H — ?- FE

P-V 1,293 X^Qi)(i^.at) Si Tair est saturé d'humidité, son poids F est :

H -If F = V 1,293 X 760(l+at)'

Chaleur spécifique, — i*" Méthode) des mélanges. — Un suppose que la chaleur gagnée par le corps froid est égale à la chaleur perdue par le corps chaud, et l'on pose :

m'c' {V — 6) = (M + me) (a — t.)

Corps cbaud. Corps froid.

S"" Hiéthiftdo du polis de giaee. — Chaque kilogramme de glace fondue équivaut à un nombre de calories exprimé par 79,25. En plongeant dans le puits de glace un corps dont le poids est m, la température t et la chaleur spécifique c, et notant le poids M de glace que ce corps a fondu en revenant à zéro, on a l'équation suivante : met = M 79,25, dans laquelle tout est connu à l'exception de c.

Chaleur latente de fusion de la glace. — Soit un morceau de glace dont le poids est m et que l'on plonge dans une masse M d'eau Uquide à t. Lorsque la glace est complètement fondue et que le mélange a pris la température o, on peut poser, en appelant x la chaleur latente de fusion, mx -|- m© = M (i — ô).

Photométrie. — Quand deux lumières produisent le même degré d'éclairement sur un écran, leurs intensités sont entre elles comme les carrés de leurs distances à l'écran. C'est ce que Ton exprime en posant |7== ^.

6â2 PROBLÈMES DE PHYSIQUE.

Formules de géométrie. — A côté des formules qui précèdent et qui sont purement du domaine de la physique, il en est d'autres qui sont fournies par la géométrie et qui ont aussi leur utilité lorsqu'il s'agit de connaître le volume ou la surface des corps dont la figure est régulière, comme par exemple les prismes, les cylindres, les sphères. Nous rappelons ici ces formules en désignant par V les volumes, par B les bases, par H les hauteurs et par R les rayons des cercles ou des sphères.

Volume (lu prisme fi X H.

Circonférence d'un cercle... 2 « R.

Surface du cercle « R*.

Volume du cylindre « R*^ X H.

Surface latérale du cylindre. S « R X H.

Volume de la sphère J-'f R'*

Surface de la sphère iv R*.

Toutes les lois physiques dont nous avons donné plus haut l'énoncé et l'expression comprennent, en réalité, autant de problèmes qu'elles renferment de quantités variables. Mais quand les deux membres d'ime équation sont bien posés, il est toujours facile d'en déduire l'inconnue que Ton cherche, quelle que soit, d'ailleurs, la position qu'elle occupe, pourvu qu'elle soit la seule quantité dont on ignore le valeur. La formule P = VD qui donne^ le moyen de connaître le poids d'un corps quand on connaît son volume et sa densité, permet également de connaître soit le volume, soit la densité de ce même corps quand on connaît les deux autres éléments de l'équation. On a, en effet, comme conséquence de la formule fondamentale, les deux équations :

Lorsque le problème proposé s'appuie directement sur une loi physique, sa solution devient très-facile, car elle se réduit à un simple calcul consistante résoudre une équation du premier ou du second degré. Mais la question n'est pas toujours aussi simple. II arrive souvent que l'opérateur soit obhgé de chercher lui-même la mise en équation des données du problème; et comme ici la mai*che à suivre varie avec chaque énoncé, il n'est plus possible de

donner une règle qui s'applique invariablement à tous les cas. Voici cependant celle que l'on a coutume de suivre et qui présente en effet de grands avantages :

Supposant connue la quantité que Ton cherche, on la représente par Xy et Ton pratique sur elle toute la série d'opérations qu'on aurait à effectuer s'il s'agissait d'en vérifier la valeur. On arrive ainsi à établir une équation dans laquelle un des nombres est exclusivement constitué par l'inconnue x^ tandis que l'autre comprend toutes les quantités connues fournies par l'énoncé du problème. Nous aurons souvent à faire l'application de cette règle.

f" Chute de» corp».

