DÉFINITIONS

lia géométrie est ime science qnl a pour objet la mesure de détendue.

L^étendue a trois dimensions : longiieiir, largeur et hauteur ou épaisseur.

La ligne est une longueur san.s largeur. Il y a deux t spècc.s de ligues : les lignes droites et le.s lignes courbes.

Une surface est ce qui a longueur et largeur, sans hauteur. Il faut distinguer les surfaces planes et les surfaces eour}3es. La siufacp plane ou l.e plan est une surface dans laquelle , prenant points à volonté et joignant ces deux paiuts par une ligue drqite, cette ligne est tout entière dans la sm face. Telle est une Ijjbjc bien dressée , etc,, etc.

La surface courbe, au contraire^ est telle ('iie, si on y choisit deux points quelconques, et qu’on joigne ces deux pojnts pap une ligne droite, cette ligne ne se tipuve pas topt eutièp daus la surface. ^

Un solide ou corps est ce qui réunit les trois dimensions de l’étendue. On connaît des solides termLiié.ç par des surfaces plapes, et d’autres par des surfaces courbes.

Lorsque deux lignes droites (fig. r) AB, A C, se rencontrent, la quaiililé plus ou moins grande dont Oies sont écartées Bune de Tautre s’appelle angle; je ppiiit A où elles sc rencontrent est le sommet de l’angle.

Les angles peuvent être plus ou uîoit'S grands; si une ligne A B (fig. 1 ) en rencontre une aiilrc C D , de telle sorte que les quatre angles adjacents A CD, B C I), soient égaux entre eux,i chacun de ces angles s’appelle un angle droit, et les deux lignes: sont alors appelées perpendiculaires entre elles. !

GÉOMÉTRIE. 71

toul ai'tgïé plus pûtilqu’im ani,^Ié droit est dit aigu; tout angle plus grand est appelé ol^lus. ^

On dit (prune ligue est oblique par rapport à une autre, ehaqùé fois que c('s deux lignes ne font pas entre elles un angle droit.

ünê figure plane est ûii plan terminé de toutes parts par des lignes; si les lignes sont droites, l’espace qu’elles renferment s'appelle polygone, et l’eiiseinble des lignes forme le périmètre du polygone.

I.c li jaiigic est nn polygone de trois côtés. Il est appelé éqùi. latéfal, isocèle on sealéne, qtiand il a trois côtés égaux, ou deux senhunent, on trois inégaux.

tn Inangle rectangle est celui qui a un angle cfroit, et le coté Oppoîé à éet angle s’appelic liypôthénuse.

La circonférence du cercle est une ligne courbe dont tous les points sont également distants d’un point intérieur (ju’on appèife centre. Le cerclé est la surface terminée par cette li^ne courbe. Le rayon est une ligne droite qui va du centre à la circonférence, et le diamètre est une droite quelconque qui passe par le centre, et qui se termine à la circonférence; dapiè.s cela, il est aisé de voir que le diamètre vaut deux lois le rayon , et que tous lès ràyons sont égaux , ainsi que les diamètres, pour\u (pi ils appartiennent à un même cercle. L’arc est une portion de la circoniérence ; la corde est la li'mê droite qui joint les deux exirémités de lare. Le segment est la portion du cercle compiise entre l’arc et la corde.

Le secteur est ht partie du cercle comprise entré un arc rfig. 3) 1) E, et les deux rayons C D et C E, menés aux exlrémites decet arc. L'angle DC E est dit un angle au centre. L’an-!c dont le sommet repose sur la circonférence est appelé aiHe inscrit, tel est l’angle (fig. 4) A B C. Si on joint A C , on obtient un triangle inscrit. Il y a des figures inscrites d’im nombre quelconque de côtés. *

La tanpite est une ligne qui n’a qn’un point de comtann avec h circonférence; telle est Mr^,qni est tangente en A

Ou (lit (pie deux ligures sont équivalentes lorscjne leurs surfaces sont égfdes; aiirsi un carré peut être équivalent à un Iriailgicon a un polygone de quatre, cinq, etc., côtés. Ou dit que deux figures sontégales lorsqnctant placées Tuiie sur l’autre, elles coïncident dans toute leur étendue. Tels sont deux cercles d. rayons égaux.

