I. DES PUISSANCES ET DES RACINES DES NOMBRES

Le produit d’un nombre par lui-même se nomme le carré de ce nombre; et le nombre qui, multiplié }iar- lui-même , fournit un nombre donné, est la racine carrée du nombre donné.

Ainsi, le carré de 7 est le produit 49 de 7 par 7, et la racine carrée de 49 est 7.

Pour indiquer le carré d’un nombre, on place le chiffre 2 à sa droite et un peu au-dessus ; on désigne la racine carrée d’un nombre en mettant ce nombre sous le signe . Ainsi 7^

indique le carré de 7, et 49 désigne la racine carrée de 49.

Les carrés des nombres i, lo, loo, etc., étant i, 100, 10000, etc.; les nombres compris entre i et 100 , entre 100 et 10000, etc. , ont leurs racines comprises entrer et 10, entre 10 et 100, etc., par conséquent, quand le carré d’un nombre entier n’a pas plus

de (leux chiffrés, la racine carrée de ce carré n’a qu’ii|i chiffre ; quand le carré reuftTme Irois ou quatre chiffres, la racine carrée en a deux , et ainsi de suite.

De la racine carrée des nombres entiers.

Les carrés des nombres d’un seul chiffre étant moindres que 100 , ou revient de ces carrés à leurs i-aciues carrées, en faisant les carrés des 9 premiers nombres, et eu voyant entru ies(piels le nombre donné est jdacé.

Pour extraire la racine carrée d’un nombre entier plus gi aud que 100, nous chercheroîjs d’abord comment les parties de la racine entrent dans le carré faisant îe carré de 64.

£6 unités, carré de 4 unités.

itv diz. , produit des 6 diz. par les 4 unités.

24 diz., produit des 6 diz. par les 4 unités.

36 cent. , carré des 6 dizaines.

4096 unités, carré de 64.

La même décomposition pourrait s'appliquer é tant nombre. On voit que le carré d’un nombre composé de dizaines et d’unités contient trois parties, savoir : le carré des dizaines, le double des dizaines multiplié par les imités et le carié des unités.

Nous allons voir comment on peut revenir du carré d’un nombre entier quelconque à la racine de ce carré.

Soit à extraire la racine carrée de 409^ j on d.ispose Je calcul de la manière suivante :

et l'on dit : le carré de ro vaut ioq ^ le eavi’é des dizaines de îa racine ne peut se trouver que dans les 40 centaines de 4(^96. Ou séjiare par uii point les deux premiers çlnfires à droite de 4Q.9fi* 40 topibanl entre 6'^ et 7 ’ , je dis que 6 est ie chiffre des lii-

Carré. . 4096

i*'^' reste . . 496

2® reste . . 0

AiUTMiMiîTIQüE.

zaiiu's de la racine. En effet, 40 étant plus grand (pie 6^ , les 4ü centaines de 409C expiinienl un nombre plus grand que (i’ cciita’iies; donc, si fon ajoute g6 unités à 40 centaines, la somme 3096 sera néce'Saircmenl plus grande (jue 62 centaines. D'ailleurs, 40 est moindre (jue 7=*; tt l’excès de 72 sur 40 ne saurait être moindre qu’une unité ; par conséquent 40 centaines exprime un ncmlire moindie que 7* centaines, et l’excès de 7^ centaines sur 40 ceutaincs ne saurait être moindre qu’une centaine. Ajoutant donc le nombre gd ,*qui est moindre (pi’une centaine, la somme 4096 sera nécessairement moindre que 7® centaines. Le nombre 4<^9d est donc compris entre 6^ centaines et 7* centaines, c’est-à-dire entre les carrés de 6 dizaines et de 7 dizaines; la racine carrée de 4096 est donc comprise entre 6 et 7 dizaines; elle est donc composée de 6 dizaines et d'nii certain nombre d’unités moindre que 10. Pour obtenir ces unités, on retranche de 4096 le carré 36 centaines des 6 dizaines de la racine ; le reste 496 ne renferme plus que le double de 6 dizaines de la racine , multiplié par les unités cl le carré des imités. Le double des dizaines multiplié par les unités , exprimant des dizaines, ne peut le trouver que dans. les 49 dizaines du reste 49.6. ( On sépare par un point le premier chiffre à droite du reste 9). Ces 49 dizaines conliennent en outre les dizaines qui peuvent provenir du carré des unités; divisant donc 49 par i-i (double des dizaines de la racine), les 4 unités du (piütienl expriment le chiffre des unités de la racine, ou un chiffre trop fort. Pour essayer le chiffre 4 , on pourrait ôter (64)2 de 4096; le reste zéro indiquerait que 64 est la racine demandée; mais on parvient plus simplement au même résultat en observant que le re.ite 49^ étant composé du double des 6 dizaines, multiplié par les 4 unités et du carré des 4 unités, il suffit de calculer la somme de ces deux parties et de l’ôter de 496. A ect elfcl, on écrit le chiffre 4 des unités à la droite de 12 (double du nombre des dizaines de la racine), ce qui donne 124. On multiplie 124 par 4; le résultat exprime la somme demandée. Puitranchant 4 fois 124 de 496, le reste zéro indique que 64 est la racine exacte de 4096.

