BE DE

; donc leur B D

différeiic

ou

:ic(

2 2 2 Donc tout angle inscrit a pour mesure la moitié de l’arc com pris entre ses côtés.

«JliOJIKTUUî,

Il r.^sulle de la que tout angle inscrit B A C (fig. 5\) dans un denn-cercle, est un angle droit; car il a pour mesure le quart de lacn coutereuce. S. on inscrit ,.lusicurs angles dans un même serment, tous cesaugies sont égat.x comme ayant même mesure.

L angle B A C fig. 55), formé par une langenle et une corde, a pour mesure la moitié de l’arc A MC; car si au point A on meneled.ametre A E. l’angle BAE est droit et a pour mesure la moitié de la demi-circonférence A M E, et l’angle EAC a E C

pour mesure--—, donc BAC a pour mesure la moitié de l’arc

AMG. On ferait voir de même que l’angle CAD a pour mesure la moiiie de l arc A G. ^

Quand ou connaît la mesure des angles, il est facile de résoudre le problème suivant :

Problème. Sur une droite donnée A B, décrire un seyinent capable d’un angle donné C (fig. 5t)j.

^.Te prolonge AB vers D; au point B je fais un angle DBE Au point B j’éieve la perpeiijiciilaiie Bü à BE‘ et sur le milieu de AB j’élève une per(peiidiciilaire FM ; du imiiit de reiicimlre I comme centre, et du rayon I B , je décris un cercle, elle segmeul AK Best le segment demandé ; c’est-à-dire tel que tous les angles AS B, A G B, etc,, qui y soin imerits, sont égaux t donne C;car ils ont pour mesure la moitié de l’arc

A P B ; mais I angle A B Q, ou son égal D B E, a aussi celte mesure, et comme 1 angle D BE = C , il s’ensuit que i’augle Cala meme mesure; donc tous les angles inscrits dans le .segment AKB sont égaux a I angle G. ®

Problème. Mener une tangente à un cercle par un l)Oint A extérieur (fig. 57).

.Soit A le point donné, on joint CA, et sur CA comme dia-

r, , V?- '■"■''«"'■éfcnce qui coupe le cercle donné en

M et A En joignant AM et AN, on aura deux tangentes qui sa-

-m'a I®" m'‘"«"sf''Met CN, les angles

w A, t, A A, seront droilscomme inscrits dans une demi-circonrésulté que GM est per()eridiciilaire à AM et C N ' . . Or, nous savons que la propriété de la laugeute est d’êire

du rayon ; donc AM. et A N sont

éé

LÎYRE IL

Mesure des surfaces et relations qui existent entre les figures semblables.

' Proposition I. — Les parallélogrammes qui ont des bases égales et des hauteurs égales^ sont équivalents.

Soient A B C E, (fig. 5S), A B D F deux parallélogrammes qui jouissent de la propriété énoncée; les tnangles B D C, A E fi, sont égaux car B C== A E et BD = A F, comme côtés opposés de mêmes parallélogrammes, et en oulreDC = EC ED et FE=FD — E D; donc à cause de F D = E C, on aura E C — ED=FD — ED, ouDC = FE; les triangles AF E, B DG, sont donc égaux comme ayant les trois côtés égaux. Mais si de là figure totale AB CF on retranche le triangle B (« D, il rosic le parallélogramme ABDF ; et si de celte même figure on retranche le triangle AFE, il reste le parai lélograiimic AB CE; donc les deux parallélogrammes ABDF , AB C E, qui ont même base AB et même hauteur, sont équivalents.

Il résulte de là que tout parallélogramme ABCD (fig. ^g) est équivalent au rectangle ABEfi' qui a même base et même hauteur; un parallélogramme quelconque peut donc être converti en un rectangle équivalent.

Le triangle ABD (fig. 6o) est la moitié du parallélogramme ABCD; il est donc aussi égal à la moitié du rectangle ABM N. Tous les triangles qui ont des bases égales et des hauteurs égales sont donc équivalents.

Nous voyons par là que si nous pouvons trouver la surface du rectangle, il sera facile d’en déduire celle du parallélogramme et du triangle.

Proposition II. — Deux rectangles quelconques ABC D, A E F D, qui ont même hauteur A D, sottü eus cumme leurs buses A B , A E.

GÉOMKTlllE

Tl peut se présenter deux cas: ou bien les bases A R, AE onl unecommune mesure, ou ejlesn’eu ont pas; supposons le premier cas, et admettons que les bases soient entre elles comme les nombres 5 et 3; je divise A B eu o parties égales, et A F en 3 parties égalés. A chaque point de division jelève une perpendiculaire a la ba«^e; je forme ainsi 5 rectangles égaux entre eux dans ^ ï'ectangle A R C D et 3 dans le jietit. Donc on a ABCD

; 5 : 3 ; ou bienpuisffue Ion a déjà AB : A E •• 5 •

3, il en résulte A B G D ; A E F D ; : A B : A Ê. ' * * *

‘ Si les bases sont incommensurables on raisonne comme on Ta lait dans la proposition XIV du livre P»* (fig. 62) Ainsi en appel iant R et R' deux rectangles qui ont meme hauteur H et dont les hases sont B et B', on a toniours R : R' *• B • B' le meme raisonnement prouve que les surfaces de deux reetanirles de meme base sont entre elles comme leurs hauteurs.

Il résulte de ee qui vient desre dit, que si nous avons deux rec ang.es quelconques R et r, dont les hauteins sont H et /^ et les bases B et on aura toujours la proportion R : r •• B X

En effet, concevons un troisième rectangle R' qui auroit pour Hauteur, la hauteur H dti premier, et pour base, la base b du second; ou aura évidemment R : R' B : h, puisque deux rectangles qui ont même hauteur sont entre eux comme leurs Bases; mais on aura aussi B' : r :: H : h, puisque deux réel tangles qui ont même hase sont entre eux comme leurs hauteurs. Eu multipliant ces deux proportions l’une par l’autre et ihvisant les deu.Y premiers termes par R', il viendra R ; r :: R • ^ X ce qtii veut dire que deux rectangles quelcoii- <|ues sont entre eu.v comme les produits de. leurs bases par leurs Hauteurs. AtusHe rapport des deu.v rectangles R et /• peut se

remplacer par — Or, si nous prenons pour unité de rectangle eeliii dont la hauteur est égale à ruiiüé de longueur et la ase aussi , ou aura é X é = i x i, et par suite R = R x H. ne reelangle a donc pour me.sure le produit de sa base par sa laiitcur. 1,0 surface du parallélogiamme et du triangle s’en déduit cj ornent d cqirès ce ijui a été dit dans la [iropositiou I,

O II a\oir laired un parallélogramme, on mesure la hauteur AK eton multiplie le nombre d’unités de longueur contenues dans A H par le nombre d’imilés contenues dans la base C D.

Pour avoir la mesure du trapèze ABCD ( fig. 64), on

GÉOMKTRIK.

le partage en deux triangles par la diagonale A C. Chaomi des triangles A R D, A C D, a pour mesure le produit de la base par la moitié de la hauteur^ ce qui donne pour Taire du Ira-