Temps que met un corps à tomber d'une hauteur déterminée. Vitesse ctcquise au bout de ce temps. — Un corps tombe d'une hauteur de !B40™,3156. On demande : i° le^ temps qu*il met. à tomber; 2<» quelle est la vitesse au bout de ce temps?

La pesanteur étant la force qui détermine la chute du corps, le mouvement est uniformément accéléré^ et l'espace E, parcouru au bout du temps f, est réglé

par la formule ordinaire E = |- X t^- On peut donc poser : 240-,3156 = ?i^Xt^.

On en déduit successivement :

t.^é^^„„eit^^W.

On trouve ainsi

Quant à la vitesse acquise au bout des 7 secondes de chute, puisque cette vitesse est rigoureusement proportionnelle au temps, elle doit être nécessairement 9,8088 X 7 = 68»,6616.

Ainsi le corps mettra 7 secondes à tomber jusqu'à terre, et à ce moment la vitesse qu'il aura acquise sera 68™, 66.

Temps au bout duquel un projectile atteint une vitesse déterminée. Espaee parcouru. — Un aéronaute, placé dans la nacelle d'un ballon, lance vers la terre un projectile auquelil imprime une vitesse initiale de 50 mètres par se-

624 PllOBLÈMES DE PHYSIQUE.

conde. Au bout de combien de temps la vitesse de ce projectile aura-t-elle atteint 99 mètres, et quel sera au bout de ce temps l'espace qu'il aura parcouru? On négligera la résistance de l'air.

D'après cet énoncé, le projectile, en se dirigeant vers la terre, est animé de deux mouvements :1e mouvement uniforme communiqué par l'aéronaute, dans lequel la vitesse demeure invariable et égale à 50 mètres par seconde; et le mouvement accéléré, communiqué par la pesanteur, dans lequel la vitesse est régulièrement croissante et proportionnelle au temps.

11 en résulte que si l'on représente par g s» 9'",8 la vitesse communiquée par la pesanteur seule au bout d'une seconde, on aura pour expression de la vitesse totale, acquise au bout du temps t, la valeur V »= 50 -|- ^»^ X i- Et pour que cette vitesse soit égale à 99 mètres, il faudra que l'on ait :

50» + 9»,8 X t = 99-, d'où

Pour connaître Tespace parcouru E au bout de ce temps ^, il faudra poser

E SB t7t -|- ^t^y ou, en remplaçant les lettres parleurs valeurs,

Ainsi, dans les conditions de l'énoncé, il faudra 5 secondes pour que )e projectile ait acquis une vitesse de 99 mètres et l'espace qu'il aura parcoani au bout de ce temps sera de 37'2'°,5.

Profondeur d'un puits diaprés le temps que met une pierre à atteindre la surface de Veau. — Pour mesurer la profondeur d'un puits, on y fait tomber une pierre. Celle pierre met 8", 5 pour tomber au fond. Quelle est la profondeur du puits?

La pesanteur étant la force qui détermine la chute du corps, le mouTement

est uniformémentaccéléré, et la formule E = -l* X ^ est parfaitement applicable.

On peut donc écrire :

On trouve ainsi E = 354",34.

11 est évident qu'ici l'espace parcouru mesure exactement la profondeur da puits. Cette profondeur est donc de 354'", 34.

Mouvement uniformément accéléré. Accroissement de vitesse au bout é^un temps déterminé. — Un mobile est soumis à l'action d'une force accélératrice

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dont rintensité est 9",8088. On demande quel est, au bout de vingt minutes» Faccroissement de vitesse acquis par le corps?

Puisqu'il s*agit d'une force accélératrice constante, le mouvement doit être uniformément varié, c'est-à-dire que la vitesse doit être proportionnelle au temps.

Si cette vitesse est g «s 9,8088 après la première seconde, après vingt minutes, qui représente 60 X 20» 1200 secondes, elle doit être 9,8088 X 1200 =s 11 770",56, c'est-à-dire que si, au bout de vingt minutes, la force accélératrice cessait subitement d*agir, le mobile continuerait à se mouvoir, en vertu de son inertie, avec une vitesse régulière et constante de 11770^,56 par seconde.

