II. DES FRACTIONS DÉCIMALES

Une fraction est dite décimale quand son dénominateur est Punité suivie de plusieurs zéros.

Ainsi , sont des fractions décimales.

Le sj^stème adopic pour écrire les nombres entiers, fournit le moyen de mettre les Iractjons décimales sous la forme de nombre entier. Car, d’apvès ce sjstème, les différents chiffres d un nombre exprimant des unités de dix en dix fois plus petites, à mesure qu’on avance d’un rang vers la droite, il en résulte que, si l’on place des chiffres à la droite du chiffre des unités, le premier de ces chillres exprimera des dixièmes d’unités^ le deuxième des centièmes, etc.

Pour distinguer le chiffre des unités, nous plaçons à sa droite une virgule de cette forme (, ).

Cela posé , si l’on veut écrire la fraction décimale

lOO

sous

la forme d’uu nombre entier, on observera quelle se décompose en

* 1 * H ou 5 unîtes -4

et que par conséquent on peut écrire 5,47. En général pour

pnittte uu« fraction décimale sous la forme d’un nombre entier,

58 AHUHMETlOljl:.

oii écrit le numéraîeijr et on sépare, à l’aide de la virijiiîe, autant de chiffres sur la droite de ce mimératenr, eu’il y a de zéros dans le dénominateur.

Les chiffres placés à la droite de la virgule sont les chiffres décimaux ou les décimales, ils composent la partie décimale; et les chiffres cpii sont à gauche de la virgule forinenl la partie entière ; quand il ivyena pas, on met un zéro pour en tenir la place.

Pour iraosfornuT un nombre décimal en fraction ordlttaire, on prend une fraction dont le numérateur est le nombre décimal, abstraclion faite de la virgule, et dont le dénominateur est runité suivie d’aulaiit de zéros qu’il y a de chiffres à droite de la virgule.

Pour énoncer un nombre décimal on peut le séparer arbitrairement en plusieurs tranches, et énoncer ensuite chaque tranche comme si elle était seule, en ajoutant le nom de l’ordre des unités , du premier chiffre à droite de la dernière tranche.

Pour écrire un nom!)re décimal énoncé, on pose successivement, à partir de la gauche, le nombre d’unités de choque espèce indiqué dans rélioiicé du nombre proposé, en mettant des zéros à la place des unités intermédiaires qui peuvent manqüeî’, et on pose ensuite la virgule à la droite du chiffre des unités, de manière que chaque chiffi’e occupe le rang qui convient à l’espèce de ses unités^

Tout nombre entier peut être considéré comme un nombre décimal, en plaçant la virgule à la droite du chiffre décimal, et en meltaiil des zéros à la suite de la virgule.

Üii nombre décimal ne change pas de valeur quand on met ou quand on supprime des zéros à la droite de la virgule.

Selon qu’on avance la virgule d’un rang ou de deux rangs vers la droite d’un nombre décimal, on rend ce nombre ro fois ou 100 fois plus grand.

Selon qu’on recule la virgule d’un rang ou de deux rangs vers la gauche, on rend ce nombre lo fois ou loo fois plus petit.

L’additiou et la soustractiuii des nombres décimaux s'effectuent comme ce les des nombres entiers , en ayant soin de placer les nombres de meme grandeur les uns sur les autres.

l,a multiplication des nombres décimaux s'effectue comme s’il n’v avait pas de virgule, et l’on sépare ensuite aulaui de décimées à la droite du produit qu’il y a de chiffres décimaux dans tous les facteurs; le résultat exprime le produit demandé.

En effet , chaque facteur est équivalent à une fraction dont le

arithmétique. 59

numérateur est le facteur dans lequel on fait abstraction de la viri^ule, et dont le dénominateur est i’uniîé suisie d’autant de zér os qu’il v a de décimales dans ce facteur. Le produit demandé est é^al a une iraetiou dont le numéraleur est le produit de tous les nomlu’es entiers (|ui résultent de la suppression de ia Tii’iïule dans les fractions protiosées, et dont le dénominateur est 1 unité suivie d’autant de zéros qu’il y a de décimales dans tous les facteurs. Pour convertir cette fraction en décimales, il siilfit d’écnre son lunnérateur, et de séparer autant de chiflres décimaux à ia droite qu’iî y a de zéros dans le dénominateur; mais il y a autant de zéros dans le dénominateur qu’il y a de décimales dans tous les facteurs, le principe est donc démon tié.

