DES FRACTIONS ORDINAIRES. DES FRACTIONS DECIMALES
§ FRACTIOîfS ORDINAIRES,
Nous avons vu que quand la division conduit à un reste qui n’est pas nul, le quotient total n’est pas assignable exactement en nombre entier.
Par exemple le quotient de 2 5 par 7 étant plus grand que 3 et moindre que 4, ne peut tHre exprimé par un nombre entier.
ABITHMÉTIQÜE.
Pour prendre une idée exacte de ce quotient, on observe que 2 S étant égal à 21 plus 4 , on obtiendra le quotient de 25 par 7 en réunissant celui de 21 par 7 à celui de 4 par 7. Or le quotient de 21 par 7 est 3; il reste donc à diviser 4 par 7» Pour évaluer ce dernier quotient, on conçoit runilé divisée en 7 parties égales ; chacune de ces parties exprime le quotient de 1 par 7, puisque Tune d’elles prise 7 fois donne le dividende i; mais 4 est égal à i plus i plus i plus i ; on obtiendra donc le quotient de 4 par 7 en prenant 4 fois le septième de t , de sorte que le septième de 4 est la même chose que 4 lois le septième de I. Ajoutant les deux quotients partiels de 21 par 7 et de 4 par 7 , on voit que le quotient total de 20 par 7 est formé de 3 unités, plu? de 4 des 7 parties égales dont on peut concevoir Puni té composée.
La partie qu’on ajoute aux unités du quotient, étant toujours moindre que runilé, a reçu le nom de fraction.
Pour écrire la fraction qui exprime le quotient du dernier reste par le diviseur, on place le diviseur sous ce reste et on sépare ces deux nombres par un trait; ainsi le quotient de 25 par
7 est 3 plus ou simplement 3 Pour énoncer les Iractions,
on donne des noms particuliers aux di\ erses subdivisions de l’unité, et lorsque Tumté est divisée en 2,3,4 parties égales, chacune de ces parties est appelée un demi, un tiers, un quart. Quand ruiiité est divisée en plus de 4 parties égales, on forme le nom de chaque partie en ajoutant la terminaison ième au mot qui désigne le nombre de ces parties.
Comme dans une fraction le nombre inférieur sert à dénommer l’espèce des parties qui entrent dans la fraction, et comme le nombre supérieur en désigne le nombre, le premier s’appelle dénominateur, l’autre numérateur. Le numérateur et le dénomi-
nateur sont les deux termes de la fraction. Ainsi — s’enonce
trois quarts; — s’énonce sept huitièmes; 3 et 7 sont les numéra-
leurs, 4 et 8 les dénominateurs.
Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie ou quand on divise ses deux parties par un même nombre. Cela est évident.
Pour réduire plusieurs fractions au même dénominateur, sans
Arithmétique, g..
cl.augor leur valeiu-, il suffit de multiplier les deux te.m.c t
chacune déliés par le produit des dénLina.eurs de to «Tes £ autres. Cela est aussi évident. toutes tes
Pour compar, r entre elles les grandeurs de plusieurs fractions il sulfit de les réduire au même dénominateur. “at-tions,
Ou dit qu’une fraction est iriéductihle anaiiil eîl»
réduire en une forme plus simple, e’est-à-dire quand elh ne
TsTi t*d ^ exactement par aucune fraction équivalente
d\ant des termes respectivement moindres. ^ ^‘ente,
^ Il suit de celte définition que les deux termes d’nno r .• irréductible n’ont jamais de facteur commun ^
ded"L^^:‘d:rre!Sï;m
L’addition de pUrurl CtffillsÎSe dr"™ fectue en formant la somme des numérateurs dépinateur à cette somme celui des fractions proposes"'
La soustraction de deux fractions de et • fectue eu prenant la différence entre les lectant du dénominateur commun.
teur et on opéré comme on vient de l’indiciuer e«omina-
La multiplication des fractions présente deui cas-
sidérer la multiplication comme une P’u® «•"-
gcneraliser le sens attaché au moi multiplier ’
avec un nombre co.mn nommé mnltip Vandè T’
'• J, pl„.
est le produit des numérateuT dcT fScdo.-s'^°''‘ le dénominateur est le nrnZi proposées, et dont
fractions. ^ ^ ^ t^enommateurs des premières
ARlTHMETKi^K*
En effet, soit proposé de multiplier - par - ;
le multiplica-
teur ^ étant composé de 4 fois la cinquième paitie de l unité,
le produit de - par - sera composé de 4 fois la cinquième par- 3 3
lie de - ; or on obtient le cinquième de - en divisant - par 5 ,
et les raisonnements précédents démontrent que le quotient est
— ^ — ; on obtiendra donc 4 fois la cinquième partie de - ou 3X5
les - de - en répétant 4 fois la fraction r—
duit, comme on vient de le voir, à multiplier le numérateur par 4‘
Le produit de - par j est donc
Pour multiplier 7 par - , il suffit de prendre les j ^0 7 >
SI
de
7 est — , les — de 7 valent donc 4 fois ~ 5 5
ou
Otiand il s’agit de faire le produit de nombres entiers et de fractions , on peut appliquer la règle précédente , en les nombres entiers comme les numérateurs de iractions, ajant pour dénominateurs l’unité; mais il est jdus simple dans la pratique d’effectuer d’abord le produit des fractions, et de le multiplier ensuite par le produit des nombres entiers.
Le produit de plusieurs fractions conserve sa valeur dans quelque ordre qu’on effectue la multiplication, car le numérateur et le dénominateur étant des nombres entiers, le produit du numérateur sera le même ainsi que celui du dénominateur, e ces produits sont les deux termes de la fraction qui exprime le produit des fractions proposées.
Selon que le multiplicateur est plus grand ou est P’»* Pe“‘ que le reste , le produit est plus grand ou est plus petit que
‘"'Qu'àndk dividende est une fraction , et le diviseur un nom-
Lre entier, le quotient s’obtient en multipliant le dénominateur ou en divisant le numérateur par ce nombre entier.
Quand le dividende étant un nombre entier ou une fraction, le diviseur est une fraction , on obtient le quotient en multipliant le dividende par la fraction diviseur renversée.'
On en déduit que pour diviser l’une par l’autre deux fractions de même dénominateur, il suffit de diviser le numérateur de la première par celui de la seconde.
Pour transformer un nombre entier en une fraction qui ait un dénominateur donné , on multiplie le nombre entier par le dénominateur; le produit exprime le numérateur de la fraction demandée.
Pour trouver les unités contenues dans un nombre fractionnaire, on effectue la division du numérateur par le dénomina- * leur.
