D-^ZI

Ainsi le cuivre qui aurait dû avoir pour densité 8,8 n'a en réalité

que 6,927.

D'un autre côté, si la densité de la masse de cuivre eût été normale, elle

aurait déplacé un volume d'eau représenté par ^-5 =59«,43. Au lieu de cela

elle a déplacé un volume d'eau représenté par^-^- 8=75**,50. Son volume est

donc trop grand de 75^50 — 59'=S43 = 16«,07. Ainsi il y a une cavité, et cette cavité a un volume de 16^%07.

Densité d'un liquide dans lequel plongent deux corps solides de densité connue. — Deux fragments, l'un de marbre, l'autre de fer, étant suspendus

aux plateaux d'une balance hydrostatique, se font mutuellement équilibre quand ils sont plongés tous les deux dans l'huile. On donne le rapport de leurs poids réels »& 1,31. I^ poids spécifique du marbre est 2,8, celui du fer est 7,7. On demande de déduire de ces résultats le poids spécifique de rhuile?

Il est évident que la solution de ce problème est indépendante de la Talëur absolue des poids respectifs du fer et du marbre.

Soit 1 le poids réel du fer; celui du marbre, d'après l'énoncé, est 1,31. Les deux corps étant plongés dans l'huile, et la densité de l'huile étant représentée

par Xy on a pour le poids du fer plongé 1 — yiy a;, et pour le poids du

1 31 marbre plongé 1,31— a^a?.

Puisque les deux poids se font équilibre, on peut poser : i-^^o? =-1,31-^0:.

En réduisant tous les termes au même dénominateur, résolvant et simplifiant, on a successivement :

Ainsi la densité de l'huile, calculée d'après les données du problème, serait 0,917.

Densité d*un corps soluble dans Veau et poreux, — Un corps soluble dans l'eau et perméable aux liquides pèse 10 grammes dans l'air. Plongé dans l'essence de térébenthine qui le pénètre, mais qui ne le dissout pas, il ne pèse plus que 8 grammes. Pesé de nouveau dans l'air, après qu'il a été retiré de l'essence, on trouve qu'il a augmenté de poids et qu'il pèse 12 grammes. On sait d'ailleurs que la densité de l'essence est 0,86. Quelle est la densité de ce corps rapportée à l'eau ?

Représentons par x la densité cherchée. Soient p le poids du corps dans l'air, p' le poids de ce même corps pénétré d'essence et plongé dans l'essence, p" le poids qu'il présente lorsqu'il est pesé dans l'air après l'immersion ; soit enfin d la densité de l'essence de térébenthine.

Le volume que le corps occupe est exactement le même, qu'il soit ou non pénétré d'essence. Or l'expérience nous apprend que quand il est pénétré d'essence et plongé dans l'essence, il déplace un volume de ce liquide

représenté par^ . ^ • Ce volume d'essence déplacée étant précisément égal

au volume extérieur du corps, on peut poser, d'après la formule générale, D =r ^,

Application duprincipe des pressiom hydrogtatiqtLes. -- Dans un tube en U ayant partout la même section on introduit du mercure qui prend son niveau dans les deux branches. On verse alors dans Tune d'elles une colonne d'eau' de 0^,100 de hauteur, et l'on demande de combien la surface du mercure se trouve abaissée au-dessous de son niveau primitif ?

Représentons par h le niveau primitif du mercure. Soit h' le niveau qu'il présente dans la branche où Teau a été introduite, et h'* celui qu'il présente dans l'autre branche. ^\ h — h' exprime l'abaissement du niveau dans la première branche, h" — h exprime l'élévation dans la seconde, et, à cause de la section constante, on a

h^h' ^h"- h, et par suite *" — *' = 2 {h— h!).

