TRIANGLES SEMBLABLES

PropositionWl. — Deux triangles qui ont les angles égaux, ont les côtés lioniologues proportionnels.

En effet, pnisrjuMs ont les angles égaux , on peut les placer de manière à ce qu’ils aient l*-s côtés parallèles et un sommet commun, et si on prolonge A B et D F jusqu’à leur rencontre en O, on obtiendra une figure AtlDO qui est un paialiélograinme. Le triau^de O B F donne B A : AO :: B C : CF, à cause de AC parallèle àOF; et comme AO = C D, cette proportion deviendra B A : CD BC : C F : on a pareillement B C : C F : : A C : D F; donc les deux triangles A R C, D E F, qui ont les angles égaux, ont aussi les côtés homologues proportionnels.

P?r)position^'lll. — Deux triangles (fig. 78) sont semblables lorsqu’ils ont les côtés homologues proportionnels.

Soit AB : FD :: AG : DG :: BC : FG.

Au point F, je fais un angle G F O = A B C; et an point G, un angle FGO = ACB; l’angle FOG sera égal à l’angle B AC ; donc les deux triangles ABC, FOG,sontéqn5angles, et donnent : B C : F G : : a b : F O, et b c ; F G ; : A C : G O ; mais on a déjà BC:FG:: AB:F0, etBCiFG :: AC:DG; donc F O = FD,et GO = GD; ce qui prouve que le triangle F O G est égal an triangle F G D; mais, par construction., le triangle FOG est écpiiangle au triangle AB C; doue aussi les triangles F G D et A B C sont équiangles et par suite semblables.

Proposilion IX. — Deux triangles (fig. 79) qui ont un angle égal compris entre des côtés proportionnels sont semblables.

Soit l’angle B A C = F D G, et soit A B : D F : : A C : D G ; prenez Al=D F; et par le. point I, menez TK parallèle à BC; on aura A B : A I : : A C : A K ; mais on a déjà AB ; DF : : A C : D G, nu à cause de A I = D F, A B : A 1 : : A C : D G : on prouve que A K == D G. Ainsi le triangle A I K = D F G; mais le triangle A I K est semblable an triangle ABC; donc D F G l’est aussi.

GKOAIÉTRIE.

lorS's ont triangles sont semblables

chacun! ^ perpendiculaires chacun à

Son ABC, DEF 'fig. 8o\ deux (riangles qui jouissent de la

KC,'’e'ô,rGFric'";V‘n;'"."“'^ ® perpeudieulaire à » Ole (t 1 a AC, et le D G a A B. Suit M, N, P les noiniQ

trrs’rM F 2 ■? n f "■■'rf ™ ^

NCIVl’-j-NFM La somme des deux angles

Ncï iSpC I or l’aoslelN-FM=.DFG; donc ou a , d-Df «>= 2 droils; maLs]VCM4-NCB = a droits au»,;donc I angle N C B on A C B = D F G. ’

PAÏl"DG2‘v2ri‘'"’"2'-'"'"''“ ‘'o* oog'os

ciïtura::r::.f;:;îjird:rc2Gr^^^^^^^

tSenîirt'f ^ an^i; d-tfaSaS

et irnic y 3 six parties à considérer ; trois anr^Ies

a’un Tri^nil^^ ^ de l'angle droit

peroendir.^l^' ^ ABC (fig, 81), on abaisse la

tS:îe2"ÆSs Vi T

en.re%ux^etaut.t„gîetoiî ’

de pins, rai2v B \ C^sTd* ont l’angleB commun;

'rois iènie aïle b\ ü d, Pn, ’ T ‘’-r'.': ^ ; donc le

l'antre • .lono^ „ i “o l'oisieme angle C de

On ferait voi- de*^*^^ î' iangles sont éqniangles et scmiilaldrs.

triangle lî \C- dnncT'^î triangle DAC est semlilable au S'e l.AC, donc les trois triangles sont éqniangles et sem-

GÉOMÉTRIE

blables entre eux. Il résulte de cette slnillituüe qu en comparant les entés tUi triangle B AD aux cotés homologues du triangleB A G ou peut former la j)ro|joiTion BD î AB II AB I LC (i), et en conipaiant le triangle AD G au triangle BAG, on a de même (2)

D G : A G : : A G : B G; donc cliacnn des côtés AB, A G, est moyen pro poli ion nel entre rhypothéjuise et le segment adjacent. Si on compare les côtés homologues des triangles ABD, AB G, on a (3) BD : AD :: ad : DG, ce qui prouve que la perpendiculaire AD est nfoyeime propoiiionuelle entre les segments BD, DG. de rhypoîhénuse.

