FORGES D'INERTIE

g 1. — Forces d'inertie de rotation et de translation.

84. — Forces enjeu dans les machines en mouvement, — Les principales forces, dont le jeu constitue le fonctionnement intérieur des machines et détermine les efforts exercés sur les appuis, sont au nombre de trois, savoir :

l"" La pression de la vapeur, étudiée dans les cinq chapitres qui précèdent. La valeur moyenne de la force motrice produite par la vapeur, et ses valeurs particulières à chaque instant, se déterminent, d'après les diagrammes d'indicateurs, comme nous l'avons vu au chapitre II.

S"" Le poids des pièces mobiles.

3* Les forces d'inertie.

Pour pouvoir calculer les effets de ces trois forces combinées, il nous reste à calculer la valeur des forces d'inertie. La place importante, que cette détermination occupe dans le présent chapitre, permet de le regarder comme consacré spécialement aux forces d'inertie, bien que le rôle des deux autres forces y soit également pris en considération.

Les forces d'inertie doivent figurer d'ailleurs au premier rang dans l'étude du fonctionnement mécanique des machines. Ces forces interviennent, en effet, dans le moment moteur, en y introduisant des couples très importants ; de plus, elles sont seules en action, pour produire les violents efforts exercés par les machines sur leurs points d'appui •

— Effort exercé par la vapeur sur la charpente d*une machine. — Il importe tout d'abord de bien distinguer, de l'effet des forces d'inertie, celui de la pression de la vapeur seulement, qui est le même, sur la machine immobile et sur la machine en mouvement.

On dit assez habiluellement que la machine travaille sur elle-même^ c'est-à-dire que la vapeur n'y produit que des forces intérieures. Cela est parfaitement vrai, en ce qui concerne Tabsence de toute résultante de translation. La vapeur introduite dans un cylindre presse, en effet, sur le fond du cylindre comme sur le piston ; l'effort transmis par la manivelle et Tarbre aux supports de paliers se trouve ainsi contre-balancé exactement ; le résultat final se résume en une tension et une compression alternatives des bâtis, qui réunissent le cylindre à la plaque de fondation.

Au point de vue des moments, au contraire, la pression de la vapeur exerce sur Tensemble de la machine un effet bien déterminé, qui tend à produire l'inclinaison en sens inverse de la rotation de Tarbre .

Flg. 140

Considérons la pression P de la vapeur sur le piston, transmise en D au pied de bielle, et dirigée de bas en haut pendant la montée du piston, fig. 140, n^l, et de haut en bas pendant sa descente, fig. 140, n"" i. Au point D, la force P se combine avec la réaction N de la glissière sur le patin de pied de bielle, pour donner la résultante F dirigée suivant la bielle. En B, à la tète de bielle, la force F se décompose, en reproduisant la force verticale P, et la force horizontale — N^.

La force verticale P, , transportée au centre 0 et transmise aux paliers.

est celle qui contre-balance P et produit la tension ou la compression des

bâtis.

La force horizontale N„ combinée avec la pression — N du patin sur la glissière, produit un couple d'inclinaison ou de chavirement de toute la machine sur son plan de pose.

La figure 140 montre que le couple d'inclinaison de la machine garde le même sens, qui est le sens contraire au couple de rotation de Tarbre, dans toutes les positions du piston.

De plus, le moment d'inclinaison de la machine est constamment égal au moment de rotation de l'arbre. En effet, si nous appliquons en 0 deux forces F,, F, égales et contraires, égales toutes deux à F, la force F , combinée avec F, produit le cotiple de rotation de l'arbre, dont le moment est

PXOK;

la force F, donne la composante verticale égale et contraire à P, que nous avons déjà considérée, et la composante horizontale N, qui, composée avec — N, produit le couple d'inclinaison de la machine, dont le moment est

Pi-iF

0ît = NXOl>.

Or, les deux triangles semblables DPF et DOK

donnent,

N""OK' d'où nous tirons,

(1) FX OK = NXOD = 0R:.