D'un autre côté, si Ton considère un plan horizontal passant par le niveau h\ comme toutes les molécules mercurielles situées dans ce plan sont en équilibre, il faut admettre qu'elles supportent la même pression dans Tune et l'autre branche. Or, dans l'une, la pression est celle d'une colonne d'eau ayant O'jlOO pour hauteur et 1 pour densité ; dans l'autre, la pression est celle d'une colonne de mercure ayant h" — h! pour hauteur et 13,59 pour densité. On peut donc poser :

En remplaçant h" — h! par son égal 2 {h — A')> ^^ arrive à l'équation finale :

h V — 0*400 __ omm RQ

Ainsi l'abaissement qu'éprouve le niveau du mercure dans la branche où Teau a été introduite est de 3"'',68.

Densité comparée de deux liquides d'après les hauteurs verticales que leurs colonnes doivent avoir pâur se faire équilibre siirune même tranche de mer-cure. — Une colonne d'eau de 4 ",55 de hauteur et une colonne d'un autre liquide de 3'",47 de hauteur se font équilibre dans les branches d'un siphon. La température des deux liquides est-f-^®* On demande : 4* quelle est la densité du second liquide par rapport à l'eau; 2<* quelle serait la hauteur à laquelle il s'élèverait si la température était portée à -|- 25«, celle de l'eau restant à -f A» ? Le coefficient de dilatation du liquide est 0,000466.

Les densités des liquides étant toujours rapportées à celle de l'eau prise à

son maximum de densité, c'est-à-dire à -|- i^, la densité du liquide qui fait équilibre à Teau dans le cas actuel est donnée par la formule simple :

^=ii^= 0,48896.

Cette densité est celle que possède le liquide à -|- 4^ et, d'après le coefficient de dilatation que donne l'énoncé, la densité ^', calculée pour la température de + 25", serait :

Si donc la colonne d'eau restant à -f- 4<*, celle du liquide qui lui fait équilibre était portée à -{- 25**, il fondrait, d'après la loi des pressions hydrosta tiques, que la hauteur h' de ce liquide fût à celle de l'eau comme 1 est à 0,48726. Il faudrait, en d'autres termes, que l'on eût :

Densité des corps solides et des liquides dans une même expérience, — Un fragment de métal pesant 59'',219 dans l'air est plongé successivement dans l'eau et dans un autre liquide. Le poids qu'il perd par suite de cette immersion est 10%O87 dans le premier cas, et 19^,214 dans le second. Quelles sont, en négligeant l'influence de la température, la densité du métal et celle du second liquide dans lequel il est plongé?

Représentons par Pie poids du métal dans l'air, parjp la perte de poids qu'il éprouve dans l'eau, et par p' celle qu'il éprouve dans le second liquide.

La densité D du métal est donnée par la formule :

Quant à la seconde détermination, il suffit de remarquer que les poids p et p' se rapportent à des volumes égaux des deux liquides, puisque chacun de ces volumes est séparément égal au volume extérieur du métal plongé.

Dès lors la densité D' du second liquide se déduit de l'équation :

Densité des corps solides qui supportent Vimmersion avec correction de température, — Un morceau de cuivre pesant 426 grammes et ayant à zéro une densité de 8,878 est plongé dans une masse d'eau dont la température est-|- 15<^ et la densité 0,9991. On demande quelle est la perle de poids

634 PROBLÈBŒS DE PHYSIQUE.

qu'il éprouve par le fait de cette immersion, sachant que son coefficient de dilatation cubique est 0,0000513?

Représentons cette perte de poids par x. Soient P le poids du cuivre, D sa densité et k son coefficient de dilatation. Soit S la densité de Feau à

D'après la formule générale des densités, j- représente le volume du cuivre

à zéro, et -g (1 +kt) représente celui qu'il occupe à i®, et par conséquent le

volume de l'eau qu'il déplace. Cette eau ayant à t» la densité ^, son poids,

p d'après la formule des densités, doit être *n (1 + W) X *.

On a donc en passant aux nombres :

œ^^{\ + kt)X^^ :^?|5^X i,0007695 X 0,9091, X =i||^x 1,0007695 X 0,9991= 47«%9767.

Densité des solides et des liquides. Modification qu*eUe éprouve sous rinfiuence de la température. — Le rapport entre la densité du cuivre à zéro et celle de l'eau à -|- 4» est 8,88. On demande comment ce rapport se trouvera modifié si on compare la densité des deux corps à -|- 15^? Le coefficient de dilatation cubique du cuivre est 0,0000515 ; celui de l'eau entre les limites de + 4» et de + 15<' est 0,0000663.