Comme tout angle inscrit dans une demi- circonférence ( fig. 8 r Ois ) est nn angle droit, il s’ensuit que, si du point a on abaisse la perpendiculaire AD, nous aurons aussi les proportions (i), (2), (3), ou bien en faisant le produit des extrêmes et celui

des moyens :

Xb» =BC X BD, Â(> =BCXDCet AD* =BDX DC.

Oii peut, au moyen des propriétéi précédentes, trouver une ligne qui soit moyenne proportionuelle entre deux lignes données

A cet effet, ou prend une ligne indéfinie ^ (fig- 8*) ,a partir d’un point qiieU'Oiiqne O. On porte l’une adroite et l autre a aaiichc les ligues A et B. Soit O D = A, et O G

Sur CB, comme diamètre, ou décrit une denai-circonferencej

et si au point O on élève une perpendiculaire O G, on aura OG*

== CO X OB, ou ÔÏÏ’ = A X B ; a‘»si ^ uronorlionnelle demandée. ,

■ Ou pourrait aussi sur une ligne M N (Cg. S» fe) prendre OB== A,etOI = B, décrire un demi-cercle sur Cl», et au

point I élever une perpendiculaire IG.Oiiaurait évidemment, en

ioignantOG, 0G'*=QB X OI = A X B- . ,

Ainsi O G serait alors la moyenne proportionnelle eiitreA etc.

égal aux. -

d’un carre

S’il s’agissait de construire un carré

donné C ffig. S3), on y parviendrait cnrore an délations préfédenles; à cct effet, surune ligue i sdcunie -vllN, je prends ,ï divisions égales à partird’une origine O Sur O D comme diamètre, je décris un demi-cercle; au troisième point de division G, i’clève une perpendiculaire GF qui rencontre la en confèrent en F. Je mèneles cordes indéfinies FOI,FDS. Je prends sur F O une distance F V, égale au côté du carré C. Parce point je mene

CÉOMÉTKIE,

VH parallèle àMN, qiij donne îa proportion FV:FH • * ÉO'FD ou (i) F V- FH. : ; FO» : F D», Or on a anssi, puisque le t’na„ ’ gleOFD est leelaugle en F, FV» : FD» ;; OG ; GD. ou FO^ '

(2^, il vient F V» : Fl

et en rapprochant les denx proportions (i) et

: 3 : 2, et de là on lireFH^^-^ÿ’V*

Ainsi le carré construit sur F H est égal aux-^-cHi carré C.

Qiiarnl on sait trouver une moyenne proportiomielie entre deux liguies données, .lest facile de convertir un triangle, un rectangle et une ,»lygone quelconque en un carré éuiiivalent. Soit B la base d un triangle , H sa hauteur, sa suriîce sera ex-

prmieepai - ; si on cherche une moyenne proportionnelle

eulre ^ et^ ; il vient, en nommant Y cette moyenne proportionnelle, B : Y:: y : —, ou Y2=. Ainsi, le carré conslmitsurY

sera ecpiivalent au triangle proposé. Pour avoir un carré équiva.ent a un parallélogramme , il faudrait chercher une moyenne J.roporîionnelle entre la base B et la hauteur H de ce parallélogramme Et enliu , pour avoir un carré équivalent à un polygone quelconque, il faudrait, avant tout , réduire ce polygone vu un triangle equiviilent, et pour cela soit ABGJJFffî" 84) un polygone; du sommet C je mène la diagonale C F; par le soinle je mené une parallèle à celte diagonale qui rencontre 4 F

Je joinst'.O, les triangles CFO, CDF, sont équivalents comme a ant meme base et même hauteur; on peut donc les substituer

dnra;'é!e A B€ O ' l"»-

Eu joipiant CA et en menant par le point B une parallèle BI » EA, el eu io.gnani CI. h, triangles ABC, AIC, pourront

an.si sesnbstituor l^.n àranlre,.eldecetlemanièreleqnadrilatèr^

ABCt/ sera redmt au triangle I CO qui lui est équivalent. Il ne

tiounelle entre la bante.ir de ee triangle el sa base I O; et le .le<.Uu';otslTBC^ l-oponiounelie sera cquiva-

Gi^OxMÉTKlE.

Proposition XII. — Deux triangles A B C, E D F, qui ont les angles B A C , E D F égaux (fig. 85), sont entre eux coimue les rectangles des côtés qui comprennent Tangle égal.

En effet, si nous plaçons TangleE DF sur l’angle BAC, le triangle DEF prendra l.i pü>ilion AE F. Joignons B F et E C, les deux triangles AB CetDE Cont meme hauteii!;il> sont entre eux comme leurs, bases A E , AB. On a donc AB G : A E C : : A B : A E. De même les triangles A E F, AE C,onl même hauteur et sont entre eux comme leurs l>ases A F, A C, ce qui donne AEC : A E F T : AC : A E. Multipliant ces deux proportions terme à terme, on aura ABC : A E F : ; A B X A C .* A E X A F , ou bien , puisque A F et A E lie sont autre chose que D F et D B, ou a : ADC; AEF :: AB X AC : DE X DF.