Les glissières constituent ainsi le point d'appui du moteur contre le couple résistant de l'hélice.

L'équation (1) permet de calculer assez facilement le moment d'inclinaison ^. Nous avons en effet'

figure 141,

i'î^sfissc. * ces jS '

/ et, en appelant r le rayon de la manivelle, égal à -^

0K==r8in(<p — jS);

nous en tirons.

fig. Hi

(2) Le moment maximum est atteint, lorsque l'angle op est égal à 90"" ; la

C09 p 2 ces p

valeur de ce maximum est la même que si la bielle était de longueur infinie et Tangle p égal à zéro.

En effet, les deux triangles semblables DPF et OKA donnent

(Ibis) FXÔK = PX OÂ,

quel que soit Tangle <p. Le maximum de ^ correspond donc, quand on considère P comme constant, au maximum de OA, qui est j,pour (p=90®; sa valeur est

ou, en remplaçant la pression totale P par son expression en fonction de l'ordonnée moyenne p,

(4) 0n„ = g jc Dî^O p X 10.000.

En supposant que l'ordonnée p au moment du passage du piston à mi-course est égale à l'ordonnée moyenne du diagramme, Texpression qui précède peut s'écrire :

Il est clair que les équations (4) et (4 bis) reposent sur des hypothèses quelque peu contradictoires. Toutefois elles expriment le maximum de 0)1, avec une approximation suffisante pour la pratique- Il est également permis d'admettre, que l'instant du maximum des moments coïncide avec celui des passages du piston à mi-course; on voit ainsi comment cet instant varie, d'un cylindre à l'autre, pour les différents pistons d'une machine.

Le moment d'inclinaison STL de l'effort du piston sur la glissière est toujours trop faible pour fatiguer les attaches de la machine et de la coque. 11 n'imprime pas non plus de bande appréciable à un navire, dans les conditions normales de stabilité des bâtiments droits ; mais lorsqu'on s'inclinant pour d'autres motifs, un bâtiment vient à s'approcher de la position d'équilibre instable, le moment STL dû aux effetsde la tète de bielle et du patin peut suffire pour faire franchir la position d'équilibre instable et amener le chavirement. On a eu, sur le Tonnerre à son premier armement, la démonstration frappante des effets du couple ?fïL ; l'action du gouvernail pouvait faire chavirer le bâtiment sur bâbord, tandis que' sur tribord, elle se trouvait contre-balancée par 9TIL en même temps que par le couple de redressement, à une certaine inclinaison d'équilibre stable.

Nous tenninerons cette élude des effets de la vapeur par deux remarques, dont la première est importante.

En premier lieu, les deux figures 140 montrent que Taction du patin de pied de bielle sur la glissière est toujours dirigée dans le même sens, et que la face travaillante est toujours la même, soit pendant la descente, soit pendant la montée. Seulement la figure suppose que P est dirigé vers le bas pendant la descente et vers le haut pendant la montée, La direction de N se renverse, et un choc sur la glissière est possible, lorsque P change de direction avant la fin de la course, comme on le voit sur les diagrammes de la figure 17, page 43.

En second lieu, si, dans la force P, nous faisons entrer le poids n des pièces mobiles, le moment de rotation et le moment d'inclinaison sont modifiés, mais restent toujours exactement égaux Tun à l'autre. La pression de la vapeur sur le fond de cylindre, au contraire, n'est plus égale à P; elle est plus grande que P pendant la montée du piston et plus faible pendant la détente. 11 ne serait plus tout à fait exact, dans ces conditions, de dire que la machine travaille sur elle-même.

86. — Rappel des principes concernant Finertie et les forces cTinertie. — Supposons qu'un corps mobile M, de masse m soit animé d'un mouvement de translation varié, et soit j son accélération à un moment donné. La résultante de toutes les forces agissant sur M est égale à

Supposons que les forces exercées sur M se composent de forces connues, telles que la pesanteur, la pression de la vapeur, etc., dont la résultante est F, et de réactions exercées par des points d'appui ou d'autres corps mobiles reliés à M, dont la résultante est R. Les trois forces mj\ F et R forment un parallélogramme qui permet de déterminer Tune d'elles, quand les deux autres sont connues.

Dans une machine, on connaît le mouvement géométrique des diverses pièces M et, par suite, la grandeur et la direction de / et de mj. On connaît la force F ; on se propose de déterminer la «-nvjréaction R, ou plutôt l'action — R de chaque Fig. 142

corps M considéré, sur ses points d'appui.

La force — R, d'après la figure 142, est la résultante de F et de — mj. La force — mjy de sens opposé à y, est la force d'inertie du corps M, exercée par lui sur ses points d'appui ou sur les autres corps auxquels il est mécaniquement relié .

Lorsque la force F est nulle, la force — R est égale à — m;, c'est-àdire que la réaction du corps M sur tout Tensemble des corps agissant extérieurement sur lui se confond avec sa force d'inertie.

Appliquons ces principes élémentaires aux pièces mobiles d'une machine à vapeur, en négligeant tout d'abord l'obliquité de la bielle, sauf à en tenir compte plus tard.

Sur l'ensemble du piston et de sa tige, les forces composant F comprennent :

La pression P de la vapeur; Le poids IIp des deux pièces ; La pression N de la glissière sur le patin ; La pression — N du pied de bielle sur son tourillon ; Les deux dernières de ces forces se détruisent. Par suite, l'action Rp de la tète de tige sur le pied de bielle est la ré* sultante de P, de TIp et de la force d'inertie \p dont la valeur est

(5) '.= -FV

De même l'action R^ de la bielle sur la manivelle de l'arbre est la résultante de toutes les forces extérieures exercées sur la bielle, comprenant son poids n^ avec la force Rp, et de la force d'inertie de la bielle elle-même,

Enfin l'action Rm de la manivelle sur l'arbre est la résultante de toutes les forces extérieures, que la manivelle subit, et de sa propre force d'inertie.

Nous arrivons ainsi, de proche en proche, à trouver sur l'arbre, sept forces agissantes :

La dernière de ces forces est une force d'inertie dans le mouvement circulaire, c'est-à-dire une force centrifuge.

Nous connaissons la pression P de la vapeur, et le poids n des pièces mobiles; nous avons à étudier les forces d'inertie Ip,U,]m exercées par le piston et ses annexes, bielle et manivelle.

87. — Conditions dans lesquelles les forces d'inertie se calculent. Classification de ces forces, — L'étude des forces d'inertie des machines marines n'a pas pu être faite en attribuant aux pièces leur mouvement véritable; elle ne donne, par conséquent, que des résultats approchés.

Tout d'abord, on admet souvent que le mouvement alternatif véritable du piston peut être remplacé, sans trop d'erreur, par un mouvement pendulaire simple suivant une loi sinusoïdale. En d'autres termes, on suppose que la bielle a une longueur infinie par rapport à la manivelle, et qu'elle se meut parallèlement à elle-même, conformément à l'hypothèse qui sert de base à l'épure de régulation circulaire et à l'étude des conditions de départ des machines, n""' 72 et suivants. Les calculs de forces d'inertie des machines du Raner-Wilhelm-der -Grosse en particulier, dont les résultats sont donnés n""^ 96 et 107 du présent chapitre, ont été faits dans cette hypothèse .

Les formules algébriques, lorsque Ton tient compte de l'influence de l'obliquité de la bielle sur le mouvement de translation du piston, deviennent nécessairement plus compliquées ; mais leur application est très simple, le calcul numérique des tableaux nécessaires ayant été fait une fois pour toutes. Tous les résultats calculés à Indret pour des machines françaises, qui sont donnés n"^ 96 et 107, sont établis en faisant la correction de l'obliquité de la bielle, qui est très importante, comme nous le verrons au numéro 89.