Pour un même corps solide ou liquide dont le poids ne change pas, la densité varie en raison inverse du volume.

Si donc on représente par i la densité de l'eau à -|- 4<*, et par ^ la densité de Teau à + 15'*, on aura :

^ ^ 1+0,0000663 xn^ ^'^^^^-

De même, si l'on représente par 8,88 la densité du cuivre à zéro, et par 9' la densité qu'il possède à -|- 15**, on aura

Pour avoir le rapport demandé, il suffit de poser :

Ainsi, en pesant les deux corps sous le même volume à la température de + 15'», leurs densités relatives, au lieu d'être dans le rapport de 8,88 à 1, seraifint dans le rapport de 8,879 à 1.

Hauteur d'une masse qflifidrique de mercure dont on connaît le poids. — Dans un Tase cylindrique à fond plat ayant O",! de diamètre intérieur, on verse iâ kilogrammes de mercure. Cfuelle sera la hauteur de la colonne H- -quide?

Le volume d'un cylindre étant égal à vr^h,et le poids de ce cylindre n'étant autre chose que le produit de son volume par sa densité, on a :

•et par suite

.^ P vr^d'

Le second nombre de l'équation ne renfermant que des quantités connues, •la valeur de h se déduit de la formule :

^^^ ,= llc,241.

. Poids d'un cylindre de mercure, diamètre de ce cylindre. — Un tube de Terre cylindrique ayant 0",60 de longueur est conplétement rempli de mercure, et on trouve que le poids de ce métal est de 275 grammes. Quel est le diamètre du tube?

Le volume du cylindre de mercure étant irr*^, son poids est «r'/iX^^- On en déduit :

P ^^''f^hd et par suie

:hd

Remplaçant les lettres du second membre par les chiffres qui leur corresjpondent, on a :

;,U16X 60^X13,59 Ainsi le rayon du tube est de 0^,3!28; par conséquent le diamètre de ce tube €StO',328X2 = 0%656.

Poids d'une sphère dont le rayon et la densité sont connus. — Quel est le poids d'une sphère de plomb dont le rayon est 1 décimètre ? On prendra pour densité du plomb le chiffre 11,35.

I^e volume d'une sphère ét&.it égal à n^c i*3, et le poids d'un corps n'étant

autre chose que le produit de son volume par sa densité, on a, pour le poids p de la sphère,

p=^nr^ X d.

En passant aux nombres, et en ayant soin d'exprimer le rayon de la sphère en centimètres, on arrive à Téquation :

La sphère dont il s'agit pèse donc un peu plus de 47'^'^ 1

Application de la formule générale des densités et de la formule géométrique du volume des cylindres, — Quel est le poids d'un cylindre de foute dont le diamètre est 0'",568 et la hauteur â'",739 ? La densité de la fonte est 7,207.

Représentons le poids cherché par P.

La formule générale qui donne le volume d'un cylindre est V = ic r« X *• Si donc on exprime le rayon r et la hauteur h en décimètres afin d'avoir le poids P en kilogrammes, on devra écrire :

Le volume V du cylindre étant une fois connu, et la densité D de la fonte, étant donnée par l'énoncé du problème, on en déduit très-facilement le poids cherché P d'après la formule générale. On a ainsi :

F = VD = 694'»s032 X 7,207 = 5001 •'",888.

Ainsi le poids du cylindre de fonte dont il s'agit est 5001*^,888.

Application de la formule des densités, de la formule géométfHque de la sphère et du coefficient de dilatation des corps. — On demande ce que pèse une sphère de cuivre dont le rayon est de 1 mètre à la température de 50°? La densité du cuivre à zéro est 8,8, et le coefficient de sa dilatation cubique est 0,0000515.