Deux polygones sont semblables, lorsqu’ils ont les angles égaux chacun à chacun, elles côtés homologues proportionnels; par côtés homologues, on entend ceux qui ont la même position dans les deux figures, ou qui sont adjacents à des an .les égaux. Deux figures égales sont toujours sembigibîes , mais deux figures semblables peuvent être fort inégales.

Dans deux cercles différent.s, on appelle arcs semblables, secteurs, segments semblables, ceux qui répondent à des angles au centre égaux (fig. 6).

Ainsi l'angle A étant égal à l’angle O , l’arc B G est semblable à l’arc D E, le secteur BAG au secteur D O E.

Deux lignes sont parallèles lorsqu’étant situées dans le même plan, elles ne peuvent se rencontrer à quelque distance qu’on les prolonge.

On donne aux polygones différents noms suivant leur forme: ainsi on appelle trapèze un quadrilatère dans lequel deux côtés sont parallèles : tel est A B G D (fig. 7 ).

Le carré est un polygone qui a ses côtés égaux et ses angles droits: telle est la figure A B G D (fig, 8),

Le rectangle celui qui a les angles droits sans avoir tous ses côtés égaux, comme D E F K (fig. 9).

Le parallélogramme ou rhombe celui qui a les côtés opposés parallèles, comme G H I L (fig. 10).

Le losange celui qin a ses côtés égaux sans avoir ses angles droits, comme D E F S (fig. ii).

La diagonale e.st la ligne (jui joint les sommets de deux angles non adjacents dans un polygone quelcontpie.

Ou dit qn’tin polygone est régulier lorsqu’il a, à la fois, les côtés égaux et les angles égaux : tel est l’hexagone A B C D E F (fig. 12).

On appelle axiome une proposition évidente par elle-même. Telles sont les siiivante.s: deux (juantités égales à une tioisième sont égales entre elles. Le tout est pins grand que sa partie.

D’im point à un autre , on ne peut mener qu’une seule ligne droite.

GÉOMÉTRIE

LIYRE PREMIER.

De la ligne droite et du cercle.

Proposition 1. — Tous les angles droits sont égaux entre eux.

Soit la ligne CD (fig. i3) perpendiculaire à AB, et G H à E F ; je dis que les angles A G D, E G H, seront éj^aux entre eux.

Eu effet, si on prend les quatre di-taiiees A C, G B, E G, G F , égales , on ()Ourra p'acer E F sur A B de manière que le point E (oriibe en A, et le point F en B; ces deux lignes coïncideront; donc le point G, milieu de E F, tombera sur le point C, milieu de A B. Le (ôté G E étant ainsi appliqué sur G A , le côté G H tombera sur G D ; car supposons qu’il tombe sur une ligne C O dif.érente de C D ; puisque, par hypothèse, l’angle E Gx H = H G F, il faudrait que l’on eut A C O — O G B; niais l’aug'e A G O est plus grand que A C D; î’angle O C B est jilus petit que I) C B; d’ailleurs, par hypothèse, A C D = B G D; donc A C O est plus grand que O C B ; donc la ligne G H ne peut tomber sur une ligne G O différente de G D ; donc elle tomber sur C D ; donc tous les angles droits sont égaux entre eux.

Proposition II. — Toute ligne droite C D (fig. 14) qui en rencontre une autre A B sous un angle quelconque , fait avec celle-ci deux angles adjacents A C D 5 D CB, dont la somme vaut deux angles droits.

En effet, si au point G on élève sur A B la perpendiculaire C E, celle ligue fera avec A B deux angles, A G E, B C E, qui ieront droits, et la somme de ces deux angles équivaudra à la somme des deux angles A C D, D C B.

Il résulte de là que si un nombre (quelconque de lignes droites concourent d’un même côté en un point O d’une droite A B

GÉOMÉTRIE

(fig. i5), la somme de tous les angles que forment ces lignes sera égale à deux droits.