Mouvement uniformément accéléré. Temps au bout duquel le mobile^ animé d*une force accélératrice dont rintensité est connue, aura parcouru un espace connu. — Un mobile à l'état de repos est soumis à l'action d'ure force accélératrice constante dont l'intensité g est égale à 5^,75. On demande le temps qu'aura duré le mouvement quand l'espace parcouru sera de 1996»,675.

Puisque la force qui a mis le mobile en mouvement a une intensité égale

à 5'°,75, le même chiffre 5,75 représentera la vitesse acquise par le mobile

5 75 après une seconde de mouvement accéléré, et —3— représentera l'espace qu'il

aura parcouru pendant la première seconde.

D'aprèslaformule ordinaire du mouvement uniformément varié E, « •§ X ^j on pourra poser :

1996^675=5^Xt2.

On en déduira successivement :

Ainsi, quand le mobile aura parcouru 1996'',675, le temps écoulé sera 26",35.

Cessation de la force accélératrice au bout d'un temps limité. Déduire de la valeur du mouvement uniforme Vintensité de la force accélératrice et l'espace parcouru sous son influence. — Un corps a été soumis, pendant cinq secondes, à l'action d'une force accélératrice constante. Au bout de la cinquième seconde, on fait cesser la force accélératrice. Le mobile parcourt alors, d'un mouveiment uniforme, 450 mètres en dix-huit secondes. Quelle est l'in-

BUIGNET. 40

tensité de la force accélératrice et quel est l'espace parcomru pendant les

cinq premières secondes ?

La vitesse régulière et constante que prend le mobile après cinq secondes

d'un mouvement accéléré est donnée par la formule qrr = 25 mètres.

Et puisque la vitesse acquise après cinq secondes d'un mouvement accéléré

est 25 mètres, la vitesse acquise après la première seconde (ce qui repré-

sente l'intensité de la force accélératrice) est -r- = 5 mètres.

Quant à l'espace parcouru pendant les cinq premières secondes, il est donné par la formule ordinaire :

E=|xt2; on a ainsi :

Ainsi l'intensité de la force accélératrice est représentée par 5 mètres ; 1 espace parcouru pendant les cinq premières secondes est 62°>,5.

H^ lioi des ICTlera.

Balance à bras inégaux. Poids réel d*un corps solide. — Un corps étant placé successivement dans les deux plateaux d une balance, il faut, pour lui faire équilibre, dans le premier plateau 180 grammes, et dans le second 181 . On demande le poids du corps à 1 milligramme près ?

Soit X le poids du corps, on a, d'après les considérations présentées dans la formule qui précède :

X = \/480xl81 = 180yr,499.

En représentant par l et l' les longueurs inégales des bras du fléau, on aura :

Remarque. — La solution de ce problème, de même que celle du problème qui suit, montre que, dans le cas d'une inégalité de longueur dans les bras du fléau, le poids x est représenté par la moyenne géométrique, et non par la moyenne arithmétique entre les deux poids p et p' nécessaires pour

A $in I A QA

l'équilibrer. Ici la moyenne arithmétique serait ~ =s 180?»',5 alors

que le poids exact est 180p<',499.

Ainsi, du moment que l est différent de /', la somme p + P' ^^^ toujours plus grande que 2a; ; et il en résulte que si ce mode de pesée était appliqué à des marchandises il serait avantageux à l'acheteur.

Longueur relative des deux bras d*un fléau. Poids réel d*un corps solide. — Un corps étant placé dans l'un des plateaux d'une balance, on constate qu'il faut, pour lui faire équilibre, placer dans l'autre plateau un poids de 3000 grammes. Le même corps étant placé dans l'autre plateau, on trouve qu'il faut, pour lui faire équilibre, placer dans le premier plateau, un poids de 3600 grammes. Quel est le poids du corps, et quel est le rapport qui existe entre les longueurs des deux bras de la balance ?