Proposition XIII. — Deux triangles semblables sont entre eux comme les carrés des côtés homologues (tig. 86).

En effet , puisque les triangles AB C, DEF, sont semblables , l’angle, B A C= ED F. El, d’après la proposition précédente, on a ( I ) A B C : D E F : : A B X A C : d e X d F. Or, on a aussi A B : DE AC : D E’ ; et en multipliant cttte dernière proportion par la proportion identique AB: DE :: AB: DE, il vient

AB^: DE^ :: ABXAB : DEXDF.Si à la place ABXAC : DE XDF la proportion (i) on met AB : D E ^ , il vient ABC : DEF:: a"b^ : de .

Proposition XIV. — Deux polygones semblables sont composés d’un même nombre de triangles semblables, chacun à chacun, et semblablement disposés.

Soient ABCDE (fig. 87), abc de, les deux polygones proposés. Du point A , je mène les diagonales A C , AD; et du point a homologue à A , je mène les diagonales acy ad; je partage ainsi chacun des polygones en trois triangles, et il faut Eaire voir que ces triangles sont semblables; puisque les polygones sont semblables , on a Tangle A B C ^ 6* , et de plus , les

OÉOMÉTRIË. ^ 07

cotés AB, B C, soD? proportionnels aux côtés ab^ h c; de sorte (pion a :AB : BC : bc; il suit de là (pie les triangles

ABC, abc y ont un angle égal compris entre côiés proportionnels, donc ils sont setnblaiiles ; donc l’angle BC A =. b ca; CCS angles égaux étant retrain liés des angles égaux B C D , c les rentes A C D , « c* (i, seront égaux ; mais puisque les triangles AB C , a b Cy sont semblables , on a : A C ; ac \ : B C : b c; d ailleurs à cause de la similitude des polygones, BCr^c*;CD . c d; donc A C : a c :: QTi : c d ; mais l’angle A C D, comme nous 1 avons dit , est égal à l’angle acd; donc les deux triangles A C D, ac d y .ymt semblables. On démontrerait de meme que les triangles A E D , e c/, le sont ; donc la proposition énoncée est vraie.

Les périmètres des deux polygones sont entre eux comme les cotes homolognes ; car, à cause de la simiüinde des polv^^ones ona:AB;«^;; BCrôc:; CD \ c d \\ DE;^e-* AE‘

« c, et de là 011 tire A B -f B C -[- C D + D E -j- A E ;’a ^ -L.

c c d d e a e II AB;rt(^:les siirFaces de ces polygones sont comme les carrés des côtés des polygones. Cela résulte immédiatement de la similitude des triangles dont ces polygones sont composés; car les triangles A B C , abc, étant semblables, donnent ABC : « ^ c A ; de même les triangles

ACD , acd, donnent ACD i ac d n ÂC^ : Dq^c à

cause du rapport commun A C^ : ^7^ ^ j\ : A B C : tz ^ c :: A C D : c c/; on trouverait de meme ACD : acd H A E P : a e d; de celte suite de rapports égaux, on conclurait que la somme des antécédents ou le polygone A B G D E est à la somme des conséquents ou le polygone abc de, comme un antécédent est à son conséquent on comme A B^ ; « b"^.

Proposition XV.— Si deux cordes AB, C D (fig.88), se coupent dans Tm cercle en un point O , on a AOxOB— COxOJ3.

Car en joignant A C et D B, on obtient deux triangles > C, BOD , qui sont semblables, et la comparaison des côtés nomolognes donne la proportion AO:DO**CO*OB ou

aoxob = doxco.

Si au lieu de deux cordes on considère deux sécantes AB,

A C (bg. 8S 1ns), ou aura A B X A M = A C X A N; car en

GÉOMÉTlllE.

joignant B N et E M, on obtient deux triangles ABM, A C N, qui sont éqiiiangles, et par consé(juent semblables; dciio A B :

A C : : A N : AM , ou A B X A M C X A IN .

Si d’un point O, hors d’un cercle fig. 88 ter)^ on mèneune tangente A O et une sécante O I qui rencontre en M la circonférence;

on aura 6 A^'==0 M X O I ; car en joignant A î et A I*d, on obtient deux triangles O A M , A O î, semblables comme ayant i’angle O commun ; l’angle O A I — A M O , comme ayant même inesute :

il vient donc O M ; OA * î OA ; OI , ou bien O = O M X O ï ; ce qui veut dire que la tangente est moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie extérieure. On peut au moyen de ces propriétés diviser une ligne A B en moyenne et extrême raison. Pour cela au point B (lig. 89), on élève une perpendiculaire