Le raisonnement qui a servi à déterminer les dizaines de la racine étant apjjlicable à un nombi'e qiieiconqiic , on en conclut que la racine (‘arrée du plus grand carré contenu dans les centaines d un nonibre quelconque, détermine toujours les diiaiues de la racine carrée (le ce nombre.

48 AIUTHMÉTIQÜE.

Si le nombre proposé renferme plus de 4 chiffres, en se laissant conduire par l’analogie , on voit qu'il faudra le diviser en tranches de deux chiffres, «à partir de la droite, et qu’il faudra chercher le plus grand carré contenu dans la dernière tranche à gauche. La racine de ce jilus grand carré exprimera la valeur du premier chiffre à gauche de la racine.

Le second chiffre , à partir de la gauche à la racine , devra être tel, que le carré du nombre formé par ces deux chiffres soit le plus grand carré contenu dans les deux dernières colonnes de gauche, et on trouvera ce second chiffre jîar la méthode indiquée pour les nombres ne renfermant que deux tranches ; c’est-à-dire que, dans le nombre proposé, on négligera tous les chiffres , à l’exception de ceux contenus dans les deux tranches de gauche.

Le troisième chiffre de la racine devra être tel, que le carré du nombre qu’il donne avec les deux autres soit le plus grand carré contenu dans les trois tranches du nombre proposé.

Prenons pour exemple le nombre 421201 ; il faudra disposer le calcul de la manière suivante ;

Carré

i®*" reste

reste

3*^ reste o

Le calcul peut s’énoncer ainsi : le plus grand carré contenu dans 4 a est 36, dont la racine est 6. 6 est donc le premier chiffre de gauche de la racine.

42,12 contient le carré de 64 ; nous avons démontré que le plus giand carié contenu dans 42’, 12 ne peut dépasser celui de 64. Or, le carré de 64 est égal à 36 ceutaines plus 4 fois 12 dizaines ou 4^ dizaines plus 16 unités.

Si donc ou retranche 36 centaines de 42,12, le reste 61,2 devrait renfermer 4 fois les 12 dizaines plus des unités; nous plaçons donc une virgule avant le chiffre 2 et nous divisons 61 par 12, nous trouvons 6 qui est un nombre trop fort. Car, en faisant le produit de i25 par 5, le produit 625 ne peut se re-

ÀRIXHMÉïIQLÈ. '

trancher de 6 j.2, nous essayons alors 4 qui, pouvant se retrancher, est un chiffre exact. Le produit 496 peut se retrancher de 612, le reste est 116, ou ahaisse les deux chiffres restants 01 Ce reste doit évidemment contenir, le douhie produit de 64" dizaines par 9; on fait la division par le double de 64 ou 128 et on essaie le chilire 9 en vérifiant si le produit 1289 par

La™' ‘este «ro indique que 9 est

Quand ta racine carrée d’un nombre entier tombe entre deux nombres entiers consécutifs, cette racine, quoiqu’elle existe ne saurait cire exprimée exactement par aucun nombre. En effet SI un nombre pouvait exprimer cette racine, ce nombre serait décimal ou fractionnaire, et en le convertissant en fraction irréductible, le carré de celte fraction irréductible devrait être un nombre entier, ce qui n’est pas possible.