Ainsi on trouve que :

La division de deux nombres décimau]Sf présente deu^ cas: Quand ie dividende et le diviseur contiennent le meme nombre de décinîales, on obtient le quotient en effectuant Ifi division comnic s’il ii*y avait pas de virgule, car la suppression de la virgule revient à mnllij)lier le dividende et le diviseur par un même nombre, ce qui ne change pas le quotient.

Quand le dividende et le diviseur ne contiennent pas le même nombre de décimales, on ramène ce cas au précédent, en plaçant des zéros à la droite du nombre qui contient le moins de décimales.

Car , en opérant ainsi , on ne change pas la valeur du dividende et du diviseur.

Le calcul des nombres décimaux étant beaucoup plus simple que celui des fractions , il est naturel de chercher à convertir les fractions en décimales.

iN'ous avons vu comment on opère cette conversion quand le dénominateur est l’unité suivie de plusieurs zéros.

Quand le dénominati'm- de la fraction proposée n’est pas l’iiiiilé suivie do j)iusieiir.s zéros , on effectue la division du numérateur par le dénominateur, et l’on place une virgule à la droite du nombre eniici* dn (juotic'nt. Pour trouver les autres chiffres rlu quotient, on cor.M ilit Us restes successifs en dixièmes, centièmes , etc. ; les chilïresinrün tiouve à la suite des unités du quolieul expi imeul les diN iéines, les eentièiues, etc., du iîoml)re dé-

cimal équivalant à la fraction proposée. Soit la fraction

on trouve qu’elle elt exprimée par 0,0186767, etc.

Les fractions décimales dans lesquelles plusieurs chiffres se répètent dans le même ordre et à l’infini , sont appelées fractions décimales périodiques, et la partie décimale qui se reproduit périodiquement s’appelle la période.

Quand la période commence au chiffre des dixièmes, la fraction est dite périodique simple; quand elle ne commence qu’après un certain nombre de décimales, elle est périodique mixte.

0,272727.. est une fraction périodique simple,

0,03676767... est une fraction décimale périodique mixte.

Les fraclions décimales périodiques peuvent toujours être converties en fractions ordinaires. En effet, soit la fraction décimale périodique simple 0,2727 ; si l’on pouvait en déduire une autre expression composée de la même partie périodique, en retranchant ces deux expressions Tune de l’autre, la partie périodique disparaîtrait, et il serait facile d’en déduire la valeur de la fraction périodique proposée.

Pour y parvenir, on désigne par x la valeur de 0,2727 ; on a 100 fois x — 27j2727

I fois X — 0,2727,

Retranchant, on trouve 99 a? = 27. Donca:== — . Pour

convertir une fraction décimale périodique mixte en fraction ordinaire, 011 place successivement la virgule à droite et à gauche de la période; ce qui donne deux nombres composés de la même partie périodique. La différence entre ces nombres ne contenant plus la partie périodique, il est facile d’en déduire la valeur de la fraction proposée.

Par exemple, soit l’expression 8,0136767,.., dans laquelle la période est 67, on a

100000 fois X — 801367,6767...

1000 fois X = 8013,6767...

Retranchant 1000 fois x de 100000 fois x , et observant que les périodes disparaissent, on trouve que

99000 fois a: =: 801867 — Soi 3 D’où .r = 801867 — 801 3

ARITHMÉTIQUE. -fl

La comparaison de cette valeur deo: avec le nombre 8,0136767 conduit à la règle suivante. Pour convertir une fraction décimale périodique mixte en fraction ordinaire , transportez successivement la vii’gule à droite et à gauche de la première période.

La différence entre les parties entières des nombres décimaux qui en résultent exprime le numérateur de la fraction demandée. Pour former le dénominateur, prenez un nombre composé d’autant de 9 qu’il y a déchiffrés dans la période, et mettez autant de zéros à la droite de ce nombre qu’il y a de chiffres entre la virgule et la première période.

Quand le dénominateur n’élant pas l’unité suivie de plusieurs zéros, ne contient que les facteurs 2 et 5 de la base 10, la fraction peut toujours s’exprimer exactement en décimales.

Quand le dénominateur d’une fraction ordinaire contient d’autres facteurs que 2 et 5 , la fraction ne peut pas se réduire exactement en décimales, et le quotient qui se prolonge indéfiniment est périodique.

Cela résulte de ce qui a été exposé précédemment.