Le volume V de la sphère de cuivre à la température de + 50" est

V = 5 icr3. Pour avoir le poids en kilogrammes, exprimons le rayon de la

sphère en décimètres ; r^ deviendra égal à 10^ = 1000. Le volume de la sphère aura alors pour expression :

D'un autre côté, la densité D du cuivre , rapportée à la même température de -|- 50°, est, d'après le coefficient indiqué pour la dilatation du cuivre,

Le poids P de la sphère sera donc donné par la simple formule :

P = VD == 4188^S8 X 8,7773 = 36766k»-.354.

Ainsi la sphère de cuivre ayant 1 mètre de rayon à -(- 50° pèse 36766kiiM3oi.

DENSITÉS. PRINCIPE D'ARGHIMËDE. 637

Application du principe d'Archimède, de la formule générale des densités et de la formule géométrique du cube et de la sphère. — On a un cube de plomb de O'^Oide côté qu'on veut soutenir daus Teau en le suspendant à une sphère de liège. Quel diamètre devra avoir celle-ci pour que le système ainsi formé se tienne en équilibre dans Teau? Le poids spécifique du plomb est li,35, celui du liège est 0,24.

Le volume du cube du plomb est i3s=6i<e; et son poids dans Tair est 64* X 11,35 = 726*% 40. Par suite de son immersion dans Teau, ce cube de plomb perd 64 grammes et ne pèse plus que 662*',40.

Représentons maintenant par r la longueur en centimètres du rayon que doit avoir la sphère de liège pour remplir la condition exigée. Son volume

exprimé en centimètres cubes sera 0 ^ r^, et son poids n ^ r^ X 0, 24.

Gomme cette sphère sera elle-même plongée dans Teau , la perte de poids qu'elle éprouvera sera ^«r^x 1; en sorte que la poussée qui la portera à

la surface du liquide sera ôiïr»(l — 0,24).

I^ condition du problème exige que la poussée du liège soit égale an poids du plomb. Il faut donc que Ton ait :

giir»X0,76«:6629%40.

On déduit successivement de cette équation :

Ainsi le rayon de la sphère de liège devra être de 5<^,02, et par suite le diamètre qui est le double du rayon sera 5,92 X 2 = 11%84.

Application de la formule des densités et de la formule géométrique du volume des sphères. — Un boulet de fonte pèse 12 kilogrammes. La densité Dde cette fonte est 7,35. On demande le rayon de ce boulet sphérique et le poids de Tor qui serait nécessaire pour former autour de lui une couche de •0",0006 d'épaisseur? La densité d de l'or est^l9,26.

Représentons par r le rayon du boulet , et par p le poids de l'or qui doit former la couche extérieure.

Puisqu'on connaît le poids et la densité du boulet de fonte, le volume de ce boulet est, d'après la formule ordinaire,

D'un autre côté, le boulet étant sphérique, son volume doit être repré-^ sente par > =0'^'^*» on a ainsi :

d'où Ton tire

Calculons maintenant le volume de la couche d'or qui doit recouvrir la boule de fonte. Le rayon r du boulet nu étant O*,730, le rayon R du boulet recouvert de sa couche d'or sera, d'après l'énoncé, O*,730 + 0,0006 = 0,736. Or, le volume v de la couche d'or doit être la différence entre le volume du boulet recouvert d'or et le volume du boulet non recouvert ; de sorte qu'on doit avoir :

« = I „ (R, ^ ) ^*X3,U16x 0,00967^ ^fimm.

Le poids p de l'or étant représenté par vd^ on a :

Si le rayon du boulet de fonte est égal à 73 millimètres, et le poids do l'or qui serait nécessaire pour former autour d'un boulet une couche uniforme de 6 dixièmes de millimètre est égal à 7800%! 37.

Détermination du diamètre d*un fil de platine. — Un fil de platine parfaitement cylindrique a une longueur de 1 mètre et pèse 35 grammes. On demande quel est le diamètre de ce Hl, sachant que la densité du platine estai.

Le volume du fil est donné géométriquement par la formule V = irr'-ft,

et physiquement par la formule V = ^* On peut donc poser l'égalité :

d'où l'on tire:

nhd

En passant aux nombres, et exprimant h en centimètres, puisque le poids est exprimé en grammes, on a :

et par suite :

Ainsi le rayon du fil de platine est 0%0728. Le diamètre est donc Os0728 X ^ «0S1456.