On appelle incommensurables les quantités qui n’ont pas de commune mesure avec runité. ^

Pour extraire la racine carrée d'un nombre entier quelconque, on opéré comme si ce nombre était un carré. Quand le dernier reste, qui correspond au chiffre des unités de la racine, n’est pas zéro, la racine cherchée est incommensurable et le nombre obtenu a la racine carrée exprime la racine du plus qrand carré contenu dans le nombre proposé.

Si l’on conçoit qu’un nombre soit décomposé en deux parties quelconques, et SI l’on multiplie la somme de ces pai lies par ellenienic, on verra que le carré d une somme formée de deux parties est, composée du carré de la première partie, du double de la rremiere partie multipliée parla deuxième, et du carré de la deuxième partie.

Quand le reste qui correspond à la racine obtenue n’est pas moindre que le double de celte racine, augmentée de i, la racine obtenue est trop petite au moins d’une unité; et quand le reste est moindre que le double de la racine obtenue augmentée de un, celte racine ne pmi être augmentée de nn.

Le carré d’une fi action est le produit d’une fraction par elleniéine et par consé(|uenl égale au carré du numérateur divisé par telin du dénominatenr. ^

Donc pour extraire la racine carrée d’une fraction , il suffit d extraire séparément la racine carrée du numérateur et celle clu dénominateur.

Ou peut ramener le calcul à exlraire la racine carrée d’un

50 ÂHITHMKTiyÜÉ.

seul nombs’o, ou mulîipÜaut d’abord les deux ternies de la fraction

par son dénoiîiinafeiir.

Pour trouver la racine carrée d’un nombre quelconque à moins d’une uuité décuiialc d un ordre délernûno , on prépare ce nombre de manière qn’il conlieniie le double du nombre des décimales demandées; ou fait abstraction de la virirule, on calcule la plus petite va’enr entière approchée de la racine de ce dernier nombre, et i on séuvare à la droite de cette racine le nombre de déennaies necessaire à rapproximaîioii demandée.

^ H. DES CUBES ET DE LA RÀCIKE CUEIQÜE DES NOSîBRES ENTIERS.

Le produit de trois bietenrs égaux à un nombre donnée est ce • qu’on nomme le cube de ce nombre; et le nombre qui, pris trois lois comme facteur , détermine un nombre donné, est la racine cubique du nombre donné.

Pour indiquer le cube d’un nombre, on place le chiffre 3 à sa droite et un peu au-dessus. On désigne la racine cubique d’uii

nombre en mettant ce nombre sous le signe ^ — .

Les cubes des nombres i, lo, loo, etc., étant i, tooo, ïoooo , etc., les nombres compris entre r et looo , entre looo et loooooo, etc., ont leurs racines cubiques comprises entre r et lo', entre lo et loo, etc. Far conséquent,

Quand le cube d’un nombre entier ii’a pas plus de 3 chiffres, la racine cubique de ce cube n’a qu’au seul chiffre; quand le cube renferme 4, 5 ou 6 chiffres, la racine cubique en a deux et

ainsi de suite.

Les cubes des nombres d’un seul chiffre étant moindres que 10^ ou que looo, on revient de ces cubes à leurs racines cubiques en fesisant usage de la table suivante :

Racine cubique i, 2, 3, 4» 5, 6, 7, 8, 9.

Cubes ï, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 5i2, 729.

Pour extraire la racine cubique d'un nombre entier plus grand que 1000, Oïl remarque que le cube d’un nomlire composé de dizaines et d’unités contient 4 parties, savoir: le cube des dizaines, le produit de trois fois le carré des- dizaines par les uniiés, trois fois le carré des unités par les dizaines et le cube des unités.- Ces 4 parties expriment respectivement des mille, des centaines, dos dizaines et des unités.

Ainsi le cube de 64 est composé du cube 216 mille des 6

AraTHMihimm .

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lOphe par les 4 mules ou de 4^2 eeutaiiies, de 3 fois les 6 d Miijesmullip hees par le carré des 4 .miles ou de 288 diraines e enfla du c.dre 64 des 4 .miles ; la .somme 202,44“ V

oerndéco'"’""" le cube de 649, on

eiil ,1 8® nombre en G4 dizaines plus 9 iinilcs et le

tinl.^ ° 1 ^ eeiiiaiuc.s d. s 64 dizaines mu(-

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jzames et du cube 720 des 9 umtés ; la somme 2733594 40 de ces 4 parties est le cube de O49. a . >9 «c

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