Proposition III. — Toutes les fois que deux droites A B, G d; se coupent, les angles opposes au sommet sont égaux (üg. 16).

En effet, puisque D C est une ligne droite, la somme des angles A O G , A O D, \aut deux droits ; et puisque A R est droite, la somme des deux angles A O D, DO B, vaut aussi deux droits ; donc AOG -f- AOD==AOD 4- DOB, ou A O G = B O D. On ferait voir de même que A O D == C O B.

La somme des quatre angles qui sont formés autour du point O valent donc ensemble quatre angles droits.

Proposition IV. — Deux triangles, ABC, DEF (fig. 17 ) , sont égaux :

1° Lorsqu’ils ont un angle égal compris entre les côtés égaux ;

2® Lorsqu’ils ont un côté égal adjacent à deux angles égaux chacun à chacun ;

3^ Lorsqu’ils ont les trois côtés égaux chacun à chacun.

Dans les deux premiers cas, l’égalité est manifeste; caries triangles peuvent se placer Tun sur l’autre de manière à coïncider dans toutes leurs parties.

Pour concevoir l’égalité dans le troisième cas, il fai/t faire voit que si le côté B G = E F, il s’ensuit que l’angle A B G== E D F ; car alors les deux triangles retomberont dans le premier cas, et pourront être superposés.

Considérons à cet effet deux triangles, ABC, DEF, dans lesquels on aAB — DE,AG = DF; mais l’angle B A C > EDF (fig. 18).

Portons l’angle EDF dansl’angleB AG de manière à faire tomber D F sur AC; DE viendra se placer suivant A O, et si oh prend A O == D E et qu’on joigne O C, les deux triangles A O C , D E F, seront égaux d’après le premier cas. Mais on a O C ^ O I + Z C ; git a aussi A B < A I + I T» î doue OC + AB<OÏ

céométrie.

-f A I I B + I C , ou O C A B < A O + B C, et en reiuaiquant <|ue A O = A B. il vient O C < B C- or O C = K F : clone F. F <; B C. Si le point O tombait sur B C, on aurait rvc^emment O C < BC. Enfin, si le point O tombait an-dedans

£ F < B (,; car on a : A O + O C < A B + B C; d’où O C < BCen relranoiiant d’une part A O, et de l’autre son égal AB.

raiHe''F'’rp“ r'""!’'’ ''‘‘"S'” ^ A C do.tégaler

an„le F F» F dans les triangles dont nous supposons les côté^

égaux ; car s il était plus grand on plus petit, le côté B C serait

atrssi plus pnd on plus petit que le côté F F ; les deux triangles

sotii üoiio ei^aux. ®

étrsMv ^ '' *' isocèle, les angles opposés aux côtés

icfic m s v tfT' S“'‘A.B=AC, ctD lemilieiideBC;

Joq,ncus A I) les neux triangles A D B, A D C, seront égaux < ouiine a vant les trois côtés égaux, doue l’angle A B D = A C D -

dictï:::.' r-" r ^ "s- ^ d est ptîen:

• I’ '1 1 'I «St «ofin facile de faire voir

qoe SI I angle A B D = A C D , le côté A B = A C

nrr^cf V ‘ ^ O = -A C et joignez D C. L’angle

BC’sCnTev'’''"' à A C B; les deux côtés D B et

serai a'",'"- *^1 ^ B; donc le triangle DBG

an toiil''do '• ® P'>'’''e oe peut être égale

. ’ point d’inéiîalité entre Jes côtés A B et A G

dooc le Ir, angle A B C est isocèle. A B et A G,

eononrîcôr- ‘■'''"’S’® q«el*

n cria, soit CA B > a C B fig. an). Si or. fait l’angle C A D =

A CB, dans le triangle C A D on aura An rsn f^B<BD + ADouAB<Lr mars

d’u^TdmUrrn’ ~ point A (fig. 23) pris hors ,.1^" 1 • ^ totijours mener une infi-

•nenei cp. i,.,,; perpendiculaire à C D. ^

*"Pl’«sons qu’il s’en trouve deux qui lui soient nerpendici; aires, telles rp.e A B, A O. Proloageous l’uTe d’cd s A B d une quantité B K a B, et joignons o'k, les deux triau-

(îÉOxMÉïRïE.