Soit X le poids du corps ; soient également lei V les longueurs inégales des deux bras du fléau.

Le premier équilibre donne xl = 3000 V ;

Le second équilibre donne xV = 3600 /.

En multipliant ces deux équations membre à membre et faisant disparaître l et r, on a :

aî2 = 3û00x3600;

d'où

Le poids du corps est donc 3''*^286.

Quant au rapport entre l et /', on peut le déduire de la première équation, en remplaçant x par sa valeur, qui est maintenant connue. On a alors :

3286 X / = 3000 X r ; d*où

/' " 3286 - "'^^'*- . Ainsi, en représentant pari la longueur V, la longueur /doit l'être par 0,91 3.

9^ Densités.

Densité des corps solides qui supportent Vimmersion. — Une sphère de platine pèse dans l'air 84 grammes. Dans le mercure, elle ne pèse que 22?r,6. Quelle est la densité du platine ?

Représentons cette densité par D.

Soitp le poids que présente le platine quand il plonge dans l'air, eip' celui qu'il présente quand il plonge dans le mercure. Soit ^ la densité du mercure par rapport à l'eau.

On a, d'après le principe d'Arcbimède appliqué au cas d'un liquide intermédiaire,

D =^ * = u-'^fi >^ *3'^^ = '^'^-

Densité des corps solides plus légers que Veau. Poids nécessaires pour faire équilibre à la poussée qu'ils éprouvent. — Un morceau de liège est recouvert d'une coucbe très-mince de vernis destiné à le rendre imperméable à l'ëau. Après avoir pris son poids p = 30 grammes dans l'air, on l'attache

à l'extrémîté d'un fil délié qui passe autour d'une poulie verticale fixée au fond d'un vase rempli d'eau. L'autre extrémité du fil étant attachée à l'un des plateaux d'une balance, on met dans le second plateau les poids nécessaires pour que le morceau de liège soit en équilibre dans l'eau, et que le fléau se tienne horizontal. La somme de ces poids est de 95 grammes. Quelle . est la densité D du liège rapportée à celle de l'eau ?

Représentons par P le poids d'un volume d'eau égal à celui du liège. U force avec laquelle le morceau de liège tend à monter à la surface de l'eau, ou, en d'autres termes, la poussée verticale du liège est égale à P — 30 gr. Et puisqu'on fait équilibre à cette poussée avec un poids de 95 grammes, on peut écrire l'ègalilè : P — 30 « 95 grammes, ou P = 95 + 30 = 125 gr.

Ayant ainsi le poids d'un volume d'eau égal au volume du liège, on en déduit très-facilement la densité D de cette substance ; car on a :

La densité du liège est donc 0,24.

Densité des corps solides plus légers que Veau, — Au-dessous d'un des bassins de la balance hydrostatique on suspend une balle de plomb que Ton fait plonger dans l'eau, et qui exige, pour s'y maintenir en équilibre, un poids de 110 grammes placé dans l'autre bassin. Cela étant, on prend une balle de liège dont le poids dans l'air est de 30 grammes, et on la relie avec la balle de plomb au moyen d'un fil très-fin. Le système des deux balles étant complètement plongé dans l'eau, on trouve qu'un poids de 15 grammes suffit pour l'y maintenir en équilibre. Quelle est la densité du liège ?

La balle de liège a été rendue imperméable par une couche mince de vernis dont le poids est négligeable.