La question de l'obliquité de la bielle étant ainsi réglée, on reste en présence de difficultés plus sérieuses, qui exigent le recours à deux hypothèses, dont le degré d'exactitude n'est pas exactement établi.

En premier lieu, on suppose que la vitesse de rotation de l'arbre à vilebrequins est uniforme, ce qui n'est pas possible , puisque le moment moteur est variable et que les machines marines n'ont pas de volant. La figure 143 représente les variations de la vitesse angulaire de la machine du Jauréguiberrpy relevées au cours des essais par M. Moritz. Les

WXL

4i I» 2» u 4> s u 7> 8S 95 m H» m w us w M 179 ttum m tts ns «35 t4s tn m cts »« ns w sis us w )4S us ms*

Olûvxclvc A 91,99

Fig. 143.

courbes représentent, pour deux allures, les différences, à chaque instant, entre la vitesse à cet instant et la vitesse moyenne pour un tour complet, exprimées en tant pour cent de la vitesse moyenne. L'écart atteint 8 ^ en moyenne, savoir 9 ^ en plus, et 7 ^ en moins. La force centrifuge, proportionnelle au carré de la vitesse, subit donc des écarts de 17 ^ en plus et en moins, ou de 34 % du minimum au maximum, qui influent très sensiblement surles forces dMnertle. Ni les accélérations tangentielles, ni les changements apportés à l'accélération de translation verticale du piston, ne sont, non plus, négligeables.

La seconde hypothèse consiste à admettre que toutes les forces d'inertie développées par la bielle, dans son double mouvement de translation et d'oscillation angulaire, peuvent être remplacées par celles que donneraient deux masses concentrées. Tune au pied de bielle, Tautre à la tète de bielle, présentant ensemble la masse totale de la bielle et ayant le même centre de gravité.

Nous étudierons, au numéro 91, les modifications que cette seconde hypothèse devrait subir, pour rentrer dans les conditions de la réalité. Telle que nous venons de Texposer, elle est acceptée, malgré ses inexactitudes ; elle a le très grand avantage de permettre un classement très simple de toutes les forces d'inertie, en forces d'inertie de rotation et forces d'inertie de translation.

Les forces d'inertie de rotation l^ sont entièrement produites par les manivelles et les tètes de bielles. Elles sont intégralement exercées sur les paliers. Elles sont uniquement centrifuges. Elles sont constantes en intensité, et variables en direction, de O'' à 360®, dans le plan perpendiculaire à l'axe de l'arbre .

Les forces d'inertie de translation \p sont produites par le piston, la tige, la traverse et son patin, enfin par le pied de bielle. Elles s'exercent sur les paliers et sur les glissières, à la manière de la pression de la vapeur P. Elles sont variables en intensité, depuis zéro jusqu'à un maximum. Elles sont toujours dirigées suivant la verticale, de haut en bas pendant la demi-course inférieure des montées et des descentes (côté A du cylindre), de bas en haut pendant la demi -course supérieure (côté a).

Les forces de rotation et de translation ne diffèrent pas seulement par l'origine et le point d'application que nous venons de désigner, ainsi que par la valeur numérique, que nous étudierons au numéro 88 ; elles diffèrent aussi par leur rôle.

Les forces d'inertie de rotation jn'inlerviennent pas dans le couple de rotation des machines ; elles influent seulement sur les vibrations de la coque étudiées aux § 3 et 4, en associant leurs effets à ceux des forces d'inertie de translation.

Les forces d'inertie de translation, plus importantes que les précédenteSy interviennent à la fois dans le couple de rotation de la machine, et dans les vibrations imprimées par la machine à la coque du navire.

88. — Expression approximative des forces dHneriie. — Considérons d'abord les forces d'inertie de rotation, les plus simples de toutes.

Soient «d la vitesse angulaire de l'arbre,

r la distance d'une masse mobile à l'axe de rotation.