«-les A O B, O B K sont égaux ; il s’en suit que l’angle B O K B O A. L’angie BOA est droit par hypothèse . donc l’angle B O K l’est aussi ; niais si les deux angles adjacents B O A, B O K, valent ensemble deux angles droits , il faut cpie la hgne AO K soit droite; d’où il résulte qu’entre les deux mêmes (loints , A et K, on peut mener deux lignes droites, ce qui est impossible.

On peut mener à droite de A B une ligne A I = A O, il suffit pour cela de prendre B I = B O; les lignes A O, A I sont des obliques égales, on ne peut en mener plus de deux par un

même point . i „

Les obliques sont d’autant plus grandes qu elles sont plus

éloi^néesdupied de la perpendiculaire. AinsiAC>AD (fi

® . » -r. IV ^ . TJ 17 A n

En effet, si on prolonge A B d’une quantité B F — A B et qu on ; joigne CF et F D, les deux triangles A D B, F D B, seront -jj égaux ; donc D F = D A, pareillemenl G F = A C; mais A D + J J) P A G -j- C F, doù 2 A D <( a A G, et enfin A D <( A G. y Ainsi plus elles s'éloignent de la perpendiculaire , plus les obliques deviennent longues; cela fait voir que pour avoir la plus courte distance d’un point à une droite , il faut mener de ce point une perpendiculaire sur la droite. ,

Ce qui précède monlre aussi que si on élève une perpendi-^ culaire C D (fig. ^5) sur le milieu d’uue droite A. B, tout point O de la ligue C D sera également distant des extrémités A et B; car les obliques qui s’écartent également du pied de la perpeii-î diculaire sont égales; mais si on prend un point I G D, on aura évidemment IA > I B, puisque l on a I B<; i J -U O B, qui revient à I B < I A, à cause de O B = O A. ^

Eu pariant de l’égalité des triangles, nous avons omis un cas qui peut se. démontrer maintenant; c’est celui où deux triangles rectangles ont Miypolhénuse égale et un côté égal. Ainsi soit (fier 26) B C — D F et A C = D E. Pour constater 1 égalité, il suffit dej faire voir que A B = E F ; or supposons A B > E F , prenons A O =- E F, et joignons G O; le triangle GAO est égal à D E F, on a donc D F ^CO, et G O =- G B, ceqii. est impos-j sible, puisfiiie C B s’écarte plus de la perpendiculaire que G donc il est faux de supposer A B >E F, il n’est pas pins petil non plus, il lui est donc égal, donc les deux triangles sont égaux,

Proposit'ou VII. —Lorsque deux droites AB, {] D , eu rencontrent une troisième IVl iN

de mamère que rime, CD, soit perpendiculaire

GEOMETRIE

à M N, et que l'autre , A B, ne le soit pas ; les deux lifpies A B, C D, suffi aininent prolongées, se rencoiilrent. ( On peut regarder cette proposition comme évidente.)

En effet, si, à partir du point G, nous portons des distances C H, H O, etc., etc., égales entre elles et à A C, et si aux points H, O, etc., etc., nous élevonsdes perpendiculaires à M N ainsi Cju au point A, nous formerons une suite de bandes verticales égaies entre elles. Mais 1 C'pace LAN est infini, et pour le remplir avec des bandes telles que LA CD, il en faudrait une infinité, ou autrement dit, on ne peut pas avec ces bandes remplir l’espace L A N, quel qu’en soit le nombre.

Si , au contraire, on place l’angle L A B un certain nombre de lois à côté de lui-même, on finit non seulement par remplir l’espace LAN, mais même par le dépasser.

Supposons qu m plaçant l’angle L A B trois fois, par exemple, à côié de lui meme, on remplisse l’espace L A X exactement; on en conclura que trois fois l’espace L A B vaut plus que trois lois la bande L A C D; et, par conséquent, une fois Lespace L AB vaut plus qu’une fois cette bande.

