AB

B O = — . Du point O comme centre, avec O B comme rayon, on

décrit un cercle qui sera langent à A B.

On mène A O qui rencontre la circonférence en I ^ et on prolonge jusqu’en M : on a évidemment AM: AB A B : A I; prenant sur A B une quantité A F == A I, il vient A M : A B ; : AB : A F , ou bien AM~AB : AB AB — AF : AF; or A N — A B = A M - I M = A I = A F , et A B — A F = B F ; donc AF:AB:: BF :AF;eten mcUaiit ICi moyens à la place des exti êrnes A B : A F : : A F : B F ; la ligne A B est donc divisée au point F eu moyenne et extrême raison.

Proposition XVI. — Les polygones réguliers jouissent tous de la propriété de pouvoir être inscrits dans un cercle, et lui être circonscrits.

Soit A B CD EF ( fig. 90 ) un polygone régulier, faisons passer une circonférence par les trois points F , E , D ; soit O son centre, soit O P la perpendiculaire abaissée du point O sur le milieu de C D; joignons FO et OC. On peut placer le quadrilatère F E P O sur le quadrilatère O P, de manière à les faire coïncider; donc O C = F O. Ce qui fait voir que si une circou' férence, dont le centre est en O, passe par le point F , elle doit aussi passer par le point C. Ainsi il est prouve que la circontérence qui passe par les trois points F, E, D, passe aussi fiar le point C. On démontrerait de même qu’elle passe par les points B et A; donc elle passe par tous les sommets du polygone.

En second lieu par rapport à celte circonférence, tous les côtés FF, Fi), DF, de. , sont des cordes ég^tles : elles sont

a KOMKTRIE.

donc l'ijulemoiil tdoignées des centres; donc si du point O comme (‘entre et du rf^yon C P, on décrit une circonférence, elle tonchera chacun des côtés du polvgone en son milieu, et la circonférence sera inscrite dans le polygone, ou le polygone circonscrit à la circonférence.

Problème. însciire un carré dans une circonférence

On tire deux diamètres qui se coupent en angles droits; on joint les exîrémil(\s des diamètres, et la figure ainsi obtenue est un carré; car les angles V O D , I) O B, etc., étant, égaux , les corries V 1) , BD, etc., ic sont.

Le triangle A O D, élaut rectangle, donne A A D * -(-

1^ k A O * ; \/ 2 ; I ; donc le côté du carré inscrit est au rayon, comme la racine carrée de aestaPunité.

ProbIcmeJ nscrire un hexagone dans une circonférence.

Supposons le problème résolu et AB (fig. 92) le côté de

l’hexagone; joignant AO, B O, l’angle A O B :== - de quatre

nngles droits ou - d’angle droit. Les deyx angles O AB et Op A 2 4

valent ensemble 2 — - ou -4’anglesdroits, et comme ils sont é^aux,

chacun vaut- d'angle droit; donc le triangle ABO est équilatéral;

donc le côté de I hexagone inscrit est égal au rayon. Si on veut donc inscrire i;n hexagone régulier dans une circonférence, il faut porter le rayon six fois sur la circonférence, et on retombera sur le point dont on est parti. Il est clair que pour avoir le triangle équilatéral inscrit, il suftira de joindre deux à deux les côtés de 1 liexagoue inscrit.

Piobleinc, hâtant donne un polygone régulier inscrit, circonscrire a la même circonférence un polygone régulier semblable.

Soit ABGDE (fig. 93) le polygone inscrit, O le centre du cercle , je mène O P perpendiculaire sur le milieu de A B, qui rencontre la circonférence en M. Au point M, je

GEOMETRIE

mène une tangente IK; je mène de même OQ perpendiculaire sur RC, ()ui ri'iicomre la circoiiféreîice en N. Au poiut N, je mène la tangente K. L; je fais de même pour les autres côtés, et je détermine ainsi par ces tangtnies un polygone qui est semhlalile au polygone inscrit. Pour le prouver, il faut faire voir que tous les côtés de ce polygone sont égaux entre eux ; or les lignes A R , 1 K , sont parai èies ainsi que R C et K L, comme interceptant sur la circonférence des arcs égaux , donc l’angle A RC = I KL; de même RCD = KLA~ , etc. ; donc les angles du polygone circonscrit sont égaux à ceux du polygone inscrit; de plus, à cause de ces mêmes parallèles, on a AB : I K :: O B : O K , et de même R C : K L : : O R : O K; donc AB : IK :: RC : KL; mais A R==B C; donc I K = KL; par la même raison , K L = L V, etc.; donc les côtés du polygone circonscrit sont égaux entre eux; donc le polygone régulier est semblable au polygone inscrit.

Proposition XVII. — Les périmètres des polygones réguliers d’un même nombre de côtés sont entre eux comme les rayons des cercles circonscrits et inscrits ; leurs surfaces sont comme les carrés de ces mêmes rayons.

Soit AB(fig. 94) un côté de l’un des polygones O son centre, et OA le rayon du cercle circonscrit, et O D perpendiculaire sur A B le rayon du cercle inscrit; soit pareillement a b le côté d*un antre poijgone semblable, o son centre, o a^Xo d les rayons des cercles circonscrit et inscrit. Les périmètres sont entre eux comme les côtés A B, h; mais les angles O A B, oab^ sont égaux, comme étant chacun moitié de l’angle du polygone; il en est de même des angles O B A ^\.ob a ; donc les triangles ABC, abc ^ sont semblables, ainsi que les triangles rectangles AD O , a donc AB:a^ AO \ ao il TXO do; donc les périmètres des polygones sont entre eux comme les rayons AO , «o , des cercles circonscrits, et aussi comme les rayons DO, d o, des cercles inscrits.

Les surfaces de ces mêmes polygones «ont entre eux comme les carrés des côtés homologues KVi,ab; elles sont par conséquent aussi comme les carrés des rayons des cercles circonscrit et inscrit.

Proposition XVIII. — Étant donnée une circonférence, on peut toujours circonscrire et inscrire

GtOMÉTRIE.

deux polygones semblables et tels que leurs périmètres difïèrent d’une quantité aussi petite que l’on veut 95).

En efift , soit ah c de ^ t te. , une portion de polygone régulier inscrit d’un nonilire // de côtés, et A BCDE, etc., une portion de polygone réguiier scniblalde circonscrit. Désignons par K la rayon du cercle inscrit dans le })oiygone extérieur, et partie rayon cm cercle inscrit dans le polygone intérieur, de sorte (pin R =0 (J et r = O rn; désignons aussi par P et p les périmètres des deux polygones, on aura P : p :: R : puisque les poly^

gones réguliers sont entre eux comme les rayons des cercles inscrits. De cette firoporiion on tire : P — p ” p “ • r r • P-