La force d*inertie centrifuge est, pour une masse {a,

Pour une masse supposée concentrée à l'axe de la soie de manivelle, la force totale est,

n C /23îN\.

rs) I -n^/2^v

c étant la course des pistons. En effectuant les calculs numériques, cette expression devient,

(9) Im = 0,000569 nCM%

\tn et n étant exprimés en kilogrammes et C en mètres.

La formule (9) est généralement adoptée pour les applications numériques, avec les deux hypothèses qu'elle comporte, concentration de la masse à l'axe de la soie et parallélisme de toutes les forces élémentaires.

Le poids n qui y figure comprend le poids total de la soie, mais la moitié seulement du poids des deux bras de manivelle, dont le centre de gravité est supposé situé au milieu du rayon ; il comprend de plus le poids de la portion de bielle, qui est supposée concentrée sur la soie et participant à son mouvement;

En introduisant la vitesse moyenne des pistons,

qui est à peu près la même pour toutes les machines contemporaines, la formule (9) devient,

(10) I« =0,0168 nVN.

Si nous attribuons à Y la vitesse assez usuelle de 5 mètres, nous trouvons

(11) I« = 0,084nN = ng-

Calculons maintenant de la même manière les forces d'inertie de translation.

L'obliquité p de la bielle étant négligée, la hauteur z, au-dessus de son point mort inférieur, de toute la masse mobile, piston, traverse, portion de bielle concentrée en D, qui a son centre de gravité en G, est la même que celle du pied de bielle D.

ce qui nous donne, pour la valeur de l'accélération,

\dtj "" 2

co« CCS 9.

La règle des signes a été choisie de manière à donner le signe + aux accélérations et aux forces verticales dirigées comme la pesanteur, c'est-à-dire de haut en bas.

L'équation (13) conduit, pour l'expression de la force d'inertie,

g dt*'

en y remplaçant la vitesse angulaire » par sa valeur en fonction du nombre de tours, à la formule

, II C/27tNV

Cette formule peut prendre les deux formes.

Fig. 144

Ip = 0,000559 n C N« CCS ?, Ip = 0,0168 n V N 008 ?,

et, pour une vitesse moyenne des pistons égale à 5™, la forme

ip=o,o84 nN = n ^ cos ?.

L'expression de la force de translation Ip est donc la même que celle de la force centrifuge U, avec adjonction du facteur cos f ; les deux valeurs maxima de Ip sont égales à Im» pour une même valeur du poids n, et de même sens que I^. On peut donc réunir les deux expressions en une seule I, lorsque Ton considère seulement la valeur maximum, dans la force d'inertie de translation*

L'expression des forces d'inertie appelle immédiatement deux observations.

En premier lieu, sous la forme (9), (15), et plus encore sous la forme (H), (17), cette expression semble indiquer que les deux facteurs G et N de la vitesse moyenne Y des pistons ont, sur les forces d'inertie, une influence toute différente. Cette conclusion serait inexacte, parce que le poids des tiges de piston, bielles, manivelles, qui forme la plus grande partie du poids n, croit proportionnellement à la course C, et même plus vile que C.

Le poids n, dans son ensemble, est sensiblement proportionnel au produit

qui figure dans l'expression (8) du travail F, page 46. Par suite, le produit nCN*, dans les expressions (9) et (15), est proportionnel à

D*p C« N% ou encore, à F X C N.

11 convient donc de considérer la force d'inertie I des pièces mobiles comme sensiblement proportionnelle à la puissance F des machines et à la vitesse moyenne des pistons CN, sans distinguer entre les deux facteurs C et N de cette vitesse.

En second lieu, sous la forme (11), (17), l'expression des forces d'inertie montre clairement combien leur valeur numérique est élevée, comparativement au poids des pièces en mouvement. Le nombre de tours N est en effet fréquemment égal à 120, sur les cuirassés et les grands croiseurs, ce qui donne

i = ion.

Lorsque N est de 360, comme il arrive sur les torpilleurs elles contretorpilleurs, l'équation (11) indique