Cylindre en fer etpUUine dans le mercure. Hauteur de la partie immergée.— Un cylindre en fer de 0",25 de hauteur, à la base duquel est soudé un cylindre de platine de même diamètre et de O'^fib de hauteur est plongé dans le mercure. Quelle sera la hauteur du cylindre immergé ? La densité du platine est 21,2; celle du fer, 7,8; celle du mercure, 13,6.

Soit h la hauteur du cylindre immergé; on a, d'après le principe d'équilibre des corps flottants, 0^25 X 7,8 + 0»,05 x 21,2 = A X 13,6.

Celte équation simplifiée devient :

1,95+1,06 = ^x13,6, et Ton déduit :

Ainsi, la hauteur du cylindre immergé sera 0"*,221, et par conséquent la partie qui fait saillie au-dessus du mercure a une hauteur de 0^,019,

Poids d^une couche d*or d'épaisseur déterminée recouvrant un fil d^argent^ — Un fil d'argent parfaitement cylindrique ayant 0'*,0015 de diamètre et pesant 39',2875 doit être recouvert d'une couche d'or de 0",0002 d'épaisseur. On demande quel sera le poids de l'or ainsi déposé? On prendra 10,45 pour densité de l'argent, et 19,26 pour celle de l'or.

Soit p le poids de l'or déposé ; soient r le rayon du fil cylindrique d'argent et R le rayon de ce même fil, après qu'il a été recouvert d'or; soit h la hauteur du cylindre représentée ici par la longueur du fil ; soient enfin d la densité de l'argent et d' la densité de l'or.

D'après les données du problème, on a r = 0^,075 et R = 0^,095. Le volume v

du fil d'argent est j = ' . ,, = 0^,31 46 ; et ce volume correspond kfsr^h^

On a donc :

«rU = 0,31iG; d'où l'on déduit :

j^^M146 '^îcr* 0,0176 ^''^'• Lorsque le fil d'argent sera recouvert d'une couche d'or de 0^,02 d'épaisseur, le rayon du fil cylindrique étant devenu B, son volume Y deviendra «RU = 0^,506667.

Or, le volume v' occupé par la couche d'or n'est autre chose que l'excès de V sur v. On a donc :

t?'s=irR2^ — irr»A = irii(R« — f«),

ou, ce qui est la même chose,

Le volume v' de la couche d'or étant une fois connu, le poids p s'en déduit, par la formule ordinaire :

Ainsi le poids de la couche d'or déposée sur le fil d'argent sera 30^59.

Détermination de la composition d*un (UUage par les densités. — On veat former avec le zinc et le cuivre un alliage dont le poids soit 50 grammes et la densité 8,2. On sait que le cuivre a pour densité 8,86, et le zinc 7,17, et Ton sait aussi que le volume de l'alliage est sensiblement la somme des volumes des composants.

Représentons le poids du zinc parp; celui du cuivre le sera par 50— p. Soient d la densité du zinc, d' la densité du cuivre et ^ celle de l'alliage. D'après l'hypothèse admise sur l'égalité de volume entre les composants et leur mélange, on peut poser l'équation :

Cette équation, ramenée à un dénominateur commun et résolue en valeur de p qui est seul inconnu donne :

^Xdjd' — ^) P- ^{d'^d)

La conversion en nombres donne :

Le poids du zinc étant 17fl'',07, celui du cuivre doit être: 50^ — 179^,07 = 329'-,93.

Analyse qtiçmtitative d'un aUiage d'or et de cuivre d'après la densité qu'il possède. — Un alliage d'or et de cuivre pèse 650 grammes dans l'air. Plongé dans l'eau, il ne pèse plus que 600 grammes. Quelles quantités contient-il des deux métaux? On suppose que l'alliage, au moment de sa formation, n'a donné lieu ni à une contraction ni à une dilatation. La densité de For est 19,3 ; celle du cuivre est 8,8.