Or, la ligne A Lue peut pas aller à droite de AB, quel que soit le nombre de fois qu'on place A B à côté de lui-même ; il faut doue que A B rencontre C D. On raisonnerait de môme s’il arrivait qu en [lortant L A B un certain nombre de fois à côté delni-rnéme, il ne remplissait pas exactement l’espace LAN. Il siilfirait de le porter une fois de plus, et alors il dépasserait l’espace LAN.

Il résulte de ce théorème, i® que deux lignes parallèles A B, CD . fig. 28) ont une perpendicnlaire commune C F. En effet, SI CD n’etait pas perpendiculaire à E F en même temps que

AB, la ligue CD rencontrerait AB, et elles ne seraient plus parallèles.

2*^ Que par un point O on ne peut mener qu’une seule parallèle a uue hgme MN (fig. 29); car, si du point O j’abaisse une pei pendiciilaire OM sur M N , celte perpendiriilaire devra être perpendicnlaire à tontes les droites parallèles à M N; si donc ou poinait mener deux parallèles à MN par le point O, on pouirait aussi, au point O, mener deux perpendiculaires à une fneme ligne; ce qui est impossible.

GÉOMÉTPJF.

3o Quand (leux parallèles AB, CD (fii;. 3o), sont rencontrées par une sécante KF , cette sécante fait avec les parallèles plusieurs angles. Ceux qui sont du même côté de la sécante, comme AOI, OfC,sonld;ts intérieurs cTiin même côté. Les angles BOI, OID, oui le même nom. Les angles AGI, OID, s’appellent aUernes-internes. Il en est de même des angles BOI, GIC. On appelle internes-externe^ les angles EGB, EID, ou EGA, GIC , et alternes- externe s EGB, GIF, ou AGE, DI F.

Plusieurs des angles dont nous venons de parler sont égaux." En effet, soit T le milieu de G î , de ce point j’abaisse une perpendiculaire V K sur A B , elle sera aussi perpendiculaire gur C D en S. Les triangles K V O, Y I S , sont donc égaux, et il en résulte que l’angle A G I = G I D , c’est-à-dire que les angles alternes-internes sont égaux. Il est facile de voir que les angles intérieurs d’un même côté, comme BOI, OID (fig. 3i ), pris ensemble, valent deux angles droits ; car ou a AGI -|-IOB = 2 droits , et aussi GIC-l-^lf^=^^ droits , et à cause de A O I = G I C , il vient IGB -j-GID = 2 droits. Gn voit aussi que les angles EGB et GID sont égaux, pijisque EOB=AGI, et AOI = GID. Les angles EGB, GID sont appelés corresponüants.

Comme deux lignes parallèles AB, CD, ont une perpendiculaire commune EF, il est évident que ces parallèles sont partout également distantes (fig. Sa): car, si on élève une seconde perpendiculaire IK à CD, elle sera aussi perpendiculaire à AB, et les triangles égaux E F K, K F I, donnent E F = Kl.

Ce qui précède sert aussi à démontrer que les côtés opposés d’un parallélogramme sont égaux , ainsi que les angles opposés; il suffit de mener une diagonale et de comparer les triangles ABC, BCD (fig. 33).

Quand on même deux diagonales dans un parallélogramme, ces diagonales se coupent mutuellement en deux parties égales, c’est-à-dire que D G = G A , et C G = B G ; cela résulte encore de l’égalité des triangles C G A , B G D.

Proposition Vllî. — La somme des trois angles d’un triangle quelconque ABC (fig. 34 ) équivaut à deux angles droits.

En effet, prolongeons la ligne BC; au point C, menoni

nÉo!\rÉrKiE.