Représentons par x la densité cherchée. Soient p le poids du liège dans l'air, p' le poids du plomb dans l'eau, et p" le poids du système des deux corps lorsqu'il est plongé dans l'eau. La densité du liège est évidemment le rapport qui existe entre le poids de ce corps dans l'air et la perte de poids qu'il éprouve dans l'eau. Supposons pour un moment que cette perte soit nulle, le poids du système immergé devra être p + p'\ mais l'expérience fournit p" beaucoup plus petit que la somme p + p', La perte de poids est donc p +p' — p". Alors la densité du liège est fournie par la formule :

Volume et densité d*un corps poreux. — Un morceau de buis, pesant 57 grammes, flotte à la surface d'une masse d'eau distillée à + 4*. Peu à peu l'eau pénètre dans les pores du buis qui s'enfonce de plus en plus, et il arrive un moment où cette matière, ayant acquis la même densité que Teau, se trouve complètement submergée. Sans attendre qu'elle ait gagné le fond du

Tase, on la retire dn liquide, on l'essuie et on la pèse rapidement. On trouve alors que son poids est devenu égal à G^'^B. Quel est, d'après ces données, le volume du morceau de buis et quelle est sa densité ?

A mesure que l'eau pénètre dans les pores de la substance solide, elle en augmente le poids, mais elle n*en modifie pas le volume. L'expérience . montre que c'est au moment oà le poids du morceau de buis est devenu égal à 6^%5 que les deux corps ont la même densité. Le volume de l'eau déplacée étant alors de 62<%5, on peut en conclure que le volume initial du morceau de buis était lui-même égal à 6^,5.

Quant à la densité du buis, elle est donnée par la formule générale :

Poids, volume et densité d*un corps. — Un corps pèse 265 grammes lorsqu'il est plongé dans Teau, et 105 grammes lorsqu'il est plongé dans le mercure. Quel est son poids dans l'air; quel est son volume ; quelle est sa densité?

Représentons son poids par p, son volume par v, sa densité par d, et déterminons d'abord la valeur de v.

Le poids de l'eau déplacée est v, et le poids du corps dans l'eau est p — t? =« 265. — De même le poids du mercure déplacé est v 13,596, et le poids du corps plongé dans le mercure est p — v 13,596 s=: 105.

De ces deux équations on peut tirer la valeur de v ; car on a, en retran- , chant la seconde de la première,

Cette formule simplifiée devient :

«13,596 — 1? = 160 oui? (13,596 — 1) = 160;

on en déduit :

Le volume du corps étant ainsi déterminé, rien n'est plus simple que d'avoir le poids p. Ce poids se compose en effet de deux quantités qui sont maintenant connues, savoir : le poids dans l'eau, qui, d'après l'énoncé du problème, est égal à 265 grammes, et la perte de poids résultant de l'immersion dans ce liquide, laquelle est, d'après le volume connu du corps, 12o%702. On peut donc poser :

Quant à la densité d, elle équivaut comme toujours au poids divisé par le volume, en sorte que l'on a :

6d0 PROBLÈMES DE PHYSIQUE.

Proportions relatives de deux corps formant un système en équilibre dans l'eau. — Quel est le rapport des poids âp et ^ de plomb et de Hége qu'il faudrait attacher ensemble pour que ce système pût se maintenir en équilibre au milieu d'une masse d'eau? La densité de l'eau étant 1, celle du plomb est 11,35, et celle du liège 0,24.

Pour que le système se maintienne en équilibre dans l'eau, il faut qu'il ait la même densité qu'elle, c'est-à-dire qu'il occupe le même volume sous le même poids. Il faut donc que l'on ait :

En réduisant au même dénominateur les trois termes de cette équation, réduisant et simplifiant, on a :

X (2,724 — 0,240) = y (1 1 ,350 — 2,724) ; on en déduit :

Ainsi le poids de liège étant 1, celui du plomb devra être 3,4726.

Constatation d'une cavité dans une masse de cuivre. Mesure du volume de cette cavité, — On soupçonne quelque cavité dans une masse de cuivre, et comme on est certain qu'elle ne renferme aucun métal étranger, on décide de lever les doutes par l'observation de la densité. La masse de cuivre pèse 523 grammes dans l'air et 447^%5 dans l'eau. Quelle est sa densité comparée à celle du cuivre normal qui est 8,8, et, s'il y a une cavité, quel est le volume de cette cavité ?

Soit p le poids de la masse de cuivre dans l'air, et p' le poids de la même masse de cuivre dans l'eau. La densité D est évidemment donnée par la formule: