsumment pour que la puissance égale la résistance. Si, au contraire, la résistance diminue, la vitesse de la machine augmente et fait écarter les boules pour diminuer l'admission de vapeur jusqu'à ce qu'il y ait équilibre entre la puissance et la résistance. En outre, la force vive acquise par les boules pendant ces changements de position leur fait dépasser la position d'équilibre et cause une série d'oscillations qui rend encore la vitesse plus irrégulière.

Pour remédier à ce grave inconvénient, on a cherché à obtenir Visochronisme des boules, c'est-à-dire à leur conserver la mênie vitesse angulaire, iv, quel que soit l'écartement de l'axe. 11 faut donc que :

w ou:

y a cosa

a cos a = C*« ; or:

a cosa = OD (fig, 107),

et cette ligne OD est la sous-normale de la courbe décrite par une boule ; donc il faut que cette courbe soit un arc de parabole.

Mais les régulateurs mathématiquement isochrones auraient l'inconvénient de subir de grandes oscillations, par suite de l'équilibre indifférent des boules et des vai'iations de puissance de la machine.

Pratiquement, on se contente de faire déplacer les boules suivant deux arcs de cercle dont les centres sont de chaque côté de l'axe.

Régulateurs paraboliques. — Dans ces appareils (fig. 110 et 111), les boules sont réunies à l'axe par des bielles à glissières BB', ce, capables de s'allonger ou de se raccourcir

ORGANES DE LA MACHINE A VAPEUR

pour permettre aux boules d'occuper d'autres positions que celles d'un arc de cercle. Les boules se déplacent sur uu

FiG. 110.

guide parabolique G, qui réalise le mouvement cherché. Le papillon de manœuvre ou l'appareil de détente peuvent être

FiQ. m.

reliés indifféremment aux points M ou M', solidaires lun de l'autre.

Ces régulateurs offrent, à cause des nombreuses glissières, un frottement assez considérable. De plus, ils manquent de sensibilité.

Fia. 112.

On a aussi assujetti un point seulement des bielles de suspension à parcourir un arc de parabole, de façon à faire décrire aux boules un mouvement semblable. Dans ce but (fig, li2), deux galets GG' glissent sur les glissières paraboliques et entraînent le mouvement des boules. Le frottement de Tappareil est encore important.

Gomme on n'a pas intérêt à obtenir Tisochronisme parfait, les régulateurs isochrones pouvant aller aux points extrêmes de leur course dès que la vitesse varie, on se contente de solutions approximatives. Dans cet ordre d'idées on peut citer le régulateur Farcot à bielies croisées et le régulateur Buss ou régulateur Cosinus,

Régulateur Farcot à bielles croisées, ■— Dans cette disposition imaginée par Farcot père, on remplace à partir de son sommet l'arc de parabole par une série d'arcs de cercle. Les bielles sont suspendues en un point de la développée de cette courbe, c'est-à-dire en un point de l'enveloppe de ces nor-

ORGANES DE LA MACHINE A VAPECR ■ 1B3

maies. Dans 1» figure 113, par exemple, on prend ab, ^gale ù la hauteur dont l'appareil doit se lever pour ouvrir ou fermer l'admission ; puis on porte aa 7= bb' :=: l, hauteur du régulateur que Ton a calculée d'avance.; et on divise ab et

irs.

0*6' en un mSme nombre de parties é$;ales par les points 123, l'2'3' ; de a' comme centi-e avec te rayon aa on décrira l'arc aOf limilé en a, ; puis-de 1' avec le rayon l'aj on df'crit l'arc Ofbf ; puis de 2' comme centre avec le rayon 2'6, on d<^crit l'arc 6,c,, et ainsi de suite. On prolonge les rayons a,i', 6|2', etc., de raaniJ^re ft former la développée de la courbe, et on y choisit les deux points AA' centres de courbures pour les positions moyennes des deux boules, afin d'y suspendre les bielles de support qui se croisent ainsi sur l'axe, de sorte que l'aspect de l'appareil est celui indiqué sur la ligure Ht. Le moi4vement des boules est dirigé par un guide GG' composé des arcs de cercle décrits plus haut. Deux

MACHINES A VAPECR

contre- bielles CC réunies par la traverse T parlicipenl aux mouvements des bielles croisées BB' et agissent par rinter-

mi'Jiaire de leviers convenables sur l'appareil de détente de la machine. Ici la traverse T agit sur une tige pleine passant

ORGANES DE LA MACHINE A VAPEUR 185

à rinlérieur de Farbre creux PP du n;gulateur. Cette tige vient actionner le manchon M', Hxv à Tarbre plein intérieur, par une goupille ou clavette qui peut se mouvoir de haut en bas à l'aide d'une rainure de l'arbre creux.

Le manchon M', en montant quand la vitesse s'accélère. comprime un ressort à boudin R et restitue ensuite une partie de TefTort employé. Ce ressort équilibre donc en partie le manchon et ses dépendances.

On peut avoir facilement la hauteur h du modérateur; en effet, on a trouvé :

a cos a zzi / i^ -2- ;

d'où 03^ r:= 7« Or «o = --'--. H étant le nombre de tours de / 60

l'appareil que Ton peut déterminer en connaissant le

nombre normal de tours de la machine et les données de la

transmission de mouvement au modérateur.

On déduit de là :

Ti^nî

d'où :

Tzhi^ n^

On peut donc déterminer/.

On peut, au contraire, se donner / a priori et en déduire la

valeur de n. Dans ce cas on a

Régulateur de Buss ou régulateur Cosinus. — Ce régulateur est très employé avec deux dispositions différentes, l'une ancienne, Tautre nouvelle. L'ancienne disposition peut être schématiquement représentée dans la figure ci-après (/î^. 115).

Un manchon M, fixé sur l'axe de rotation, porte deux branches B et B' descendantes et terminées par les axes a el a. En ces points sont articulées les petites bielles f, f, reliées aux branches courbes C et C, terminées chacune à la partie supérieure par une petite masse sphérique S ou S' et

MACRlTiES A VAPEUR

en bàa par une masse plus grosse T ou T'. Quand le modérateur se met en mouTement, les boules dëcrivent des arcs de cercle autour des points a et a', les boules S el S' à peu près dans un plan horizontal, et les boules T et T' à peu près dans un plan vertical. Ces dernières serrent de contrepoids aux boules supérieures. Un bras agit sur le coulissean pour actionner le manchon et sa surcharge. L'appareil est représenté {^3. 116). .

Dans le nouveau brevet, la disposition est difTérente ; elle

est scliématiquement indiquée {/ig. H'). Chaque boule B est équilibrée par une masse M, et l'ensemble peut osciller autour de l'axe a. Les masses H sont reliées par un bras c à un galet [/ légèrement excentré, qui peut se mouvoir horizontalement sur un plan liori/ontal p Itxé à l'arbre et qui sert de point d'appui & tout le système. Les axes a sont fixés à une sphèi'e creuse S servant de contrepoids, qui coulisse sur l'arbre P el manœuvre le manchon et ses dépendances.

|j\ ligure 118 donne le dessin de l'appareil tel qu'on le construit actuellement.