C F parallèle au côté AB du triangle, on aura évidemment l’angle A B C = F C K comme correspondant. L’angle B A C = AC F, comme alternes-internes , par rapport à AC. Donc la somme des angles du triangle ABC est égale à la somme des trois angles qui sont antoiir du point C. Ur, celte dernière somme vaut deux angles droits, donc la somme des trois angles (l’nn triangle vaut denx droits. — On voit en même temps que l’angle extérieur ACK =:ABC -j- BAC. Connaissant la \aleur de la somme des angles d'un triangle, il est facile de savoir à quoi est égale la somme des angles d’un polygone quelconque. Supposons qu’il s’agisse du polygone A B C D E fig. 35). Du point A menons les detu diagonales A C, A D ; la somme des angles du polygone est évidemment la même que celle de tous ceux des triangles qu’on a ainsi formés, et la somme de res angles esl toujours égale au nombre des côtés du polygone moins deux. Ici il y a cinq cô'és et trois triangles. Or, la sonime des angles des trois triangles vaut 6 angles droits; donc celle des angles du polygone vaut aussi 6 angles droits. En général, si n esl le nombre des côtés du polygone , /^-2 sera le nombi e des triangles , et 2 («-2) la valeur de la somme des angles du polygone.

Proposition IX. — Dans un cercle quelconque, le diamètre est la plus grande corde.

En effet , si on joint C O et DO, on a évidemment C D ^ D î ou C D A B (fig, 36).

Pi oposition X.. — Dans un meme cercle, ou dans des cercles égaux , les arcs égaux sont sous-tendus par des cordes égales , et réciproquement ces cordes égales sous-tenclent des arcs égaux (fig. 37).

Soient deux cercles dont les rayons AC et E O .«ont égaux. .Si r.nrc A Ri D égala l’arc E N G , la corde A D Sera cg.ale à la corde 1‘, G; en effet, le demi cercle A M D B poiirra cire placé sur le demi-cercle EN GF. de manière à coïncider parfaitement; mais alors l’arc AMD étant égal à lare EN G, le peint D tombera iiir le point G , et , par

*0 (GÉOMÉTRIE

suite , la corde A D sur la corde E G. Si la corde A D— E G, régalilé des triangles A G D , EOG, fait voir quVn les superposant, le rayon CD tombera sur le rayon GG, et le point D sur le point G , et, par suite, l’arc A M D sur Tare E M G.

Proposition XI. — Le rayon CG (fîg. 38), perpendiculaire à la corde A B , divise cette corde et l’arc sous-tendu en deux parties égales.

En effet, joignons G A, C B; ces rayons sont, par rapport à la perpendicMiiaire C D, deux obliques égales; donc elles s’écartent également de la perpendiculaire ; donc A D = D B. A cause de celte égalité on peut dire que C D est une perpendiculaire élevée sur le milieu de AB; donc le point G est à égale distance des extrémités A et B , donc A G = B G ; mais si la corde AG = B G, l’arc A G sera aussi égal à l’arc B G. On voit par là que le centre C; le milieu D de la corde AB, et le milieu G de l'arc sous-tendi: par cette corde sont trois points situés sur une même ligne droite. Il s'ensuit que la perpendiculaire élevée sur le milieu d’une corde passe par le centre et par le milieu de l’arc sous-tendu.

Gette remarque peut servir quand il s’agit de diviser lui angle ou' un arc en deux parties égaies.

S’il faut diviser l’arc AB ^^fig. Sg) en deux parties égales, des points A et B comme centres, et avec un meme rayon , on décrit deux arcs qui le coupent enD; par le point D et le centre G, on tire GD qui coupera i’arc AB en deu» parties égales au point E.

S’il faut diviser en deux parties égales l'angle À C B, an point G comme centre , on décrit l’arc A B et on (ait le reste comme il vient d’etre dit; il est évident que la ligue CD divisera en deux parties égales l’angle A CB.

Deux < ordes égales sont également éloignées du centre.

En efb't, si les cordes Tfig. 40) AB, CD, sont égales , en menant do centre O les perpendicu a res GM, O N, ces perpendiculaires coupent ces coi des en deux parties égales eu M et N ; de sorte que si on mène les rayons A G el GG , les tridogles A G M , CG N, seront égaux ; donc GM = GN.

Si la corde G D >> AB (fig. 41), on peut par ce point G M mener une corde C I~A B; et si du point G on abaisse les perpendiculaires GM, O N, sur CCS cordes, on a GM <^G L el G L<^()N,

doiicOM <OM==^ON. OrON=OG, doiicOM<OG; ce qui veut dire que plus une corde est grande, moins, elle est éloignée du centre.

Deux parallèles AB, DG (fig. 42), interceptent sur la circonférence des arcs égaux A D , B E ; car si on mène le rayon C H perpendiculaire à rime de ces parallèles, elle le sera au-^si à i’auire; donc ce point H sera à la fois le milieu de l'arc A H B et celui de l’arc D H E ; doue A H == B H, et D H = C H, d’où AH — DH = BH — EH ou A D == B E.

Cette propriété des parallèles ne cesserait pas d’avoir lieu , ki Tune d'elles devenait tangente (fig. 42 bis), on aurait toujours H M = H U.

Proposition XII. — Par trois points A, B, G, non en ligne droite , on peut toujours faire passer une circonférence, mais on n’en peut faire passer qu’une (fig. 43).

Joignons A B et B C ; sur le milieu de ces deux droites élevons deux perpendiculaires D E, F G, ces deux perpendiculaires se couperont en un point O; car si elles ne se coupaiem pas, elles seraient parallèles, et alors la ligne A B perpendiculaire à D E le serait également à E G , et l’angle en K serait droit; ce qui est contre l’hypothèse ; donc les deux lignes D E, F G, se couperont en un point O; or, les trois obliques O A, O B, O C, sont égales, donc la circonférence décrite du point O avec une de ces obliques comme rayon , passera par les trois points A, B, G. Il est facile de voir qu’on ne peut mener qu’un seul cercle par les trois points A, B, C. Ainsi il est prouvé qu’on peut toujours faire passer une circonférence par trois points non en ligne droite , et il est clair qu’on ne peut en mener plus d’une , puisque si on pouvait en mener une seconde, elle devrait avoir son centre à la fois sur DE et sur G F, c’est-à-dire à l’intersection de ces deux lignes qui ne peuvent se couper qu’en un seul point.

Quand on veut trouver le centre d’un cercle, ou n’a qu’à prendre trois points A, B, G (fig. 43^/5), sur la circonférence, joindre ces trois points et élever sur le milieu des dioiti*sAB, EC', les perpendiculaires D E, GF, leur point de rencontre O sera le centre du cercle.

Proposition XIII. — La perpendiculaire B D,

(lÉOlMÉTUIK.

(fig. 44), menée à rextrémité du rayon C A, est uue tangente à la circonférence.

Car toute oblique C E est pUis longue que la perpendieulaire CA, doue le point E est hors du cercle; donc la ligne BD n’a ^e le point B ds commun avec la circonférence; donc elle est tangente.

Proposition XIV. — Quand deux circonférences se coupent, la ligne qui passe par leurs centres est perpendiculaire à la corde qui joint les points d’intersection et la divise en deux parties égales.

Car la ligne A B (fig. 45) est une corde convnune aux deux cercles; or, si au milieu de cette corde ou élève uue perpendiculaire, elle doit passer par cliacun des dcuxccnti es C, O ; mais par deux points donnés on ne peut mener qu’une seule ligne droite; donc la ligne CO est perpendiculaire sur le milieu de A B.

Lor>qne la distance des centres de deux cercles est égale à la somme de leurs rayons, ces deux cercles seront tangents extérieurement ; car s’ils avaient deux points communs A et B (fig. 46), enjoignant BC et B O, on aurait CO<^BC -f- B O; or BO serait dans ce cas égal à A O ; donc CO<;^CA-j-A.O, ce qui est absurde.

Si la distance des centres est plus courte que la somme des rayons , et si en meme temps le plus grand rayon est moindre que la somme du plus petit et de la distance des centres, les deux cercles se coupent.

En effet, pour que l’intersection ait lieu, il faut pouvoir construire le triangle CAD (fig. '17); il faut donc que l’on ail CD

C A -’p A D, et A D C b -|- A G. Or, toutes les fois que le triangle CAD pourra èire construit, il est clair que les circonférences décrites des centres C et D, se couperont en A et B.

Si lu distance des centres est égale à la différence des rayons, les deux cercles se toucheut intérieurement (fig. 48). Ils n’ont que le point A de commun ; car si B, par exemple, était un autre point commun, en joignant C B et DB , on aurait C B <[ CD DB, ou à cause de CB = CA et DB = DA, on aurait CA

CA, ce qui est absurde.