La perte de poids que le lingot éprouve par le fait de son immersion dans

l'eau étant de 50 grammes, la densité de l'alliage est -^ » 13.

Représentons maintenant par x le poids de l'or contenu dans les 6509' d'alliage, le poids du cuivre sera représenté par 650 — x. Et comme le volume de l'alliage est égal à la somme des volumes des deux métaux qui le constituent, on peut poser :

X , 50 — a? 650 19,3+ 8,8 id'

On déduit successivement de cette équation :

114,4 a: + 163085 — 250,9 ar = 110396.

DENSITÉS. eii

Les 650 grammes d'alliage renferment donc :

Or 386»'

Cuivre 264

Total 65(K.

Poids d*un cylindre d'alcool obtenu au moyen de la formule des densités. — Un estagnon de forme parfaitement cylindrique est rempli d'alcool à 80 degrés centésimaux. La hauteur du vase est 36%9 ; son diamètre 24^,6. Quel est le poids de l'alcool qu'il renferme ?

Le volume d'un cylindre étant représenté par isr'^h et le poids d'un corps n'étant autre chose que le produit de son volume par sa densité, on doit avoir pour le poids de l'alcool p^vf^hXd.

11 est vrai qu'on ne connaît pas la densité d de l'alcool ; mais on connaît son degré centésimal = 80 degrés, et les tables de relation indiquent que ce degré correspond à das 0,863.

9/t fi

On a donc, en passant aux nombres et en prenant r=—^= 12,3,

Ainsi la quantité d'alcool contenu dans l'estagnon dont il s'agit et que l'on suppose parfaitement cylindrique est 151359%46.

Proportions relatives de deux liquides pour un mélange de poids et de densité déterminés, — La densité de l'eau étant 1 , et celle de l'acide nitrique étant 1 ,48, on demande quelle est la quantité d'eau qu'il faut ajouter à 1 kilogramme d'acide nitrique pour que 1 litre de mélange pèse 1^'',29?

Représentons par x cette quantité d'eau qui est inconnue et qui doit être ajoutée à l'acide nitrique ; on doit avoir, à cause de l'égalité de volume entre le mélange et ses composants,

11000 ,jr 1000 + a?

On déduit successivement de cette équation :

Ainsi la quantité d'eau qu'il faudrait ajouter à 1 kilogramme d'acide nitrique pour que le mélange eût la densité 1,29 est égale à 44l9%86

Proportions relatives de deux liquides pour un mélange de poids et de densité déterminés. — On a deux liquides, l'eau dont la densité est 1 , et une

BUIGNET. 41

solution de chlorure de calcium dont la densité est 1,35. Quel volume faut-il prendre de Tun et de l'autre pour avoir 1 litre ou 1000 centimètres cubes de mélange ayant une densité de 1 ,25 ?

Soit X le volume de la solution du chlorure de calcium; celui de Teau qu'il faudra y ajouter pour avoir le mélange que demande le problème sera nécessairement 1000 — X,

Dès lors, et d'après la formule générale des densités, P = VD, on pourra poser :

On en déduira successivement :

Ainsi, pour avoir 1000 centimètres cubes de mélange ayant une densité égaie à 1,25, il faudra prendre 714^^,29 de solution de chlorure de calcium, et par conséquent 285^^71 d'eau.

Densités de deux liquides déduites du poids de leurs mélanges en proportions connues. — On a deux liquides de densités dififérentes. En mêlant 2 litres du premier avec 3 litres du second, on obtient 5800 grammes de mélange. Lorsqu'on môle au contraire 3 litres du premier liquide avec 2 litres du second, le poids du mélange est 5950 grammes. On demande la densité de chaque liquide ?

Soit d la densité du premier liquide, et d' celle du second.

D'après la formule générale P = VD, on a :

Dans le premier cas ^ d + dd' = 5800

Dans le second cas Z d + 'id' = 5950.

En déterminant d en valeur de d', on déduit :

, 5800 — M' ^ 5950 — 2rf' d= 5 d = 3

d étant nécessairement égal à lui-même, on peut poser l'équation :

ce qui donne en réduisant au même dénominateur :