UliOMÉTlUK.

Proposition XV . — Si dans deux cercles égaux on fait deux angles au centre A C B, D C E, égaux, ces angles intercepteront sur la circonférence des ’arcs égaux A B, D E (fig. 49).

Ed effet, en plaçant ces angles l’un sur l’autre, de manière à ftire coïncider le point A avec le point D, et le point B avec le point E;l arc ABcoincidera avec l’arc DE. Réciproquement, si l’on s'iinpose larcAF> = DE, l’angle A CB sera égal à l'angle DCE; car, SI ces ançles ne sont pas égaux, soit ACB le plus grand, et soit ACO=UCE, ou aura A O = D E; mais DE = À B, doucAO serait égal à A B, ce ipiiest impossible; donc l angle A CB— DCE. Ce qui vient d’élre dit va lions servir à démontrer que si, dans un meiiie cei'cle, ou dans des cercles égaux, les angles au centre AUB, DCE(lig. 5o),suut entre eux comme deux nombres entiers, les arcs interceptés AB et DE, seront entre eux comme ces memes nombres entiers.

Supposons, par exemple, que les angles ACB, DCE, soient entre eux comme 5 est à 3;ou si on veut, qu’un certain angle ^.it contenu 5 fois dans l’angle ACB, et 3 fois dans l’angle nCE ; les angles partiels ACX, XCY , etc., D C V, etc., étant égaux entre eux, les arcs A X, X Y, etc., D V, etc. sont aussi égaux entre eux, etc., donc ou aura arc AB : arcD E : : 5 ; 3 ; or, il est évident que le même raisonnement aurait lieu si, à la place e 5 et 3 , on avait deux nombres quelconques /« et n. Donc St le rapport des angles ACB, DCE, peut être exprimé en nombres entiers, les arcs A B, DE, seront entre eux comme les angles ACB, DCE.

T.e rapport dont nous venons de parler existe encore quand meme celui des angles est exprimé par un nombre incommensurable ; c est-à-dire, qu’on a toujours ACB : D CE :: AB ; DE.

Supposons le plus petit angle placé dans le plus grand ((i‘^ 5i)silapr posifioii énoncée u’a pas lieu, langle ACB sera à l’angle -’VCD comme lare AB e.st à un arc plus grand ou plus petit quo A D ; supposons cet arc plus grand, el représentons-le par A O nousanronsACB : ACD AB : AO; imaginons maintenant que arc AB soit divisé en parties égales, dont chacune soit plus petite que DO; il y aura au moins nn point de division entre et O ; soit I ce point de division. Joignons CI ; les arcs AB , If, seront entre cuj^ çomoie deux nombres entiers, et on aura

GKOMÉJiOE.

** AB : AI. Cellepi'oportion, comparée àA CB : aS" ABÏAO.donne ACD : AGI :: AO : AI.

cote' proi.müon est absurde, donc on ne peut supposer le quatrième lermede la première proppriiou < DE; on ferait vo.r de même qu’on ne peut le supposer > DE, donc il lui est égal. Ainsi dans un même cercle deux angles au centre sont entre eux comme K s arcs compris entre leurs côtés, donc ACB — AB X

Si donc on suppose A C D = I, et AO = I, on aura

AO

mesure des angles inscrits.

Proposition XVI. - L’angle inscrit B A D a pour mesure la moitié de l’arc B D, compris entre ses côtés ( fig. ô2). <

En effet, si nous menons le diamètre AE et si nous joicnoiis BC et CD , nous fnrmerons un angle au centre BCD, qui a pour mesure l’arc B U ; il suflil donc de faire vior que la vali-iir de l’angle BA D est la moilie de celle del angle B t. D. Or, le triangle BCA est isocèle, et par conséqueiii les angles î, ^Cet CB A sont égaux; mais l’angle exiérieurBCEest égala la somme des deux angles intérieurs B AC, CBA, ou bien égal àoBAC.

BCE i > C E

Donc BAC . Pareillement C A D =, — — . Donc